数学高中人教A版选修2-1课后习题：2.2.2椭圆的简单几何性质

1、2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固L若椭圆捻+白1（心向的长轴长为6,则它的焦距为（）A.4B.3C.2D.1解析椭圆% + 3=14）的长轴长为6,则%/=6,即“=3,由于则。2=2_/2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A.已知椭圆的方程为 加+3），2=&0）,贝1椭圆的离心率为（）AB C D-入3322解析因为ZryJ，”（心0）,所以+卷=1. T T所以所片一m=:故解得t 5 O55答案B.焦点在x轴上，长、短半轴之和为10,焦距为4遍，则椭圆的标准方程为（）AX=1B.5+ &=1CT+T=,DT+T=1解析由题意得c=2而,a+=10,所以

2、 Z?2=（ 10-t/）2=rr-c2=tr-20t解得a2=36./=16,故椭圆方程为9+ 77=1- TOC o 1-5 h z 5010答案A.已知椭圆当+/=131）的离心率或竺p为椭圆上的一个动点，若定点8（.i.o）,则ip的最大值为（） 35A 弓B.2弓 D.32解析由题意可得:/=警=（等），据此可得=5,椭圆方程为I+/=1,设椭圆上点的坐标为尸(xo,yo),则* =5(1 -%), 0故 lPBl=Go + 1)2 + % = J(x0 + 1)2 + 5(1-4)=J-4 % + 240 + 6.当时JP8lnm=|.答案C.已知椭圆 谆+，=l(b0)的右顶点、

3、上顶点分别为A、B,坐标原点到直线A3的距离为殍.且 4=2尻，则椭圆C的方程为()B芯为4 + B 口。算解析椭圆右顶点坐标为A3.0),上顶点坐标为8(0,故直线A8的方程为尸*+4即6+qv“必=0,依题意原点到直线的距离为L=苧.且a 、而2=2尻由此解得/=16万=8.故椭圆的方程为哈+笛=1 .故选D.答案D.椭圆的一个焦点将长轴长分成3 ；2两部分，则这个椭圆的离心率为解析依题意有(a+c) ；3-c)=3 ；2,所以”=5c,故离心率为e=- = a b答案耳.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值 为.解析由题意知，当椭圆上的点为短轴端点

4、时,三角形面积有最大值,即bc=2.Aa2=b2+c22bc=4. ：“22,当且仅当=c=V5时等号成立.:为24,即椭圆长轴长的最小值为4.故答案为4.答案4.椭圆卷+，=13历。)的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的而积为2bd又椭圆的离心率 为咨.则椭圆的标准方程是解析由题意，得 2t/?=2/10.?P ah=y/10 T).又/J =尊=If =粉2辰5从.解得“2=5,乒=2,所以所求椭圆方程为? +1.答案+ *=1.若椭圆的长轴长是10,离心率是2求该椭圆的标准方程.解设椭圆的方程为捻+ 台130)或捺+ 台130).r 4由已知得2ci=0,e=-=三,所以c=4. a

5、 b所以=屏七2=2516=9.故椭圆的标准方程为|1十。1或X，.己知椭圆?+ *=1,在该椭圆上是否存在点M使得点M到椭圆的右焦点厂和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得/=43=1,所以c=l,故F(L0).假设在椭圆上存在点M.使得点M到椭圆的右焦点尸和到直线x=4的距离相等，设 M(x,y)(-2WxW2),则 J(x-l)2 + y2=lx-4l,两边平方得y2=-6.v+15.又由3 +卞=1，得炉=3(1-弓)代入)2=-6x+15,得炉&+16=0,解得 x=4.因为2;vW2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程f+&产=

6、2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(OJ)B.(0,2)C.(0,+co)D.(l ,+oo)解析椭圆的标准方程哈+= 1,:焦点在y轴上,：，2,解得k0,：0k0)的两个焦点d和B是以。为圆心，以IOBI为半径的圆与该左 半椭圆的两个交点，且FHB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A.yB|C.y D.x/3-1解析连接AR(图略)，由圆的性质知,NFAB=9(T .因为月AB是等边三角形，所以NAF2F=30 .故 AF =cAF2=f3c,因此 e= = = 2. = 73-1. a 2a c+v3c答案D.若椭圆两焦点分别为F(4,0),B(4,0),点尸在椭圆

7、上，且NFE的最大而积是12,则椭圆的标准方程 是()A总+亲1B.寡+91C各1D杀门解析由题意得c=4因为点P在椭圆上，且的最大面积为12,所以gx2cxb=12,即儿=12,于是=3必=5,故椭圆方程为媒+ $ L答案C.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点8距离地面 km,地球半径为k km.则飞船运行轨道的短轴长为()A.2y/(m + /c)(n + k)B J(m + k)(n + k)C.mnD.2？解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,it(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k)9a2-C2=b2=(ni+k)(n+k)9

8、所以 h=yj(m + k)(n + k).所以椭圆的短轴长为2j（m + k）（n + k）.答案A5.己知点P（2,l）在椭圆3+，=13历0）上,点用（）为平面上一点,。为坐标原点,则当10必取最小值时，椭圆的离心率为（）AB-C D TOC o 1-5 h z 入 3222 解析点P（2,l）在椭圆-1 + 2=1（”历。）上，可得1+2=1（。力）为平面上一点,。为坐标原点,则 IOM= J（N + 泊）+ 小=，+缪+h3 + 241当且仅当时，等号成立,此时由滔十二 解得/=6力2=3.a2 = 2b2,所以e=J=:故选C.N a2 722答案c.已知椭圆的短半轴长为1,离心率

9、0 ,即屏y .又a2-l 0,所以a2 1,故 1“W2,长轴长 20）,半焦距为G则 =里所以按=2七2=36-27=9,故椭圆G的方程为成+胃=1.O O 答案扣算.已知a(-c,0),F2(c,0)为椭圆 +，=130)的两个焦点.P为椭圆上一点，且无万君=”,求椭圆离心率的取值范围.解设 P(x。jo),则PF】 =(-c-xo,yo)中尸2 =(。-*),-川)， 所以Pg PF2 =(-c-xo)(c-xo)+(-yo)2=%o-c2+yo - 因为P(xojo)在椭圆上，所以g+军1.。 b所以M42(1-孙所以两 PF =4-/+/-蹙）=c2解得北=在学”因为 a历0)的左

10、、右焦点分别为QA,焦距为2,过点(1.0)作直线与椭圆相交于A.B两点，连接AQJ?,且A3B的周长为4夜.(1)求椭圆C的标准方程；若IABI=4IFMI,求直线A3的方程.解(1) 丁焦距为2,aABFi的周长为4匹Z c= 1 Aa=4y/29a2=b2+c2.解得c= 1 =b,a=圾.:椭圆C的标准方程为W+vL2(2)设直线A8的方程为x=l.v+1,点A的坐标为3,yi),点B的坐标为(xi.yi).联立2 +彳：二 2 得。2+2)+力、-1=62m1户+只=-滔调加工=一中.:TWI =41尸川,：山F2l=3IH, :以=-3），1.2m%+为=-中联立%2 =.水森， yz = -3%.解得加=土L:直线A8的方程为x-y-l=O或x+y-1 =0.10.(选做题)已知椭圆 谆+，=1(0)的离心率为Q 是。上一点，见B是C的两个焦点，且IPFil+IPB4.(1)求椭圆。的方程；(2)设直线y=VIr+交椭圆C于A.B两点0为坐标原点，求QA8面积的最大值.解(1)：|PF】I+IP3I=4,:=4,即。=2.Zc=V2, ：。2=2-/=2,即椭圆方程为t +勺=1.(2)设点A的坐标为(x】,yi),点8的坐标为(X2,):2),将代入椭圆C的方程，整理得5x2+4V2/?a+2zi2-4=0, =32