等差等比数列的性质2010.10.21

1、等差、等比数列的判定与性质（一）1题组（一）等差等比数列的判定记住，不吃亏！2题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！3题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！41.命题:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列;命题:若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0),则数列an是等差数列;命题：若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有( )AA.0个 B.1个 C.2个 D.3个训练（一）2.判断是非：常数数列an是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.53.训练（2）若an，bn是等差数列，证明pan

2、+qbn是等差数列。（1）若an是等差数列，公差为d，证明a2n也是等差数列.（3）若an是等差数列，证明： 也成等差数列，（4）Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，前2m 项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.片段和性质的证明方法与结论应用6（6）若an，bn（项数相同）是等比数列，判断 an（ 0）， ， ，anbn， 是否为等比数列.（5）公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn， 求证：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列.片段和性质的证明方法与结论应用7综合训练一2.8题型二 等比数列的判定与证明【例2】 （2008湖北）已知数列a

3、n和bn满足： a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 为 实数，n为正整数. （1）证明：对任意实数 ,数列an不是等比数列; （2）证明：当 -18时，数列bn是等比数列. 3.9证明 （1）假设存在一个实数 ,使an是等比数列,则有 =a1a3,即 9=0,矛盾.所以an不是等比数列.（2）bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+1( an-2n+14)=- (-1)n(an-3n+21)=- bn.又 -18，所以b1=-( +18)0.10 由上式知bn0,所以 (nN*). 故当 -18时，数列bn是以-( +18)

4、为首项， 为公比的等比数列. 11 知识再现 若m+n=p+q 则 若m+n=p+q 则任意连续m项的和构成的数列成等差数列 任意连续m项的和构成的数列成等比数列 12等比数列中，（1）Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.（2）当项数为偶数2n时，S偶= ；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.qS奇特别：13关于等差数列中：若项数为2n，则S偶-S奇= ， = .若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇-S偶= ，(4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为： = .ndnan特别：141.在等差数列an与等比数列bn中，下列结论正确的是( )C

5、A.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5综合训练 二15 设等差数列的前n项和为 ，前6项的和为36， 最后6项的和为180 (n6)，求数列的项数n。解：由题意知，+得：2.163.174.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 ； (2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 .186018题型三 等比数列的性质及应用5. 在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且 =2, 求a3. （1）

6、由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3. 19 =（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得 =4.a3=2.由已知条件得20【活页】等比数列an的前n项和Sn=2n-1，则问题12122例4:在等比数列an中，已知 求 . 解:则bn是公比为-2的等比数列。题组（三）练习（1）已知an是等比数列,a2=2,a5= , 则a1a2+a2a3+anan+1等于？231. 等差数列 的公差为 ， 则 题组（四）2.在正项等比数列an中，公比q=2，且a1a2a3a30=230，求a3a6a9a30245.已知数列an、bn分别为等差、等比数列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，则一定有a