《拓扑学》第三次作业参考解答

1、拓扑学第三次作业参考解答设X表示所有n阶实方阵的集合.对每个A = (a。)w X及正数名，定义U(A;a)=B = (bj)w X,i,j n, a。一引 G.证明：全体U (A;约构成的集合是 X上一个拓扑基.证明：为方便起见，记全体 U(A;8)构成的集合为B ，则只需证明B满足拓扑基的两条公理。B是X的覆盖这一点是显然的。(2)设A=(aj), B =(bj)是两个n阶实方阵，?6是两个正数，不妨设 工之6.并设C =9) U(A, ;) - U(B,、).则依题意知，Vi, j n,cj aj %cjbj6.令飞=min 名 一 q aj ,5 - cj-bij:1 i, j n.则

2、不难看出，U(C, ) U(A, ;) - U(B,、).因此，B确实是X的拓扑基。设p是一个给定的素数，对每个正整数a,定义Ua(n)=n+mpamw|J,证明：1Ua(n) a w|J+n w |_ 是整数集口上的一个拓扑基.证明：由定义可知，Vn w L, Va w ,n w U a(n)(取m = 0就知道了)，故Ua(n) a w U;n w |_ 是的 一个覆盖。再设k WUa(m)cUb(n)(其中a,b是两个正整数，m,n=U ),则存在两个整数r,s使得 abk 二 n rp ; m sp .不妨设 a 之b ,则 m = n +rp a -spb, n = m +spb r

3、pa.从而 Vi 运 U a(n),三j w 使得 i = n + jp a.于是i = (m spb -rp a) jpa 二 m (s jpaj-rpa上)pb Ub(m).这表明，Ua(n) - Ub(m) =Ub(m).由此可见，Ua(n) aw U： nW l_ 确实是n上的一个拓扑基。5.3.设X是Hausdorff空间，f : X t X为一连续映射，试证明其不动点集 Fixf :=x X : f (x) = x是一 个闭集.证明：只需证明不动点集的余集 C=xWX f (x) # x)是开集就可以了。设x W C ,则f (x) # x ,于是由T2分离性知，存在开集U w N

4、( x), V三N( f( x)吏得U CV =电又由f的连续性，存在开集Ui W N (x)使得f (Ui)uV.令W =U cUi,则WW N(x)且W = C,这表明x是C的内点。再由x的任意性知C是开集。证明：(1) Hausdorff空间的子空间也是 Hausdorff空间；(2)如果f : X T Y是一个闭的双射(即一一映射)，而X为Hausdorff空间，则 Y也是Hausdorff 空间；(3)如果f : X t Y是一个连续的单射，Y为Hausdorff空间，则X也是Hausdorff空间.证明：(1)设X是一个Hausdorff空间，A为其一个子空间。对于任意不同的两点x

5、,ywA,由X是 Hausdorff 空间知，存在 X 中的开集 U ,V 使彳# xw U , y wV,U eV =S 令 U A =U c a,Va = Vc A , aAA则易见有 Ua w Na(x),Va w NA(y),并且 UaVa=.可见 A 也是 Hausdorff 空间。设f : X t Y是一个闭的双射(即映射)，而X为Hausdorff空间，对Y中任意两个不同的11,点y1，y2,记x=f (y)x2 = f (y2),则人,是X中两个不同的点，因此由假设，存在邻域 U1 w N(x1), U2w N(马澳彳导U1 CU2 =中由于f : X T Y是闭映射，故由定理

6、 3.3 ,存在两个Y中的 开集 V产 N(y1),V2 w N(y2)使得 f ,(M)= U，f,M)匚 U 2.显然，W =R 可见 Y 也是 Hausdorff 空间。(3)设f : X t Y是一个连续的单射， Y为Hausdorff空间，对于X中任意两个不同的点 x1,x2 , 令y1 = f (x1)，y = f (x2),则y1，y2是空间Y中两个不同的点，从而由假设，存在V1wN(y1),V2N(y2)使得V1V2 =。由于f是一个连续的单射，故存在 5亡N(x)U2W N(x2)使得 f( U户 V, f(U )由V是单射知，U1CU2 =(f/0f (U1)C(f 卬2)

7、5心2=：,可见U1 CU 2 =4.因此X也是Hausdorff空间.证明：如果X是正则T1空间，则对任意不同的两个点x, y w X ,存在U亡N(x), V w N( y)使得 U - V =.证明：设X是T1空间，则对任意不同的两个点x, y X , x,y都是闭集，又由正则性知，存在U1 w N(x), V w N(y)使得U1 c V1 =在再利用定理5.3,知，存在U w N(x),Vw N(y)使得U U Ui,V V Vi.显然，UcVuUiCVi=e,因此 UcV = e.如果X是正规空间，则对任意不相交的两个闭集A, B u X ,存在U w N(A),V w N(B)使

8、得U - V =.证明：设X是正规空间，则对任意不相交的两个闭集A, Bu X ,由定义知，存在 Ui w N A, VW (N)前彳#UcVi=.又由定理 5.4 可知，存在 U w N(A),V w N(B)使得 Uu Ui ,且 V UV1.显然 U eV = *. 5.15.证明：可数的正则空间是正规的.证明：设X是一个可数的正则空间，F是其任一闭子集，U W N(F).不妨记F =xn nW k,其中K u|_为可数集。则 Vn w K, x, w U ,故由正则性知，存在 Un w N(4)使得Uc U.由于显然有 F仁IjUn，故由定理5.4即知，X是正规空间。n EK证明：正则

9、的Lindelof空间必定是正规的空间.证明：设X是正则的Lindelof空间，F是任一闭子集，UN(F).对于任一 x F ,也有U w N(x), 因此由正则性，存在开集U(x)使得xw U(为二百7)仁U这样就得到空间X的一个开覆盖 U(x) xw F kJFc.由于X是Lindelof空间，故有可数的子覆盖 U(xn) xn w F,n= NkFc.显然 F u = U(xn) xn w F,nw N ,且对于每个n,都有U(xn)uU(2)=U.因此由定理5.4可知，X是一 个正规空间。设X满足T4分离公理，f : X t Y为一满连续闭映射，则Y也满足T4分离公理.证明：设f :

10、X t Y为一满连续闭映射，X满足T4分离公理，对于Y中的任意两个开集 V1,V2 ,若 111 ,VV2=Y，则f (M2 f (V2)=f (V = Y) = X,因此由定理5.4知，X中有闭集EE使得 一 一 一Euf(M),E2f(V2),且E1=E2= X.由f是满的闭映射，知F,=f(E。F2= f (E2)都是Y中的闭集，且f(Ei)u f ()f,(M)=Vi, f(E2)u f Qf(V2)=V2, EuF2 = f(Ei)u f (E2) = f (E E2) = Y.因此由定理5.4知，Y满足丁4分离公理.设X为完全正则空间，xw X, VU w N(x).证明：存在连续

11、映射 f:XT I使得 L二卜,且 f (Uc)u 0的充分必要条件是x为Gg集.证明：(设必要性)存在连续映射f :Xt I使得f,(1) = xL且f(Uc)u。,则由【x)=f(i)=f，(n(Li)=nf(Li)nj n n J n ,1以及每个f(L/)都是开集，即可知x为G6集.n00(充分性)设&为G5集，则存在可数个开集Ui,U2,|,Un,|使得x=0Un.对于每个自然数n , n 1显然xWUn,因此由X的完全正则性，存在连续函数fn：XT I使得fn(x) = 1, fn(Un)匚。.令j fn(t)g：X 川， g(t)c 4, - t X. nd 21c则容易验证，g

12、:XTl是连续映射，且 g(x)= 二=1 ,又对于任一 t#x, twx =Uu：,必定 nm2N存在一个n使得tU：,从而fn(t) =0,进而有g(t) 1,n,任一 x X,g(x) = g1(x) g2(x) IH gn(x).x? X由于ViMJHM 是X的覆盖，故存在i n使得x? Vi ,是 g(x)? gi(x)1.可见g(x)1 0.nVi Wn ,令fi=g: Xt I,则%是一个连续函数，且显然VxwX, (x)三1.又对于任gpx = X -Ui,由 gi(x) =0可知，也有 fi(x) =0. 6.8.设X是正规空间，A u X是闭子集，U w N( A).试证明：存在开的F仃-集V使得 A V U.证明：设X是