实分析复习一课件

1、 实分析多媒体教学课件Department of Mathematics复习一第 一 篇 第一章 集与点集第一节集及其运算集合:具有某种特定性质的事物的总体.通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示.有限集定理1.1 分配律定理1.2 (De Morgan公式)注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换AB（其中S为全集）,简记为Ac笛卡尔乘积第二节映射.集的对等.可列集一.映射原像像定义域 D(f)值域 R(f)1.定义称f为单射；则称f为满射；若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。单射,满射,一一对应(一一映射)2 对等与势定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射f（f既单又

2、满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 1).可数集的定义与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为3.可数集合例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， 2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, 可数集性质：定理2.1 任何无穷集都包含一个可数子集。 （即可数集是无限集中具有最小势的集合)可数集的性质（

3、并集）有限集与可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集例:有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则AB也是可数集从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 x固定，y在变整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。如:代数数全体是可数集,等常见可数集举例:第三节一维开集闭集及其性质定义3.1 若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。 4.开集的性质 定理3.1a. 任意多个开集之并仍为开集；b. 有限个开集之交仍为开集。A B定义:若Ec为开集，则称E为闭集。定理3.2 E为闭集的充分必要条件是 证明

4、:定义 若，则称 E为完全集闭集的(等价)定义 若 ,则E为闭集. R中只有空集和R既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)定义3.3定理3.3 任何集E的导集 E为闭集闭集性质: 任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。 例 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E=x|f(x)a和E1=x|f(x)a都是闭集直线上的连续函数用开集、闭集的刻划第四节 开集的构造目的：掌握Cantor集的构造， 熟悉直线上开集与闭集的构造。重点与难点：Cantor集的构造。定义4.1 设G是直线上有界开集，如果开区间满足下面条件:则称区间 为G的构成区间. 定理4.1-1

5、 直线R中任何非空的有界开集G都可表示为有限个或可数个互不相交的构成区间的并。定理4.1-2 设F是非空的有界闭集，则F是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间(F的余区间)而成。根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集的构造定理. 定义 （i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集； （ii）若 ，则称 是完备(全)集。 二自密集、疏朗集、完备(全)集 定义 若E是实直线R的子集 ,若 ，则称E为R中稠密集. 当 的补集在R中稠密时,则称 为疏朗集. 即 为疏朗集 在R中稠密。 例1 ：Cantor三分集 Cantor集的构造: 将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩

6、下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 。 如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之为Cantor集。 Cantor集的性质注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b. mP=0.去掉的区间长度和a. P是闭集.c. P没有内点d. P中的点全为聚点,没有孤立点, P为完备(全)集.e. P (0,1) 0,1 R+ (a,b) (ab)第五节集的势序集定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ， 显然：例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (a,b) (ab)5. 连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）基数的

7、大小比较定义5.1 3).假设A、B是两个集合，若A与B的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说A的势小于B的势，记作 ，或说B的势大于A的势，记作 。从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.4 无最大势定理 定理5.2 (Bernstein定理)从前面我们已经看到：Cantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设2 连续势集的性质（卡氏积）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集平面与直线有“相同多”的点推论正方形的一条边与正方形的面积有“相同多”的点例1 闭区间0,1与闭正方形0,1;0,1具有

8、相同的势推论例2 闭区间0,1与R等势,又闭正方形0,1;0,1与整个平面等势,且它们的势均为推论其次所以首先所以 例3 设E表示0,1 上一切有界实函数的类,证明E的势为 证明：回忆一下前面的 进位表示法以及Cantor集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于讨论。 我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间例4 。 内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察 不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则 的三 进制表示中，必有某一位是1。反之，如果 不是分 点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的

9、区间内，即 。因此，除了分点外， 在 中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 由Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集P为小数位只是0,2的点的全体. 现在作对应P到0,1的对应如下:(严格说是P到0,1的二进制数之间的对应)则显然是一一对应，则立得 。所以 证毕。 连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集半序集定义自反性:反对称性:传递性: 则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一集合， 为A中的某些元素的关系且满足:2 Zorn引理与选择公理Zorn引理：设 是一偏序集，A中的每个全序子集有上界，则A必有极大元。 选择公理

10、：设 为一簇两两不交的 非空集簇，则存在一集B使得 是单元素集。1.集合的并、交、差、补等概念，以及集合的运算律点集的内点、聚点、孤立点、边界等基本概念. 2.直线上开集、闭集的构造定理. 康托集是本章的一个重要例子.本章主要基本知识:3.可列集的定义和性质.可列集是无限集中基数最小的一类集合者. 连续集及其性质. 掌握可列集、连续集的基本例子.4.无最大基数定理.5.伯恩斯坦定理. 它是判断两个集合对等的有效方法第二章 勒贝格测度第二节有界点集的外、内测度可测集直线上的开集的测度 定理：直线上的任一非空(有界)开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并。( ) ( )( ) (

11、 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 规定G的测度为它的构成区间长度的和,并记为mG:定义2.1 设G为非空(有界)开集,则G可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。其中 互不相交,它们是G的构成区间.Lebesgue外测度的性质（b）单调性：（a）非负性： ， 当E为空集时，( C).次可数可加性第三节可测集的性质(一般欧氏空间中有可测集的等价定义)EEcTETEc（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作 ,其中T称为试验集.问题1：单调递增可测集列的极限之测度是否必等于该集列测度之极限？问题2：单调递减可测集列的极限之

12、测度是否必等于该集列测度之极限？ 单调可测集列的极限之可测性定义: 可表示可数个开集的交的集,称为 型集、 可表示可数个闭集的并的集,称为 型集、 从开集、闭集出发通过取交或并（有限个或 可数个）运算得到的集称为Borel型集。显然，Borel型集都是可测集。 可测集与 集和 集的关系 是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？ 有的，而且很多. 我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未必是Borel集. 要证明这件事并不困难. 比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。 我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c 。 Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集第四节关于测度的几点评注第五节 环与环上定义的测度例1. R 上一切勒贝格可测集构成环，也是-环；0,1中一切勒贝格可测集构成环，也是-环； 并且还是代数，-代数。0,1中一切开集类不是环，因为条件a不成立。一、主要概念: 点集的勒贝格测度、内测度、外测度和可测集。 勒贝格可测集的充分必要条件：卡氏条件。二、勒贝格可测集的运算性质:勒贝格可测集类在有限次或可列次并、交、补算之下是封闭的;勒贝格可测集具有可列可加性和保持单调可测集列极限的测度。本章内容要点三、勒贝