空间曲线切线和法平面

1、关于空间曲线的切线与法平面第一张，PPT共十八页，创作于2022年6月一、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面.第二张，PPT共十八页，创作于2022年6月 设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当MM0, 即t0时, 作曲线的割线MM0, 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 一、空间曲线的切线与法平面第三张，PPT共十八页，创

2、作于2022年6月 设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为 向量T(j(t0), y(t0), w(t0)称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0. 一、空间曲线的切线与法平面第四张，PPT共十八页，创作于2022年6月例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解: 由于对应的切向量为在, 故第五张，PPT共十八页，创作于2022年6月

3、讨论: 1. 若曲线的方程为yj(x), zy(x), 则切向量T? 提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx, yj(x), zy(x), 切向量为T (1, j(x), y(x). 曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0), y(t0), w(t0). 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 2. 两方程可确定两个隐函数: yj(x), zy(x). 切向量为T (1, j(x), y(x), 而j(x), y(x)要通过解方程组得到. 第六张，PPT共十八页，创作于2022年6月例2. 求曲线在点M

4、 ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解. 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得第七张，PPT共十八页，创作于2022年6月切线方程即法平面方程即点 M (1,2, 1) 处的切向量第八张，PPT共十八页，创作于2022年6月二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 第九张，PPT共十八页，创作于2022年6月证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以

5、为法向量的平面上 ,从而切平面存在 .第十张，PPT共十八页，创作于2022年6月曲面 在点 M 的法向量法线方程切平面方程第十一张，PPT共十八页，创作于2022年6月曲面时, 则在点故当函数 法线方程令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程第十二张，PPT共十八页，创作于2022年6月法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,第十三张，PPT共十八页，创作于2022年6月例3. 求椭球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解:所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程 即法线方程法向量令第十四张，PPT共十八页，创作于2022年6月解切平面方程为法线方程为例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.第十五张，PPT共十八页，创作于2022年6月例5. 确定正数 使曲面在点解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有第十六张，PPT共十八页，创作于2022年6月例6. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解: 点 (1,1,1