全国名校数学试题分类解析汇编：K单元概率

1、K单元 概率 目录 TOC o 1-3 h z u K单元 概率 PAGEREF _Toc396208096 h 1HYPERLINK l _Toc396208097 K1随事件的概率 PAGEREF _Toc396208097 h 1K2古典概型 PAGEREF _Toc396208098 h 1HYPERLINK l _Toc396208099 K3几何概型 PAGEREF _Toc396208099 h 1K4 互斥事件有一个发生的概率 PAGEREF _Toc396208100 h 1HYPERLINK l _Toc396208101 K5 相互对立事件同时发生的概率 PAGEREF

2、_Toc396208101 h 1K6离散型随机变量及其分布列 PAGEREF _Toc396208102 h 1HYPERLINK l _Toc396208103 K7条件概率与事件的独立性 PAGEREF _Toc396208103 h 1K8离散型随机变量的数字特征与正态分布 PAGEREF _Toc396208104 h 1HYPERLINK l _Toc396208105 K9 单元综合 PAGEREF _Toc396208105 h 1 K1随事件的概率K2古典概型【重庆一中高一期末2014】4.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机

3、抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） A B. C. D. 【知识点】古典概型及其概率计算公式【答案解析】C解析 ：解：从5个球中随机抽取两个球，共有6种抽法满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为【思路点拨】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解【典型总结】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式【文四川成都高三摸底2014】18（本小题满分12分） 某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地

4、区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表： （I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？ （）在A，BC，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】（I）7650名；（）解析：解：（I）42500=7650(名)；（）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F共15个，设事

5、件G表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F共9个，所以，所以至少有一名学生认为作业多的概率为.【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.【文黑龙江哈六中高二期末考试2014】13.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_ 【知识点】相互独立事件的概率乘法公式【答案解析】解析 ：解：所有的选法共有33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选

6、择相同颜色运动服的概率为，故答案为：【思路点拨】所有的选法共有33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率【理四川成都高三摸底2014】18（本小题满分12分） 某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表： （I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？ （）在A，BC，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。【知识点】抽样方法、古

7、典概型【答案解析】（I）7650名；（）解析：解：（I）42500=7650(名)；（）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F共15个，设事件G表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F共9个，所以，所以至少有一名学生认为作业多的概率为.【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.【理宁夏银川一中高二期末

8、2014】11袋中装有标号为1、2、3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若抽到各球的机会均等，事件A=“三次抽到的号码之和为6”，事件 B=“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)=( ) A B C D【知识点】条件概率【答案解析】A解析：解：因为，则选A.【思路点拨】结合条件概率计算公式，分别计算出p(AB)与P(A)，代入公式计算即可.【理甘肃兰州一中高二期末2014】10.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 （ ） 【知识点】等可能事件的概率.【答案解析】D解析 ：解：设事件A表示

9、“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即又 ，由公式，故选D【思路点拨】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果【江苏盐城中学高二期末2014】15（本小题满分14分）（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为型血的概率；（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率；分布列；期望.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是型血的概率为， 2分3人中有2人

10、为型血的概率为. 6分（2）的可能取值为0，1，2，3， 8分， ， ， 12分. 14分【思路点拨】（1）代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可；（2）根据n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.21cnjycom【江苏盐城中学高二期末2014】5一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 【知识点】古典概型及其概率计算公式.【答案解析】解析 ：解：总个数，事件A中包含的基本事件的个数,p故答案为：【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的个数m=

11、C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可【理江西鹰潭一中高二期末2014】8盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是( ) A B C D【知识点】古典概型及其概率计算公式【答案解析】C 解析 ：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是故选C.【思路点拨】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意

12、取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率【典型总结】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题K3几何概型【重庆一中高一期末2014】12.在区间内随机地取出一个数，使得的概率为 【知识点】几何概型【答案解析】0.3解析 ：解：由题意，故有，解得,由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得的概率为0.3故答案为0.3【思路点拨】由代入得

13、出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率【典型总结】本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的概率.【文重庆一中高二期末2014】19.（原创）（本小题12分（1）小问6分，（2）小问6分）某幼儿园小班的美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支.牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问两个气球同为冷

14、色的概率是多大？一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟.牛牛至少需要2分钟完成该项任务.老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大？【知识点】古典概型；几何概型.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）如下表格，红色橙色绿色蓝色紫色红色01111橙色10111绿色11022蓝色11202紫色11220易知两个气球共20种涂色方案，2分其中有6种全冷色方案，4分故所求概率为6分（2）老师发出开始指令起计时，设牛牛完成任务的时刻为，老师来到牛牛身边检查情况的时刻为，则由题有式1，若当老师来到牛牛身边时牛牛已经

15、完成任务，则式2，如下图所示，所求概率为几何概率10分101020110210 阴影部分(式2)面积为 可行域（式1）面积为 所求概率为12分【思路点拨】（1）列举出所有方案共有20种，其中满足题意的有6种，计算可得结果；（2）求出阴影部分面积以及可行域面积，求比值即可.【文四川成都高三摸底2014】15. 已知y=ax (a0且a1)是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y)是椭圆=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B。若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素，则的概率是_ 。【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲

16、线位置关系的应用【答案解析】解析：解：若直线y=k与曲线恰有两个不同交点，联立方程得，由=0得k=1，结合图形知若过点的直线与抛物线在x轴上方有2个不同交点，则有0k1，所以A=k0k1；又点P1（x1，y1）关于直线y=x+l对称点坐标为，则，即B=1，1，则总体为两个集合构成的矩形区域ABCD，所求的事件为四边形OBCD对应的区域，因为矩形区域ABCD的面积为2，三角形AOD的面积为，所以所求的概率为.【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围，可结合图象分析；熟记点关于形如直线y=x+m对称点的规律可减少运算量，若所求事件的概率问题与两个连续变量有关，可归结为几何概型的面积问题解答.【

17、理四川成都高三摸底2014】15.已知直线y=k与曲线恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆=l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素，则的概率是_ 。【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲线位置关系的应用【答案解析】解析：解：若直线y=k与曲线恰有两个不同交点，联立方程得，由=0得k=1，结合图形知若过点的直线与抛物线在x轴上方有2个不同交点，则有0k1，所以A=k0k1；又点P1（x1，y1）关于直线y=x+l对称点坐标为，则，即B=1，1，则总体为两个集合构成的矩形区域AB

18、CD，所求的事件为四边形OBCD对应的区域，因为矩形区域ABCD的面积为2，三角形AOD的面积为，所以所求的概率为.www-2-1-cnjy-com【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围，可结合图象分析；熟记点关于形如直线y=x+m对称点的规律可减少运算量，若所求事件的概率问题与两个连续变量有关，可归结为几何概型的面积问题解答.【理吉林长春十一中高二期末2014】9.在矩形中，如果在该矩形内随机取一点，那么使得与的面积都不小于的概率是（ ） A. B. C. D. 【知识点】几何概型【答案解析】A解析 ：解：由题意，以AB为底边，要使ABP面积不小于1，而，即ABP的高，同理CD的高，因

19、此，P点到AB和CD的距离都要不小于1，相应的区域为图中阴影部分，它的面积为而矩形ABCD的面积为S=23=6,所求概率,故答案为：.【思路点拨】根据题意，可得满足条件的P点位于矩形ABCD中间，长为2宽为1的一个小矩形当中，如图所示由此结合几何概型计算公式，即可算出使ABP与CDP的面积都不小于1的概率【理黑龙江哈六中高二期末2014】7如右图，设抛物线的顶点为，与 轴正半轴的交点为，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为，随机往内投一点， 则点落在内的概率是( ) 【知识点】几何概型; 定积分在求面积中的应用.【答案解析】C解析 ：解：由题意可知抛物线的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，AO

20、B的面积为：抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，面积为：随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率满足几何概型；随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率是：故选：C【思路点拨】求出直线与坐标轴围成三角形的面积，及抛物线与坐标轴围成的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率【典型总结】本题考查几何概型在求解概率中的应用，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关【理广东惠州一中高三一调2014】7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ） 【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：

21、此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选.【思路点拨】利用积分找出满足题意的图形的面积与边长为的正方形的面积的比值即可.【理甘肃兰州一中高二期末2014】13在区间上随机取一个数，使成立的概率为 【知识点】几何概型【答案解析】解析 ：解：在区间上随机取一个数，则，而不等式的解集为，又因为，故，所以使不等式成立的概率为，故答案为：.【思路点拨】求出成立的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论K4 互斥事件有一个发生的概率【理甘肃兰州一中高二期末2014】18. （本小题满分8分）某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手

22、选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.（）求选手甲回答一个问题的正确率；（）求选手甲可以进入决赛的概率.【知识点】互斥事件的概率；等可能事件的概率.【答案解析】（）（）解析 ：解：（）设选手甲答对一个问题的正确率为，则故选手甲回答一个问题的正确率 2分（）选手甲答了4道题进入决赛的概率为； 3分选手甲答了5道题进入决赛的概率为； 5分选手甲答了6道题进入决赛的概率为； 7分故选手甲可进入决赛的概率 8

23、分【思路点拨】（）甲回答每个问题的正确率相同，并且答题相互之间没有影响，且连续两次答错的概率为，利用相互独立事件同时发生的概率列出关于P的方程，得到概率（）由题意知甲进入决赛包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别做出选手甲答了4道题目进入决赛，甲答了5道题目进入决赛，甲答了6道题目进入决赛的概率，得到结果【理江西鹰潭一中高二期末2014】3端午节放假，甲回老家过节的概率为eq f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq f(1,4)，eq f(1,5). 假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )源: Aeq f(59,60) Beq f(3,5) C

24、eq f(1,2) Deq f(1,60)【知识点】互斥事件的概率加法公式【答案解析】B 解析 ：解：因甲、乙、丙回老家过节的概率分别为eq f(1,3),eq f(1,4)，eq f(1,5).他们不回老家过节的概率分别为,至少有1人回老家过节的对立事件是没有人回老家过节,至少有1人去回老家过节的概率为P=1-=故选B 【思路点拨】根据甲、乙、丙回老家过节的概率，得到他们不回老家过节的概率，至少有1人回老家过节的对立事件是没有人回老家过节，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果K5 相互对立事件同时发生的概率【理重庆一中高二期末2014】18、(13分)为了

25、应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为.这三项测试能否通过相互之间没有影响（1）求能够入选的概率； （2）规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望（期望精确到个位）【知识点】互斥事件的概率；独立重复试验恰好发生K次的概率.【答案解析】（1） (2) 5000100001500020000 解析 ：解：（I）设A通过体能、射击、爆破分别

26、记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：21cnjy. （）记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，又可能的取值为0，1，2，3，4.， ， ， ， 01234P 训练经费的分布列为：5000100001500020000 【思路点拨】（1）设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：求它们的概率和即可； (2) 记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，通过的分布列得到的分布列，最后求出期望.2-1-c-n-j-y【理吉林一中高二期末2014】21. 某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”

27、、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.【出处：21教育名师】(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;互斥事件的概率.【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：(1)该公司决定对该项目投资的概率为P= 2+3= (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数“中立”票张数“反

28、对”票张数事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)= 3=,P(B)= 3=,P(C)= 3=, P(D)= 3= A、B、C、D互斥, P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 【思路点拨】（1）此公司决定对该项目投资包括两种情况，一是投票结果中有两张“同意”票，二是投票结果中三张“同意”票，投票相互没有影响，根据符号独立重复试验，得到此公司决定对该项目投资的概率（2）该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,共有四种情形，对这四种情形的概率求和即可.K6离散型随机变量及其分布列【理宁夏银川一中高二期末2014】13已知随机变量，则_(用数

29、字作答).21*cnjy*com【知识点】二项分布【答案解析】解析：解：【思路点拨】因为随机变量，利用公式解答即可.【理宁夏银川一中高二期末2014】4. 已知离散型随机变量X的分布列为X123pa则X的数学期望E（x）=（ ） A. B. 2 C. D. 3【知识点】离散型随机变量X的分布列【答案解析】A解析：解：因为a=，所以E（x）=，则选A.【思路点拨】在离散型随机变量X的分布列中，随机变量各个取值的概率和等于1，本题可利用该性质求a，再利用期望计算公式求期望.21教育网【理广东惠州一中高三一调2014】17（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气

30、质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O515253545(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学

31、期望.21教育名师原创作品【知识点】频率分布直方图;二项分布.【答案解析】(1) (2)24.6 (3) 解析 ：解：(1) 由题意，得， 1分解得. 2分（2）个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分的取值为， 6分， ，. 10分 的分布列为： 11分. 12分 （或者）【思路点拨】(1)所有矩形的面积和为1解得a；(2)代入公式求值即可；(3)利用二项分布求出分布列，然后求其期望值即可.21*cnjy*com【理甘肃兰州一中高二

32、期末2014】11若随机变量，则.【知识点】二项分布的方差的计算.【答案解析】解析 ：解：随机变量，故答案为：【思路点拨】利用二项分布的方差的性质求解J3 12. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 . 【知识点】二项展开式;二项式系数; 二项式定理【答案解析】180解析 ：解：二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，展开式的通项为令，可得展开式中的常数项等于故答案为：180【思路点拨】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项【理江西鹰潭一中高二期末2014】2

33、0(本小题满分13分) 如图，设，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量（1）求的概率；（2）求的分布列及数学期望.【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【答案解析】(1) （2）解析 ：解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中的为有一个角是 的直角三角形（如）共12种，所以， 6分 （2）的所有可能取值为， 7分的为顶角是的等腰三角形（如），共6种，所以， 的为等边三角形（如），共2种，所以，又由(1) 知, 11分故的分布列为: 13分【思路点拨】（1）由古典概型的概率计算公式，能

34、求出取出的三角形的面积的概率（2）由题设条的所有可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望【理江西鹰潭一中高二期末2014】19（本小题满分12分）为了庆祝“五一劳动节”，某校教师进行趣味投篮比赛,比赛规则是: 每场投5个球,至少投进3个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是.(1)记教师甲在每场的5次投球中投进球的个数为,求的分布列及数学期望；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【知识点】离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【答案解析】（1）的分布列为：012345；(2) 解析 ：解：（1）的所有可能值

35、为，依条件可知 3分的分布列为：0123457分或因为，所以,即的数学期望为.（2）设教师甲在一场比赛中获奖的事件为.则. 12分【思路点拨】（）可知的所有可能值为，依条件可知，求概率可得分布列，可得期望；（）由题意可得，计算可得K7条件概率与事件的独立性【文黑龙江哈六中高二期末考试2014】19. （本小题满分12分）频率/组距0.0550.0150.0100.005150 160 170 180 190 200 身高某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类

36、分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学（1）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米） 频率分布直方图如右图，按照统计学原理，根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数（单位精确到001）；（2）如果以身高达到170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表:体育锻炼与身高达标22列联表身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼60不积极参加体育锻炼10合计100完成上表；请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系?参考公式:参考数据:0.4000.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.

37、8415.0246.6357.87910.828【知识点】独立性检验的应用；【答案解析】（1）平均数为174，中位数为174.54（2）有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系【来源：21cnj*y.co*m】解析 ：解：（1）平均数为174， 3分中位数为174.54 3分（2）假设体育锻炼与身高达标没有关系身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼60 1575不积极参加体育锻炼151025合计 75 25100 2分 2分参考数据，所以有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系 2分【思路点拨】（1）把数据从小到大排列，然后找出平均数与中位数即可；（2）可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出

38、k值，比较即可得到答案【文江西省鹰潭一中高二期末2014】18（本小题满分12分）年月，我省南昌市遭受连日大暴雨天气，某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照南昌暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得统计结果如下表：支持不支持总计南昌暴雨后南昌暴雨前总计已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.（）求列表中数据的值；（）能够有多大把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关系？附：【知识点】独立性检验的应用.【答案解析】（1）（2）至少有的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大

39、对修建城市地下排水设施的投入有关.21解析 ：解：（1）设“从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票”为事件,由已知得所以 6分（2），故至少有的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关. 12分【思路点拨】（1）根据列表的数据以及概率可求出的值；（2）根据可进行判断.【理江西鹰潭一中高二期末2014】17（本小题满分12分）2014年5月，我省南昌市遭受连日大暴雨天气。某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照南昌暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：支持不支持总计

40、南昌暴雨后50南昌暴雨前203050总计100已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.（1）求列表中数据的值；（2）能够有多大把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关系?附：【知识点】独立性检验的应用.【答案解析】（1）（2）至少有的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.解析 ：解：（1）设“从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票”为事件,由已知得所以 6分（2），故至少有的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关. 12分【思路点拨】（1）根据列表的数据以及概率可求出的值；（

41、2）根据可进行判断.K8离散型随机变量的数字特征与正态分布【重庆一中高一期末2014】18. （本小题满分13分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率（注：方差，为数据x1，x2，xn的平均数）【知识点】古典

42、概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差【答案解析】（1）m=3,n=8 (2) 乙组更稳定些（3）解析 ：解：（1）m=3,n=8 (2), ,所以两组技工水平基本相当，乙组更稳定些。（3）基本事件总数有25个，事件A的对立事件含5个基本事件，故P（A）【思路点拨】（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率【理宁夏银川一中高二期末2014】22. (本小

43、题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生 (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001

44、051696353当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望.【知识点】程序框图、概率、随机变量的分布列与期望【答案解析】(1)输出y的值为1的概率是 eq f(1,2),输出y的值为2的概率是 eq f(1,3),输出y的值为3的概率是 eq f(1,6).(2)输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲 eq f(1027,2100) eq f(376,2100

45、) eq f(697,2100)乙 eq f(1051,2100) eq f(696,2100) eq f(353,2100)乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.(3) eq o(,sdo2()0123P eq f(8,27) eq f(4,9) eq f(2,9) eq f(1,27)E()=1解析：解：(1)变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1= eq f(1,2);当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,

46、故P2= eq f(1,3);当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3= eq f(1,6).所以输出y的值为1的概率是 eq f(1,2),输出y的值为2的概率是 eq f(1,3),输出y的值为3的概率是 eq f(1,6).(2) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲 eq f(1027,2100) eq f(376,2100) eq f(697,2100)乙 eq f(1051,2100) eq f(696,2100) eq f(353,2100)比较频率趋

47、势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ()随机变量 eq o(,sdo2()的所有可能取值为0,1,2,3. P( eq o(,sdo2()=0)=C30( eq f(1,3)0( eq f(2,3)3= eq f(8,27),P( eq o(,sdo2()=1)=C31( eq f(1,3)1( eq f(2,3)2= eq f(4,9),P( eq o(,sdo2()=2)=C32( eq f(1,3)2( eq f(2,3)1= eq f(2,9),P( eq o(,sdo2()=3)=C33( eq f(1,3)3( eq f(2,3)0= eq f(1,27).故

48、eq o(,sdo2()的分布列为 eq o(,sdo2()0123P eq f(8,27) eq f(4,9) eq f(2,9) eq f(1,27)所以,E eq o(,sdo2()=0 eq f(8,27)+1 eq f(4,9)+2 eq f(2,9)+3 eq f(1,27)=1,即 eq o(,sdo2()的数学期望为1. 【思路点拨】求事件发生的概率先分清是古典概型还是几何概型，再利用相应的计算公式解答；解题时注意频率与概率的关系，当实验次数较多时，可用频率估计概率，求随机变量的分布列与期望，通常选确定随机变量的取值，再计算每个取值对应的概率，最后列出分布列并用公式计算期望.【

49、理宁夏银川一中高二期末2014】21. (本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差.P(x2k) 0.05 0.01

50、 k 3.841 6.635附： 【知识点】频率分布直方图、独立性检验、离散随机变量的分布列、期望与方差【答案解析】(1)非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100(2)X0123P解析：解：(1)由所给的频率分布直方图知.“体育迷”人数为，“非体育迷”人数为75，则据题意完成列联表：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表的数据代入公式计算： .因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为X0123PX的数

51、学期望为，X的方差为.【思路点拨】理解独立性检验的原理是正确解题的关键；在求随机变量分布列期望和方差时，若是二项分布可直接利用公式得其分布列期望和方差.【来源：21世纪教育网】【理宁夏银川一中高二期末2014】18. (本小题满分12分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额【版权所有：21教育】 (1) 写出的分布列；(2) 求数学期望 【知识点】随机变量的分

52、布列与期望【答案解析】（1）051015202530P（2）15解析：解：（1）的所有取值为 则有 所以其分布列为051015202530P（2）. 【思路点拨】一般求随机变量的分布列，通常选确定随机变量的取值，再计算每个取值对应的概率，最后列出分布列.【理宁夏银川一中高二期末2014】9如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（ ）A. B. C. D. 【知识点】离散随机变量的期望【答案解析】B解析：解：由题意知X的取值有0，1，2，3，8个顶点处的8个小正方体涂有3面，P（X=3）=

53、；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有312=36个小正方体涂有2面，P（X=2）=；每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有96=54个小正方体涂有一面，P（X=1）=由以上可知：还剩下125-（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，P（X=0）=.所以X的分布列为则E(X)=，选B【思路点拨】求随机变量的期望值一般选确定随机变量的取值，再计算随机变量每个取值对应的概率即可得分布列，再利用期望公式求期望即可.【理江苏扬州中学高二期末2014】21（本小题满分10分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球个

54、现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得分若从这个口袋中随机地摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是求的值；从口袋中随机摸出个球，设表示所摸球的得分之和，求的分布列和数学期望【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【答案解析】的分布列为： 故 解析 ：解：由题设，即，解得； 4分取值为. 则， 8分的分布列为： 故 10分【思路点拨】（1）由题设知=，由此能求出n（2）由题意知取值为3，4，5，6分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【理吉林长春十一中高二期末2014】19.（满分12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，

55、甲先从6道备选题中一次任意抽取3道题，独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中的2题就停止答题，即闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是（）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（）设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列【答案解析】（）（）解析 ：解：（）设甲、乙闯关成功分别为A、B。则,所以，甲乙至少有1人闯关成功的概率为（）由题意，,的分布列为12【思路点拨】（I）由于闯关游戏规则规定甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答

56、题，即闯关成功，所以可以设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，利用对立事件的定义求出甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（II）由于甲答对题目的个数为X，由题意则X的可能取值是1，2，利用随机变量的定义及分布列定义即可求出期望值【理黑龙江哈六中高二期末2014】18.某高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级若考核为合格，授予分降分资格；考核为优秀， 授予分降分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等级相互独立（12分）(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式