2022年【典型例题】第五章线性微分方程组

1、学习必备 欢迎下载 第五章 线性微分方程组 5-1 考虑方程组 dxAt x（ 1） dt 其中 At 是区间 a t b 上的连续 n n 矩阵,它的元素为 a ij t , i, j 1,2, , n , 1）假如 x1 t , x 2 t, , x n t 是（ 1）的任意 n 个解,那么它们的朗斯基行列式 W x1 t, x2 t, , xn t W t 中意下面的一阶线性微分方程 W a11 t a22 t ann t W （ 2）； 2）解上面的一阶线性微分方程,证明下面的公式： t W t Wt0 e t 0 a s a nn s ds ,t 0 , t a,b ；证 1）依据行

2、列式的微分公式 x11 t x1 n t x11 t x1 n t x11 t x1 n t W t x21 t x2 n t x21 t x2 n t x21 t x2 n t （ 3） xn1 t xnn t xn1 t xnn t xn1 t xnn t 由于 x1 t, x 2 t, , x n t 是（ 1）的解,所以 na1 j t x jk t j 1 a11t a1n t x1k t na 21t a2 n t x2k t a 2 j t x jk t x k t j 1 , an1 t ann t xnk t nanj t x jk t j 1 n所以 xik t a ij

3、t x jk t , i , k 1,2 , , n ,把这些等式代入（ 3）的右端,化 j 1 简运算每个行列式,如（ 3）式右端第一项等于 第 1 页,共 22 页na1 j t x j1 t n学习必备 欢迎下载 x1n t a11 t W t a1 j t x jn t x11 t j1x21t j1x2n t a11 t x21 t x2n t x t x t xn1 t xnn t 类似地可以算出（ 3）式右端其它各项分别为 a 22 t W t, , ann t W t ,代入（ 3）得 W a11 t a22 t ann t W （ 2） 2）方程（ 2）是关于 Wt 的一阶线

4、性微分方程,分别变量可求得通解为 t W t Ce t0 a11 s ann s ds , C 为任意常数； 如 t t0 ,W Wt 0 ,就C W t0 , 于是 Wt Wt e t t a s 0 11 a nn s ds ； t t a11 s ann s ds 评注： 公式 Wt Wt e 称为刘维尔公式,反映了线性齐次方程组 n的解与系数矩阵 At 的关系； aii t a11 t a 22 t ann t 称为矩阵 At 的迹, i 1 t tr A sds 记为 tr At ,所以刘维尔公式又可表示为 W t Wt0 e t 0；从公式中可以看出,线性 齐次方程组（ 1 ）的

5、n 个解构成的朗斯基行列式 Wt 或者恒为零,或者恒不为零； 5-2 设 A t 为区间 a t b 上连续的 nn 实矩阵, t 为方程 x At x 的基本解 矩阵,而 x t 为其一解；试证： 1） 对于方程 y A T t y 的任一解 y t 必有 T t t 常数； 2） t 为方程 y A T t y 的基本解矩阵的充要条件是存在非奇妙的常数矩阵 C , 使 T tt C ； 证 1） 由于 y t 为方程 y A T t y 的解,就 t A T tt , T T T T 两边转置,得 t t At ,即 t t At ；T 由于 d t t dt T t t T t t 第

6、2 页,共 22 页T 学习必备 欢迎下载 t A t t T t A t t 0, A T t t , 所以必有 T t t 常数； 2） 必要性； 由于 t 为方程 yAT t y 的基本解矩阵, 就 t 转置后,得 T t T t At ； 由于 T d t t T t t T t t dt T t At t T t At t 0 （零矩阵）； 所以 T tt C （常数矩阵） ,而 t 和 t 都是基本解矩阵,因而 C仍为非 奇妙矩阵； 充分性；由于存在非奇妙的常数矩阵 C,使 T t t C, 两边关于 t 求导数,有 即 T d t t dt T T t t t t 0 t t t

7、 Att T t t T t Att , 而 t 是基本解矩阵,就 t 为非奇妙矩阵,故有 T t T t At ,即 At x 的解曲线之间中意 t T T t At ,两边再转置,得 t A T t t , 即证明白 t 为方程 yAT t y 的基本解矩阵； 评注： 由证明过程可以看出,方程 yAT t y 和 xT t t 常数； 第 3 页,共 22 页学习必备 欢迎下载 5-3 设 t 是 n 阶线性方程组 dx dt AxE（ A 是 n n 的常数矩阵） 的标准基本解矩阵, （即 0 ）证明 1 t t0 t t 0 其中 t0 为某一值； 证 因 t 为基本解矩阵,就有 dt

8、 At , det t 0dt dt t0 At t0 , d t t 0 即 所以 t dt t0 At t0 , dt t 0 也是基本解矩阵； 由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以相互线性表示,故 t t0 t C , 由条件 0 E 得, t 0 C 0 E ,即得 C 1 t0 ,所以有 t t0 1 t t0 ； 评注： 这是标准基本解矩阵的一个性质,即 exp t t0 A exp At exp t0 A ； 5-4 试求以下方程的通解 1） x x sect, t sin t 2, 22） x 8x 2 t e ； 解 1） 210, 1,2i ,齐次方程的基本解组为 x1

9、 t cost, x2 t 所以 W x1 t , x2 t cost sin t 1,取 t 0 0 ,利用常数变易公式 sint cost tt x t x s x t x s f s ds t 0 W x1 s, x2 s 第 4 页,共 22 页学习必备 欢迎下载 可得原方程的特解为 t 0 t sin t coss cost sin s coss 1 ds t sin t cost ln cost , 原方程的通解为 x t sint cost ln cost C1 cost C2 sint ； 32） 8 0 , 1 2, 2,3 1 3i , 齐次方程基本解组为 x t e 2t

10、 , x 2 t e t cos 3t, x t e t sin 3t ； 利用常数变易公式,原方程中意初始条件的特解为： t 3x k t t Wk x1 s, x2 s, x 3 s f s ds , 列 代 以 k 1 0W x1 s, x 2 s, x 3 s 其 中 Wk x1 s, x2 s, x3 s 是 在 朗 斯 基 行 列 式 W x1 s, x2 s, x3 s 中 的 第 k 0,0, T ,1 后得到的行列式； 经运算可得 W t 12 3 , t cos 3t 3 e576 t sin 3t , W1 t 3 e 2 t , W 2 t t e 3 sin 3t 3

11、 cos 3t , W 3 t t e 3 sin 3t 3 cos 3t , 可得原方程的特解为 t 1 12 te2 t 1 24 e2t 5 e192 原方程的通解为 x C cos 3t C sin 3t e t C3e2t 1 2t te 12 ； 评注： 此题主要是常数变易公式的应用； 常数变易公式说明线性非齐次方程的特解可以 由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示；当然,此题中的 2）用待定系数方法求特 解会更简洁； 5-5 给定方程 x 8 x 7 x f t 0 t 上有界； 其中 f t 在 0t 上连续,试利用常数变易公式,证明： 1）假如 f t 在 0 t 上有界

12、,就上面方程的每一个解在 第 5 页,共 22 页2） 假如当 t 时 f t 学习必备 欢迎下载 t ,中意 t0当 t ； 0 ,就上面方程的每一解 证 1） 2870, 17t 7, 21 ,齐次方程有基本解组 t e ,e 7t Wt et t e7t 6e 8t ； e7e 利用常数变易公式： t t x2 t x1 s x1 t x 2 s f s ds t 0 W x1 s, x 2 s 可得原方程的一个特解 t t 18 s e e 7 t e s t e e 7 s f s ds 061 6et t 0s e f sds 1e7 t t 07 s e f sds , 6所以原

13、方程的任一解为 t C 1e t C 2 e 7 t 1et t s e f sds 1e7t t 7 s e f sds ； t 上, 6060由于 f t 有界,故存在 M0 ,使得 f t M ,t 0, ,而在 0t 0et 1 ,故在 0 t 上有 t C1 C 2 Met t s e ds Me7 t t 7s 0 e ds 606时 C1 C 2 Mt 1 e M 1 e42 7t C1 C 2 4 M21 6所以,每一个解 t 在 0 t 上有界； 2 ）由于 t C1e t C2e 7 t 1et t s e f sds 1e7t t 7s e f s ds ,又 t 606

14、0f t 0 , 0所以如 t s e f s ds 和 t 7 s e f s ds 均有界,就当 t 时, e 7t 0,e 00因而,对每一个解 t 都有 t 0 ； 设 t s e f sds 和 t 7 s e f s ds 都是无穷大量,就 00limt t 1lim t t s e f sds 1lim t t e7s f sds lim C1 e t t C 2 e 7t 006et 6e7 t 第 6 页,共 22 页1lim t t e f t 1lim t 学习必备 欢迎下载 7 t e f t 0 ； 6et 67t 7e 所以,方程的每一个解 t ,中意 t 0 ,当

15、 t ； 评注： 一般地, 对于高阶常系数线性非齐次方程有如下结论： 如其对应齐次方程的特点 根的实部均为负, 就当非齐次项 f t 在 0 t 上有界, 就方程的每一个解在 0 t 上 有界；如当 t 时 f t 0 ,就方程的每一个解 t ,中意 t 0 ,当 t ； 5-6 给定方程组 dxAt x（1） ndt 这里 At 是区间 at b 上连续的 n n 矩阵,设 t 是方程（ 1）的一个基本解矩阵, 维向量函数 F t, x 在 a t b , x上连续, t 0 a,b ,试证明初值问题 xAt xF t, x （ 2） t 0 的解 t 是积分方程组1 t 1xt t t0

16、t sF s, xsds （ 3） t0 的连续解；反之, （ 3）的连续解也是初值问题（ 2）的解； 证 由于 t 是初值问题 （ 2）的解,所以 t At t F t, t ,这说明 F t , x 是 t 的向量函数,且 t 是线性非齐次方程组 x At x F t ,t 的中意初始条件 t0 解,于是有 t t t 1 t t 1 sF s, sds, t 0 这说明 t 是积分方程组（ 3）的连续解； 反之,设 t 是积分方程组（3）的连续解,就有（ 3）式成立,微分（ 3）的两边得 t t 1t t 0t 1sF s, s dst 1 t F t, t F t,tt 0 t t 1

17、 t t 0 1 sF s, s ds t 0 又 t 是基本解矩阵, t At t , 第 7 页,共 22 页学习必备 欢迎下载 所以 t t Att 1 t Att t0 1sF s,sds F t, t1 t 1At t t0 t sF s, s ds F t, tt0 Att F t ,t 且 t 0 ,故 t 也是初值问题（ 2）的解； 评注： 方程组 x At x F t, x 虽是线性非方程组,但和它等价的积分方程组在形 式上与线性非齐次方程组的常数变易公式相同； 广泛的应用； 这个积分方程组在微分方程定性理论方面有 5-7 试 证 ： 如 果 t 是 方 程 组 x Ax满

18、足 初 始 条 件 t0 的 解 , 么 那 t exp At t 0 ； 证 由于方程组 x Ax 的基本解矩阵是 exp At ； 设 t 的形式为 t exp At C（ 1）, 就由初始条件得 t0 exp At 0 C, 而 exp At 0 1 exp At 0 , 所以 C exp At 0 ,代入（ 1）得 t exp At t0 ； 评注： 一阶常系数线性齐次微分方程组 x Ax 的标准基本解矩阵为 exp At ；通解 为 t exp At C；中意初始条件 t0 的解 t exp At t0 ； 为 5-8 试求方程组 x Ax 的一个基本解矩阵,并运算 exp At ,

19、其中 A 为： 2 3 3 1 0 32 11） 2） 4 5 3 3） 8 1 11 24 4 2 5 1 1解 1）由 detE A 1 2 2 1 23 0 ,得 1, 2 3 ； 第 8 页,共 22 页学习必备 欢迎下载 又由代数方程组 求得属于特点值 13 2 1u1 20 , ； 13； 132u 2 3 的特点向量为 u1 13同理属于特点值 23的特点向量为 u2 2所以基本解矩阵为 t 3t e u1 e3t 3t u2 e3t 3t ； e3t 2 3 e 2 3e 标准基本解矩阵为 e x pAt t 101113 e 3t ； e3t e3t 23 e 3t 23 e

20、 3t 232313e3t e3t 23623 e 3t 23 e 3t 231323 e 3t 23 e 3t e3t e3t 6e3t e3t 23 e 3t 2 233 2332）由 det EA 4 534 5344 20 1 1 2 034 2 300 1 1 2 2 0 , 得特点根为 11,2 ,2 ； 第 9 页,共 22 页 2 3学习必备 欢迎下载 03u1 由特点向量方程组 04 5 3u 2 0,分别求得属于特点根 1, 2,144 2 u3 01的特点向量为 1, 1和 1, 011所以基本解组为 t et 1,e 2 t 0, e2t 1et e0e2t ； 111

21、et 2 t e e2t 01102 t 2t e标准基本解矩阵为 exp At 1 t 0 011et e2t 1, 2,et 0e2t 1et e2t e 2t e 2t 1110e2t 011et 0e2t 011et e2t e 2t e 2t 11002t 111ee2t et e2t e2 t e2t et e2t e2t et e2t 2 t ee2t e2 t e2t e2t 1030 , ,分别求得属于特点根 3）由 det EA 8 1151 13215 9得特点根为 13, 2,327； u1 0 103由特点向量方程组 8 11u 2 051 1u 3 0第 10 页,

22、共 22 页11学习必备 欢迎下载 1的特点向量为 7, 475,和 547, 3 4371317333所以基本解组为 t e3t 115 2 , e 7 t 1； 72 , e 7 t 474753 4131377e337 t 2 e33t 2 e7 t 7 t 5e2 7 t 7e3t 475e 2 473 437 t 3e3t e 2 7 t 137e 2 1733标准基本解矩阵为 e x pAt 1 t 0 2 e7 t 11511e3 t e 2 7 t 7e3 t 475e2 7 t 475e2 7 t 747475333337374e3 t 137e2 7 t 137e2 7 t

23、 41133338 7 e3t e2 7 t e 2 7 t 272753723 4 7 17e3t 47 5 e2 7 t 475e2 7 t 3747333334 e 33t 137 e 2 7 t 137 e 2 7 t 375724 7 33由于所求标准基本解矩阵表达式占空间比较大,我们将它的每一列表示如下： 第 11 页,共 22 页2 7 e 3t 学习必备 欢迎下载 3 2 7 e 7 t 3 2 7 e 7 t 4 7 1 14 3 7 e 3t 13 3 7 7e 2 7 t 13 3 7e 2 7 t , 8 7 3 t 10 4 7 2 7 t 10 4 7 2 7 t

24、e e e3 3 327 3t 5 7 2 7 t 5 7 2 7 t e e e3 3 31 14 7e 3t 53 25 7e 2 7 t 53 25 7e 2 7 t , 4 7 9 9 98 7 3 t 2 4 7 2 7 t 2 4 7 2 7 t e e e9 9 987 3 t 47 2 2 7 t 2 4 7 2 7 t e e e3 3 347 1 56 7 e9 32 7 3t 122 9 28 7 e 2 7 t 122 9 28 7e 2 7 t ； 9 e 3 t 26 9 2 7 e 2 7 t 26 9 27 e 2 7 t 评注： 求基本解矩阵或标准基本解矩阵是

25、求解线性方程组的基础； 对于常系数线性方程 组,且其系数矩阵的特点值为互不相同的单根时, 的特点值和特点向量的问题； 求基本解矩阵的关键是转化为求系数矩阵 5-9 给定方程组 x1 3x1 2x1 x2 x20 （ 1） x1 2x1 x2 x2 01）试证上面方程组等价于方程组 uAu； （ 2）； u1 x1 010其中 uu 2 x1, A442u 3 x2 2112）试求与 1 等价的方程组（ 2）的基本解矩阵； 3）试求原方程组中意初始条件 x1 0 0, x1 0 1, x2 0 0 的解； 证 1）令 u1 x1 ,u 2 x1 , u3 x2 ,就方程组（ 1）化为 第 12

26、页,共 22 页u1 u 2 学习必备 欢迎下载 u 2 3u2 2u1 u 3 u3 , u3 u 2 2u1 u 3 将上式的第三式代入其次式得 u1 u 2 4u 2 2u 3 , u 2 4u1u3 2u1 u 2 u 3 上式向量形式为 u010u , 442211即 反之,设 x1 uAu（ 2）； x2 , u1 , x1 u 2 , x2 u 3 ,就方程组（ 2）化为 x1 4x1 4 x1 2x2 ,即 x1 2x1 3x1 x2 2x1 x1 x2 2 x1 x1 x2 x2 2x1 x1 x2 可得 x1 3x1 2x1 x2 x2 ； x2 2x1 x1 x2 解 2

27、） 求方程组 2 的基本解矩阵； 第一步 求特点根和特点向量 1 0由 det E A 4 4 2 2 1 0 ,得特点根为 2 1 1 1 0, 1, 2 ；正是互不相同的单根； 0 1 0 1由 1E Au 4 4 2 u 0 ,得 u 1 0 , 0 , 2 1 1 21 1 0 1由 2E Au 4 3 2 u 0 , 得 u 2 1 , 0 , 2 1 2 1 2第 13 页,共 22 页210学习必备 欢迎下载 1由 2EAu422u0 , 得 u 3 2 , 0 ； 2130其次步 求标准基本解矩阵 取 v 1 1, v2 1, v3 1, 02120121 e t e 2 t

28、0 t t 2t t 2t 就基本解矩阵为 t e v1 ,e v2 ,e v3 0 e 2e , 2 1 e 2 t 0所以,由于标准基本解矩阵 exp At t 1 0 , 所以有 1 et t e 2 t 2t 1 1 1 11 e t t e 2t 2t 1 12 1expAt 0 e 2e 0 1 2 0 e 2e 4 2 22 1 e 2 t 0 2 12 0 2 1 e2 t 0 2 32 1t 2 t 1 t 3 2 t t 2 t 1 4e 2e 2e e 1 2e e2 24e t 4e 2t 2e t 3e 2t 2e t 2e 2t ； t t t 2 2e 1 e 2

29、 e3）求原方程组中意初始条件 x1 0 0, x1 0 1, x2 0 0 的解； 解法 1 令 u1 x1 , u 2 x1 ,u 3 x 2 ,就（ 1）化为等价的方程组（ 2）且初始条件变为 u1 0 0, u2 0 1, u3 0 0 ,而（ 2）中意此初始条件的解为 1 4e t t 2e 2t 2 t 12 2e t t 32 2t e 2 t 1 2e t t e 2 t 2t 0exp A t 4e 4e 2e 3e 2e 2e 1t t t 2 2e 1 e 2 e 0第 14 页,共 22 页1t 2e 3e学习必备 欢迎下载 2 t 22t 2e 2t 3e ； x 1

30、t 2e 3 e 22t , x 21t e； 1et 于是依据等价性, （ 1）中意初始条件的解为： 2解法 2 拉普拉斯变换法； 设 xi t 的拉普拉斯变换记为 X i s , i 1,2 ； 在方程组两端施行拉普拉斯变换得 2 s X 1 s 1 3sX1 s 2 X1 s sX2 s X 2 s 0, sX1 s 2X 1 s sX2 s X 2 s 0即 解得 X s 12 s 3s 2 X 1 s s 1 X 2 s 1, s 2 X1 s s 1 X 2 s 01 s 21312, 2s 12s X s 1111； s s 1 s s 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为

31、x1 t 12e t 3e, x2 t 2t 1e t ； 2 2评注： 高阶方程组可转化为一阶方程组, 且它们对应的初值问题是等价的； 利用这个等 价原理, 有时在解方程组时消去某几个未知函数, 使方程组用一个未知函数及其各阶导数来 表示,从而转化为高阶方程的求解问题；有时也可将高阶方程组转化为一阶方程组来求解； 有时也可直接求解高阶方程（组） ,拉普拉斯变换法就具有这样的功能,见 5-12 题； mt 5-10 假设 m 不是矩阵 A 的特点值, 试证线性非齐次方程组 x AxCe 有一解形如 mt t Pe ,其中 C,P 是常数向量； mt 证 设方程有形如 t Pe的解,下面证明 P

32、 是可以唯独确定的； 事实上,将 Pe mt 代入方程组,得 第 15 页,共 22 页mt mPe 学习必备 欢迎下载 mt APe mt Ce , 由于 emt 0 ,所以有 AP C , mP即 即 PmEAP C, A 0 , 又因 m 不是矩阵 A 的特点值,即 detmE所以 mE1 A 存在,于是由 mE APC ,得 PmE1 A C , mt Pe ； 可由方程组唯独确定； 故方程确有一解 t mEA1 mt Ce 评注： 此题给出寻求线性非齐次方程组特解的一种方法； 5-11 试求方程组 x Ax f t 的中意初始条件的解 t： 0 1 0 01） 0 0 , A 0 0

33、 1, f t 0t 6 11 6 e 1 4 3 sin t 2） 0 , A, f t 2 2 1 2 cost 1 2 1 03） 01, A0 2, f t e 2 t 1 0解 1） 由 det E A 0 1 6 11 6 3 26 11 6 1 2 3 0 , 特点根为 1 1, 2 , 3 ； 1 0 u1 0由特点向量方程组 0 1 u 2 0,分别求得属于特点根 1,2, 3的特点 6 11 6 u 3 0第 16 页,共 22 页111学习必备 欢迎下载 向量为 1, 2, 3, 149所以基本解组为 t et 1, e 2t 1,e 3t 1et t e2 t e3t

34、, 123e2e 2 t 3e 3t 149et 4e 2t 9e 3t 标准基本解组为 exp At 1 t 0 2e 2t e3 t et e2t e3t 1111et 2e 2t 3e 3t 123et 4e 2t 9e 3t 1491et t e2 t e3t 651et 2e 2t 3e 3t 6822e4e 2 t 9e 3t 13116e t 6e 2 t 2e 3t 5e t 8e 2t 3e 3 t et 6e t 12e2t 6e 3t 5e t 16e2 t 9e 3 t et t 4e 2t 3e 3t 26e t 24e 2 t 18e 3t 5e t 32e 2t

35、27e 3t 8e 2t 9e 3t e由常系数线性非齐次微分方程组的中意初始条件 t 0 的求解公式 x t exp t t 0 A t expt s A f s ds, t0 所求特解为 t exp At 0t exp t s A 0s ds 0001t 0eet s 2e 2t 2 s e3t 3s et s 4e 2t 2s 3e 3t 3s e sds 20et s 8e 2t 2s 9e 3t 3s 1t et 2 e 2 t s e3t 2 s et 4 e 2 t s 3e 3t 2 s ds 20et 8 e 2t s 9 e 3 t 2 s 第 17 页,共 22 页1 t

36、 te 21 te t 2 1 te t 23 4 4 5e e学习必备 欢迎下载 ； t e2t 1e3t 3 t 4t 2e 2 t 3e47 e 4t 4e 2t 9 e 43t 2） 第一求出 A43的特点值与其对应的特点相量； 3； 21detEA 43 1 2 02 1由此得 11, 22 ； 对于 11, 其特点向量方程组为 33u0； 22由此可得 u1 1；同样,对于 22 ,有 23u0 ,由此可得 u2 1232再求齐次方程组的基本解矩阵； 齐次方程组的两个线性无关解为 1et , 3e2t ； 3, 12齐次方程组的基本解矩阵为 t et 2 t 3e ； et 2t

37、2e 1 由于 s 2e s 3e s ,就 1 0 22 t 11e2t e3； 所以标准基本解矩阵为 t 1 0 t et et 3e t 2e 211最终求方程中意初始条件 0 1的解 t ； 2由于线性非齐次微分方程组 的中意初始条件 t0 dxAt xf t dt 的解为 第 18 页,共 22 页t 学习必备 欢迎下载 t t t0 t s f sds t 0 所以 t t et e2t 3e 2t 2e 2 13 1t et e2t 3e 2t2e t 2e s e 3e s sin s ds 41 202 coss e2 s e2 s t 2 3e t 3e t e2 t 3e t 4 cost 2 sin t t 2 3e t 2e et2e 2t e2t cost 12 3 4e 2t t 13ecost 2 sin t ； 234et 2t 1 2e 2 cost 2