《波利亚数学启发法思想在高中数学中的应用研究》结题报告

1、市级课题结题报告本课题于 2012 年 12 月立项后，即开始做了大量的工作：. 组织数学组所有教师重新研读波利亚的三部著作即 怎样解题 、数学与猜想 、 数学的发现并写出了读书笔记和心得体会，论文获奖或发表多篇。.对以往教学中的不足之处进行详尽的调查分析、归纳总结。.对相关的理论研究、 实践现状进行充分探究， 为数学启发法思想引入数学教学架设理论框架。结合我校绿色课堂实际做一些有益的探索。.在教学实践的基础上，对数学启发法思想教学具体模式进行了设计。.对该模式在教学实践中的效果进行了分析。6汇集了大量的听课记录、学案、研发试题、以及教师的成长。摘要 ： 波利亚数学启发法思想在高中数学中的应用

2、研究， 主要是从数学解题方法，数学概念，教材内容，高考试题，教法学法等方面进行探究，并且得到了初步成效。这对教师专业成长， 教研组建设， 提高课堂教学效率都起到极大的推进作用。关键词 ：解题；概念；教材内容；高考试题；教法学法；数学教研乔治 波利亚(G Polya, 18871985),是美籍匈牙利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有三部世界名著： 怎样解题 、数学与猜想 、数学的发现 。波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域， 为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。 他的数学启发法思想曾对世界数学教育产生过巨大影响。 波利亚通过对解题过程中最富有特征性的典

3、型有用的智力活动的分析归纳，提炼出分析和解决数学问题的四个阶段，即：弄清问题；拟订解题计划；实现解题计划；回顾。这就是波利亚的著名的 “怎样解题表” ，他在“怎样解题表” 中提出一连串的具有启发性的问题，这些问题的提出，充分应用了类比、归纳、化归、特殊化、一般化等思维方法和技巧，这事实上就构成了波利亚数学启发法思想的核心内容。 波利亚通过对数学史上一些著名猜想的剖析， 再现了一些重大发现产生的渊源及过程， 首次将归纳和类比等非证明推理， 总结为一种合情推理的模式。数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面， 在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。 数

4、学中的合情推理是多种多样的， 而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理， 拉普拉斯曾说过： “甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比。 ”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视， 并注意到更广泛的合情推理； 他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法。传统的数学解题教学是在要求学生记住概念、 定义以及各种操作法则的基础上，根据各种例题，逐个去模仿，机械地记住各种类型的解题过程，学生在题海中重复训练，扼杀了他们的创造性思维。 一旦题目有所变化， 他们就会感到毫无办法，从而感到数学学习枯燥、乏味，失去兴趣，成了数学学习中的后进生。所以，如何发展学生的思维能

5、力、 激发学生的学习激情、 培养学生的学习兴趣的问题就摆在我们数学教师面前。一、数学解题方法的研究我们数学教师所从事的数学教学， 其中大部分时间里进行的是解题教学， 可以说经常与解题打交道。 解题能力是衡量一个人数学水平的重要标志， 学习数学离不开解题， “解题教学 ”是中学数学的核心内容， 它是数学教学的有机组成部分，对于学生掌握基础知识和基本技能、培养能力是必不可少的。著名美籍匈牙利数学家波利亚指出： “中学数学首要的任务就是加强解题训练 ”。同时他又指出 “掌握数学就是意味着解题” 。故提高学生的解题能力就成为教师教好学生、学生学好数学的重要目标。 为了实现这一教学目标， 作为教师不仅自

6、己会解题， 而且更为重要的是如何教会学生解题， 为此这就要求教师必须学会研究如何解题， 并从中提炼数学思想方法，以提高教师自己的思维能力，否则学生的思维能力谈何提高?关于这一点，数学教师体会得应该是很深了。在解题的过程中， 不仅要求教师理清楚解题的思路和方法， 更为重要的是教师必须教会学生在处理问题时要弄明白两个为什么： 一是 “为什么要这样做” ； 二是 “为什么能这样做” 。解题教学中教师如果不引导学生思考这两个问题，则只能是就题讲题的教学。 为了实现教师在解题教学中的真正教育价值， 使解题教学达到 “化 ” 的境界，教师必须做一下两点：一是多翻阅数学杂志及资料，以了解别人对我们所要研究问

7、题的解法， 这样一来， 就可博众家之长， 汲取不少丰富的营养，这样无形中就使自己的能力得到了提高；二是要有创新意识，学会创新， 寻找问题解决的新途径、新方法。 作为一名教师每天都要与习题和解题打交道， 在习题和解题的研究这一领域是可以纵横驰骋、 大有可为的。 “没有任何问题是可以解决得十全十美的。总剩下些工作要做。 ”（波利亚语） 。对解题的研究归纳起来主要有数学基本题型解法的研究、 数学问题的一般解法与特殊解法的研究、 解题与证题程序的研究、常用解题方法的应用研究、 简化解法的研究、 一题多解的研究等。总之，开展数学解题研究真可谓素材之广泛。笔者在这方面做了一些探索。 例如，通过追寻一个不等

8、式证明的研究， 笔者弄清了 “以直代曲 ” 的解题方法，并撰写一个不等式的又一个简捷证明一文，于2010年发表在中学数学研究第 6期上。通过对一个不等式解法研究与拓展研究，并撰写一个不等式的简证与拓展又一文，于 2010年发表在中学 数学月刊第7期上。2013年发表于数学教学第9期的对一题错解的探 究一文，通过对题目一般化的分析与探究，厘清思路，弄清错误的原因，从而 深化对本课题的透澈理解。2012年市级课题波利亚启发法解题思想在高中数 学中应用的研究立项并开题，现正处于深入研究阶段。通过课题研究，更好更 快地促进教师快速成长。例如，在数学学科的年轻教师中有市学科带头人戴莉娟， 市骨干教师纪艳

9、，市教坛新星田少飞，刘洪涛。在数学解题方法研究中波利亚提供了一个怎样解题”表:第一、弄清问题你必须弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否/、充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写卜来？第二、拟找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得/、考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此后关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？定计划看着未如数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的

10、问题。这里有一个与你现在的问题肩关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此肩美的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题 r个更普遍的问题？ 一个更特殊的问题?一个类比的问题？你能否解决这个问题的FS分？仅仅保持条件的FS分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度 ？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或

11、者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近 ？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三、实现计划实行你的计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一 正确的？你能否证明这一正确的？第四、回顾验算所得到的解：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把结果或方法用于其他的问题？、数学概念的研究波利亚非常重视数学概念的研究，在解题中提到回到定义去。波利亚说：回到定义去是一项重要的智力活动。”数学概念是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对象本质属性的思维形式。数学概念也是数学基础知识和

12、基本技能的核心，它是理解、掌握其它数学知识的基础,对培养学生的逻辑思维和灵活运用知识实现迁移的能力有重要的作用。高中数学课程标准指出： 数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握， 对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终， 帮助学生逐步加深理解。 由于数学高度抽象的特点， 注重体现基本概念的来龙去脉。 在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程， 在初步运用中逐步理解概念的本质。首先要明确概念。 概念是反映事物本质属性的思维形式。 正确的概念是科学抽象的结果。人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过 “透过现象看本质 ” 的过程，舍掉事物的次要属性，保留事物的

13、本质属性，进而形成了概念。任何概念都有含义、意义。概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。 概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的； 概念的外延式概念的量的方面， 通常说的概念的适应范围就是指概念的外延， 它说明概念反映的是那些事物。 概念的内涵和外延是密切联系、 互相依赖的因素。 每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。教学中明确概念， 就是要明确概念的内涵和外延， 即明确概念所反映的对象具有什么本质特征， 明确概念所指的是哪些对象。 只有对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才能说明已经明确了概念。其次要理解概念。 认识

14、论原理指出， 人们对事物本质的认识不一可能一次性完成，需要经历一个由感性认识到理性认识的循环往复过程；同时， 由于事物不可能孤立地存在，因此必须用联系的观点才能认清事物的本质。因此， 对于概念教学的规律， 我们也应该从过程和联系两个角度进行考察。 也就是把概念放到相应的概念体系中去， 考察它的来龙去脉， 不仅要知道学习这一概念需要怎样的基础， 还要知道掌握它以后能干什么。 从而帮助学生形成结构功能强大的概念体系。对概念的理解有：概念的背景、发展；内涵和外延；与其它概念的联系；概念的课标要求 ,分几个阶段认识、理解、掌握概念。例如函数这个概念，它是数学学科的重要概念，也是高中数学的一个核心概念。

15、从常量数学到变量数学的转变， 是从函数概念的系统学习开始的。 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从对函数的不同认识阶段看：初中以 “变量说 ”定义函数 ,重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数,帮助学生形成对函数的直接体验,体会函数的意义,形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以 对应说”定义函数，引进数字以外的符号(y= f(x)中,f不代表数，与x,y的含义非常不同 ) 表达函数 ,进一步明确函数的表示法,以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体,给出研究函数性质的方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用

16、,使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范 ” 。从研究函数的方法上，对于 “基本初等函数” 的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数等具体函数的研究,逐步加深对函数概念的理解,在 “基本初等函数”的应用中 ,不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性,建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的 “纽带” ，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外， 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用， 在解决生产生

17、活中的实际问题时， 也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。任何数学概念都有它产生的背景， 考察它的来龙去脉， 我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念， 首先要了解它产生的背景， 通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。三、教材内容的研究徐利治先生曾倡导： “我们要培养和造就一批波利亚型的数学工作者，要按照波利亚的思想改革数学教材和教学方法” ， 这为数学教育改革提供了理论依据。教材是开展教学活动的最重要的依据与资料， 它是人们按照一定教学目标和任务，遵循相应的教学规律和学生的心理规律组织起来并发展着的

18、理论和技术系统。 所以教材的编写不同于一般的书籍， 不仅要充分考虑知识的逻辑顺序和教学目标，还要特别注重考虑学生的认知特点，便于教师教学和学生学习。 即便如此，由于受篇幅和结构体系的制约， 教材中介绍的不少内容往往都省略了其产生的背景和探究过程，而是将结论直接呈现给学生。也就是说在未进入教学过程之前，教材处于知识储备状态，是静态的、 形式化的， 这与学生接受知识的动态过程不能吻合。在进入教学过程之后，教师应当对教材 “再加工 ” ，使静态的数学变成活动的、 学生重新建构的数学， 把教材 “冰冷的形式化美丽”变成学生 “火热的思考” 。数学教学的目标之一， 就是要把数学知识的学术形态转化为教育形

19、态， 这是所有教师的责任。还要特别强调的是教材中的数学概念， 学生从教材看到的数学概念的定义都是一些 “死”的结论，无法对概念的来龙去脉及全貌做进一步的了解，可谓 “一叶障目，不见泰山 ” ，针对这种情况，教师就不能照本宣科，而是要发挥主导作用，根据教学目标的要求，结合自己学生的特点， 不必完全拘泥于教材， 可以充分结合教材提供的素材，发挥自己的聪明才智，从概念的引入、理解、记忆等方面创造性地使用教材， 以使教材中这些冰冷美丽的数学概念的教学能激起学生火热的思考， 从而使学生达到在以后的学习中即使忘了概念 “形” ， 也难忘其 “神 ”的境界。例如，高中数学教材中有不少特殊规定，对于这些 “规

20、定” 的教学，教师往往重视不够，大都采用一笔带过，究竟为什么要做 “规定 ”的原因不做解释，只是让学生死记硬背， 这样的教学显然不符合新课标要求 “注重概念 ”的产生过程的理念， 当然不利于学生的思维能力的培养。针对在当今数学教学中很多教师关于 “规定 ”教学的不良状况， 为了扭转照本宣科的现象，提高教育教学质量， 有必要做一研究。 对于教材中教师普遍感到不易理解的内容， 我们也可以进行深入研究， 将疑惑之处弄个水落石出， 探个究竟。四、高考试题的研究对近年来高考试题进行研究， 提高教师的专业水平起到极大的推动作用。 因为高考是评价教师教学及学生成绩的一种重要手段， 同时也进行新课程改革的助推

21、器，因此它也自然就成了教学的指挥棒， 所以教师要提高自己的教学效果， 研究历年高考试题所透视的命题规律及试题特点， 是数学教学中一个不可或缺的重要环节。 以波利亚数学启发法思想为指导，抱研究的态度对待高考试卷时， 就会发现高考试题中可供研究的问题很多。 一是研究整套试卷的特点， 二是研究某一题的解法及对教学的启示， 三是研究高考对某一类问题的考情。 另外也可对典型试题的背景与来源及高考试题展望等等问题进行研究。 例如 一道高考无理函数的研究性学习 （ 2010 年上海中学数学第 6 期） ， 对一道高三联考试题的探究 （2011 年中学数学研究第 3 期） ， 对 2010年高考数学北京卷理科

22、第 19题第（ 1）问的探究 （ 2011 年中国数学教育第 10 期） ， 初逢似相识源是（ 2011 年数理天地第 7 期） ， 2011 年湖南高考数学理第 21 题的另解及探究 （2012年数学通讯 下半月第 1 期） ， 对课本一题的探究及其应用（ 2013 年数理天地第 5 期）等等都是笔者的研究成果。五、教法学法的研究在教学方法的研究中， 有许许多多的问题值得我们去研究、去探索，如怎样进行概念教学？怎样评讲试卷有效？如何批改作业更有效？如何指导高三复习备考工作？等等。教学是两个方面的问题，一方面是教师 “教 ” ；另一方面是学生的 “学” ，所以教师不能只思考如何 “教 ”的问题

23、，还要思考学生如何 “学”的问题，即学法指导问题。波利亚在怎样解题一书中指出：教师最重要的任务之一是帮助学生。对学生的帮助最好是顺其自然。 教师对学生应当设身处地， 应当了解学生情况， 应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。例如， 如何指导学生进行数学阅读？如何帮助学困生学好数学？如何应对数学难题？等等。以波利亚的如下教师十诫作为指导学法：第一，对自己的科目要有兴趣第二，熟知自己的科目第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现第四， 要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中第五，不仅要

24、教给学生知识，并且要教给他们 “才智 ” ，思维的方式，有条不紊的工作习惯第六，要让学生学习猜测第七，要让学生学习证明.即设法去揭示出第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征隐藏在眼前具体情形中的一般模式.第九，不要立即吐露你的全部秘密 一一让学生在你说出来之前先去猜 一一尽量让他们自己去找出来.第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受.结束语近年来的课题科研成果如下：.在省级以上学术期刊发表的作品：王耀辉对课本一题的探究及应用数理天地CN11-3095第5期纪艳高中阶段女班主任的存在的一些利与弊中国科教创新导刊CN11-5599/N80-6162014

25、年第3期戴莉娟让高中数学思想在教学中焕发蓬勃生命力试题与研究教学论坛CN41-1368/G436-3892014年第1期王耀辉对一题错解的探究数学教学CN31-1024/G44-3572013年第9期胡彬浅谈中学数学教学中学生素质的培养中国教育创新与实践CN12-1768/G46-5192013年第3期王耀辉对几种类型无理函数的研究中学数学研究CN44-1140/0146-822012年第7期王耀辉第19个优美不等式的又一别证中学数学研究CN36-1100/0144-332012年第5期胡彬浅谈图中数学研究性学习课程教目研究新教 师教学CN15-1362/G416-1282012年第21期王耀

26、辉2011年湖南高考数学理第 21题的另解及 探究数学通讯CN42-1152/0138-232012年第1期纪艳谈谈二轮复习小技巧都市家教CN36-1276/G444-112012年第10期赵传庆浅析高中数学中的导数新课程学习CN14-1353第2期王耀辉初逢似相识源是同根生数理天地CN11-3095第7期王耀辉对一道高三联考试题的探究中学数学研究CN36-1100/0144-332011年第3期王耀辉对2010年高考数学北京卷理科第19题第(1)问的探究中国数学教育CN21-1548/G48-2642011年第10期王耀辉一个不等式的简

27、证及拓展中学数学月刊CN32-1444/0128-752010年第7期王耀辉一道无理函数高考题的研究性学习上海中学数学CN31-1572/G44-3692010年第6期王耀辉一个不等式的以一个简捷证明中学数学研究CN36-1100/0144-332010年第6期戴莉娟如何搞好学生数学思想的培养华章CN22-1282/I12-2392010年第14期杜运海多媒体一一数学教学的催化剂科学时代CN46-1039/G3胡彬浅谈中学数学教学中学生素质的培养课程教目研究-新教师 教学CN15-1362/G416-1282014年第34期胡彬新课标卜.高中数学教学的几点想法读写算2014第39题.在2013

28、2014年度教科研成果获奖作品:姓名作品名称级别颁奖单位编号或颁奖时间郑杰导数与函数的单调性（教学课件）市一等奖亳州市教科所201302002王耀辉一份意外的收获（教学叙事）市一等奖亳州市教科所201302003戴莉娟函数单调性（教学课件）市二等奖亳州市教科所201302030田少飞数学归纳法（教学课件）市二等奖亳州市教科所201302031赵传庆我上的第一节数学课（教学叙事）市二等奖亳州市教科所201302032纪艳古典概率的特征和概率（教学课件）市二等奖亳州市教科所201302069郑长峰平囿间的夹角（教学课例）市二等奖亳州市教科所201302070周锋锋一个人的局考（教学叙事）县一等奖利

29、辛县教研室孙嫌一兀二次方程的解法（教学叙事）县二等奖利辛县教研室魏效雷离散性随机变量分布列的分开求思想省二等奖安徽省高师数研会2013年5月纪艳高中阶段女班主任存在的一些利弊省二等奖安徽省高师数研会2013年5月纪艳概率论中一点解题小技巧省二等奖安徽省高师数研会2013年5月胡彬函数单调性的教学反思等奖亳州市教科所201409江林宝小故事，大道理等奖亳州市教科所201409田胜盼抛物线及其标准方程市二等奖亳州市教科所201409王耀辉波利亚数学启发法思想在高中数学 中的应用研究等奖亳州市教科所201409赵传庆简析高中数学解题障碍成因及对策市二等奖亳州市教科所201409郑杰导数与函数的单调性

30、课件省三等奖安徽省电化教育馆 安徽省电化教育协会201411周攀登戴莉娟合理利用变式教学提局局考复习效 率探究案教学让数学课堂充满生命的 律动市二等奖省三等奖亳州市教科所安徽省教育科学研究院201409201411053.在2013年度优质课大赛状奖：赵传庆2013年全市高中数学新课程优秀课评选活动市二等奖亳州市教科所2013年12月田程2013年全市高中数学新课程优秀课评选活动市二等奖亳州市教科所2013年12月纪艳2013年全市高中数学新课程优秀课评选活动市一等奖亳州市教科所2013年12月纪艳2013年安徽省高中数学青年教师优秀课评比省三等奖安徽省教科院2013年12月24日4.在20132014年度数学奥赛辅导奖:辅导教师辅导学生学科名称获奖级别林立张晓梅数金德12013年安徽省高中数学竞赛市二等奖纪艳孙浩数金德12013年安徽省高中数学竞赛市二等奖郑长锋关冰燕数金德12013年安徽省高中数学竞赛市二等奖魏效雷罗浩数学竞赛2013年安徽省高中数学竞赛市二等奖张士强贾阿楠数学竞赛2013年安徽省高中数学竞赛市二等奖郝建坤田子怡数学竞赛2013年安徽省高中数学竞赛市二等奖冯冰于玉茹数学竞赛2013年安徽省高中数学