专题八：不等式与不等式的工具性

1、精品文档实用文档实用文档专题八不等式与不等式的工具性要点梳理一不等式是高中数学教学的重点不等式是数学中的主要内容，是高中学习的难点，同时又是学生继续学习的重要基础，是每年高考必考的热点内容。重点考查：解不等式，证明不等式，不等式的应用题，不等式的综合题。这类基础知识常考常新，创意不断，值得关注。二不等式中常见的基本思想方法（1）数形结合。有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题。（2）等价转化。具体地说分式化为整式，高次化为低次，指数、对数化为代数式等。（3）分类讨论。分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍。（4）函数方程思想。解不等式可化为解方程或求函数图像与x轴

2、交点的问题，.证明不等式的常用方法（5）证明不等式，除基本方法外，还有放缩法、反证法、数学归纳法、换元法、构造函数方法等。三不等式考了什么精品文档精品文档从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题以考查综合题为主，在一些函数、导数、数列、三角、概率、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧。慧眼评题例1设不等式2x1m(x21)对满足|m|W2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围.【评析】没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中

3、的神奇作用.【解答】令f(m)=2x1m(x21)=(1x2)m+2x1，可看成是一条直线(由|m|W2知它实质是一条线段)，且使|m|W2的一切实数都有2x1m(x21)成立.所以|f(2)0,，f(2)0,即2x22x10,I2x2+2x30,13l+i：3x,22x,22所以/71,J3+1x22【变式训练】在R上定义运算:xy=(1y)若不等式(xa)(x+a)1对任意实数x成立，则实用文档精品文档精品文档实用文档实用文档(A)1a11331(B)0a2(C)上a(D)-a2222答案与提示由题意可知(x-a)1-(x+a)0对x,R恒成立记f(x)=X2-x-a2+a+1则应满足(-

4、1)2-4(-a2+a+1)0化简得4a2-4a-303解得-0，原不等式(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)2abcdb2C2+a2d2(bc-ad)20此不等式显然成立，故原不等式成立.证法2：(放缩法)ac+bd|ac+bd|，.只需证Iac+bdl|ac+bdIac+bd.证法4:(比较法)(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20.(a2+b2)(c2+d2)|ac+bdIac+bd.证法5:(换元法)设a2+b2=r2,c2+d2二r212贝U可设a=rcos,b=rsin,c二rcos,d=rsin1122.ac+bd=rrcoscos+rrsin

5、sin1212=rrcos(一)rr=i(a2+b2)(c2+d2)1212证法6:(构造法)设向量m(a,b)n(c,d)则mnac+bdmIInIcosabc(d0)另常见放缩技巧有：kv；k(k1)k1【变式训练】证明若x,zWR,且x+y+z=1,x2+y2+z2二,贝寸x,y,z,W22。，2。答案与提示证法一由x+y+z=1.X2+y2+z2二,得：X2+y2+(1xy)2二22整理成关于y的一元二次方程得:2y22(1x)y+2x22x=02VyeR,故04(1x)24X2(2x22x丄)$0222解之得：0WxW土xW0,土32同理可得：y,zW0,一3证法二设x二-+xz,y

6、=-+y/,z=1+zz,贝寸x，+yz+zz=0333于是精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档2=(3+x)2+(3+y)2+(3+z)2=3+x2+y2+z2+3(x+y+z)1+x2+y2+z231(y+z)2n一+x2+3213=一+X23211122故x29，x，e-3，3，xw0,3，同理，y,ze0,3证法三反证法x、y、z三数中若有负数，不妨设x0,=x2+y2+z2$2(yz)2x2+(1x)2_31、1+x2-x2x+，矛盾。2222222，矛盾。注：本题证法甚多，最易接受的方法是证法一的判别式法，因为该法思路明晰，易于操作，技巧性不强。例3解下列关于x的不等式：a2

7、x+1Wax+2+ax-2(a0);实用文档【评析】解含参数的不等式要对字母进行讨论也是高考的一个热点问题【解答】原不等式等价于a2x(a2+a-2)ax+1WO(axa2)(axa-2)WO当0a1时，a21时，a2a-2,.a-2WaxWa2即一2WxW2(iii)当a=1时，x为一切实数。综上所述：当0a1时，原不等式的解为x|2WxW2；当a=1时,解集为R。【点评】在解指、对数不等式时，常要对底数a进行分类，然后依据其函数的单调性来实现转化，在转化过程中注意不等式解的等价性。【变式训练】解下列关于x的不等式：log(11)1(a0且a1)。ax答案与提示(i)当a1时，原不等式等价于

8、1-10 x111axn1一丄an1axx精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档V1a0丄x01a精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档(ii)当0a1时，原不等式等价于n1x1时，原不等式解集是x|丄x0;当0a1时，原不等1a式的解集是x|1x丄。1a例4已知函数f(x)=x+a的定义域为(0,+8)，且f=2+旦.设点P是函x2数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N求a的值；问：|PMI0，V2=x+，0 x0由点到直线的距离公式可知：IPMI=%Z?o丄，IPNIx,4xo0故有IPMI，IPNI1,即

9、|PMI，IPNI为定值，这个值为1.由题意可设M(t,t)，可知N(0,.PM与直线yx垂直，.IkPM，1=-1，即匕一-=-1，解得xt0精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档精品文档精品文档0实用文档实用文档精品文档TOC o 1-5 h zz、又V2tX+02x0t(x+y)，又yx+，0000 x0q_1V2c_12S+，Sx2+OPM2x22OPN2020:SOMPNSAOPM+SOPNx2+占)+1U0当且仅当x01时，等号成立.此时四边形OMPN面积有最小值1+迈.【点评】本题是2005年上海市春季高考试题，它将函数、解析几何与不等式综合，题目新颖，但并不是难题.沟函数是

10、历年高考命题的热门话题.【变式训练】过点P(1,0)作曲线C:yXk(Xe(0,+Q，keN，k1)的+切线切点为Q，设Q点在x轴上的投影是点P;又过点P作曲线C的切线切点1111为Q，设Q点在x轴上的投影是点P;222；依此下去，得到一系列点Q,Q，,Q,，设点Q的横坐标是a.nk求证：an(k1)求证：an1+占精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档(3)求证：,丄k2k(注：,aaii=1ii=1Ill答案与提示(1)对y二xk求导数,得y/=kxk-i.若切点是Q(a,ak)，则切线方程是yak=kak1(xa).nnnnn当n=1时，切线过点P(1,0)，即0-ak=kak-1(1

11、a)，111当n1时，切线过点P(a,0),n1n1即0ak=kak-1(annn1a)nak得f=ak1n1k所以数列a是首项为亠，公比为nk1k口的等比数列,(2)应用二项式定理，得an=(占)=(1+占)=CO+C1+C2(1)2+nnk1nk1212(3)记S=naa12鼎上，则上1Saan1n12n1nan1精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档两式相减，得TOC o 1-5 h z1n11aaann111Sknk1,口1(口)n-1B.a=1C.a$1D.aW1x，2,若y,2,贝ijx2y的取值范围是（A）.xy2,A.2，6B.2，5C

12、.3，6D.3，53设a0,则关于x的不等式42x2+ax-a22）,q=2-a24a-2（a2）,则（A）a-2ApqB、p0,b0,且2a+b=1,则S=2扁b-4a2-b2的最大值是（A）0的解集是2,b),g(x)0的解集是(a2,b),22则f(x)g(x)0的解集是(a2,b)U(-，一a2)22答案与提示由已知ba2：f(x),g(x)均为奇函数，：f(x)V0的解集是(一bxo可得:f(x)0或f(x)0g(x)5艮答案与提示依题意，f(x)=X2(1-X)+(x+1)t=-X3+X2+tx+t则f(x)=-3x2+2x+tf(x)在(一1,1)上是增函数，则在(一1,1)上有

13、f(x)0即-3x2+2x+t-0在xe(-1,1)上恒成立设g(x)=3x2-2xAtg(-1)即t59已知a,b为正常数，x,y为正实数，且仝,卫=1，求x+y的最小值。xy答案与提示法一：直接利用基本不等式：x,y=(x,y)(a,b)=a,b,竺,$a,b,2rabxyyx当且仅当Jaybxxy，即a,b=ixyx=a+进时等号成立精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。法二：消元为一元函数途径一：由a,b=i得x=dy-bxyayx,y=,y=y-ba(y-b),ab,y-baby=a,ab,y=,(y-b),a,by-by-b精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档精品文档精品文档实用文档实用文档精品文档*/x0,y0,a0由_0得y-b0y-bx+y$2、ab,a,babb=yy-bab,=ixyy=b+不时，等号成立途径二：令=cos2,=sin2,丘(0,)xy2x=asec2,y=bcsc2cos2x+y二(1+tan2)+b(1+cot2)=a+b+atan2+bcot2$a+b+2、：abJatan=Jbcot当且仅当ab时，等号成立一+=1xy说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。10已知f(x)=-3x2