工程运动学基础课件

1、第三篇 工程运动学广 西 工 学 院第15章 工程运动学基础 运动学（kinematics) 研究物体在空间运动时，其几何性质随时间的变化规律点 刚体轨迹运动方程速度加速度等参考系（体） 地球运动学点的合成运动点的曲线运动刚体运动点的运动 刚体的平动刚体的定轴转动刚体的平面运动刚体的一般运动第15章 工程运动学基础 15-1 点的运动学 15-1-1 参考系 15-1-2 位矢、速度和加速度及其变矢量性质 参考体参考系15-1 点的运动学 矢量表示法 直角坐标表示法 自然表示法 雷达跟踪飞机例子15-1 点的运动学 1 矢量表示法 选取参考系上某一确定点为坐标原点，由点向动点作矢量r， r称为

2、动点对于原点的位置矢或矢径。当动点运动时，矢径r的大小和方向都随时间而变，即图5-1用矢量描述点的位置和速度它表明了动点在空间的位置随时间变化的规律。设动点在空间作曲线运动。运动方程 设从瞬时t到瞬时tt，动点的位置由M改变到M，其矢径分别为r和r，在t时间内，矢径的改变量r即为动点在t时间内的位移。位移1 矢量表示法 当t时，平均速度的极限值称为动点在瞬时t的速度，即：动点的速度等于其矢径对于时间的一阶导数。速度1 矢量表示法 当t时，平均加速度的极限值称为动点在瞬时t的加速度，即加速度1 矢量表示法 动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二阶导数。 如果把不同

3、瞬时动点的速度矢量v的始端依次画在某一固定点上，这些速度矢的末端将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端线，如图所示。 动点的加速度方向沿着速度矢端线的切线方向。1 矢量表示法 2 直角坐标表示法 选取一直角坐标系Oxyz，则动点的位置可用它的三个直角坐标x，y，z来确定，点运动时，三个坐标都是时间t的函数，即x=f1(t) y=f2(t)z=f3 (t)运动方程直角坐标与矢径坐标之间的关系 速度2 直角坐标表示法 加速度可见，若已知动点的运动方程，通过对时间求一阶、二阶导数，可求出动点的速度、加速度；反之，已知动点的加速度和运动的初始条件，通过积分可求出动点的速度方程、运动方程和轨迹方程。2 直

4、角坐标表示法 半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心的速度为v0(t)，分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径；讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。2 直角坐标表示法 解：1.建立坐标系0 xy取点M所在的一个最低位置为原点o，设在任意时刻t圆盘转过的角度为CAM=， 为时间t的函数，C是圆盘与轨迹的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以，于是M点的运动方程为2 直角坐标表示法 于是M点的运动方程为点M的速度分量为点M的加速度分量为2 直角坐标表示法 解： 2. 建立 和 与圆盘中

5、心A点的速度v0(t)之间的关系。因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有将其对t求一次导数可得2 直角坐标表示法 再对t求一次导数可得这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的2 直角坐标表示法 M点的速度大小为方向由下式确定2 直角坐标表示法 从图中的几何关系可以证明：于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。当=0和=2时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。2 直角坐标表示法 当=0和=2时，加速度可由式求得当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于0，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此时的切向加速度，因为此时速度为0，故其法向加速度为02 直角坐标表示法 3. 确定M点的

6、轨迹在最高点处的曲率半径。 由于当=时，M点的速度和加速度分别为：M点轨迹在最高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与-j同向。于是，法向加速度的大小为：这时M点的速度为v=2v0，于是，轨迹在最高点处的曲率半径为：2 直角坐标表示法 4. 讨论根据式若v0为常矢量，则为常量，此时由式M点加速度大小恒为：M点加速度的方向由下式确定：2 直角坐标表示法 这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A;此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和;若V0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。2 直角坐标表示法 例 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规

7、尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M 的轨迹方程。ACByOxMxy已知:2 直角坐标表示法 运 动 演 示2 直角坐标表示法 考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成消去上式中的角，即得M点的轨迹方程:解:ACByOxMxy2 直角坐标表示法 轨 迹 演 示2 直角坐标表示法 思考题：M点的轨迹曲线如何 ？2 直角坐标表示法 轨 迹 演 示2 直角坐标表示法 例 在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已知角=k t,其中k 是常量。yxABCOM2 直角坐标表示法 运 动 演 示2 直

8、角坐标表示法 yxABCOM 取固定坐标系Oxy，令MAC =2,则 M 点在Oxy中的坐标为解:2 直角坐标表示法 将=kt代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即 故 M点的轨迹是斜率为tan并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。2 直角坐标表示法 轨 迹 演 示2 直角坐标表示法 3 自然表示法 运动方程设动点的轨迹为如图所示曲线。在曲线上选定一点为原点，则动点的位置可以由弧坐标s确定。弧坐标s是时间t的单值连续函数，可表示为ss（t） 如图，直线MQ( 平行于MT)与MT构成一平面P，当M向M趋近时，MT不动，MT的方位则不断改变

9、，相应地，MQ的方位也不断改变，从而平面P的方位也在变化，绕着MT不断地转动。当M无限趋近于M，平面P趋近于一极限位置P。在这极限位置的平面P称为曲线在点的密切面。自然轴系3 自然表示法 在法面内，过点的所有直线都是曲线在点的法线。在密切面内的法线称为主法线；与密切面垂直的法线则称为副法线。点的切线、主法线与副法线构成了一组正交轴系。 过点并垂直于切线的平面称为曲线在点的法面，如图所示。3 自然表示法 规定：切线的正向与弧坐标的正向一致，其单位矢量用et表示；主法线的正向指向曲线的凹处，其单位矢量用en表示；副法线的单位矢量用eb表示；它与et，en形成右手系，即 et en = eb这个以e

10、t、 en 、 eb确定的正交系称为自然轴系。注意：et、 en 、 eb的方向随着点的位置不同而改变。3 自然表示法 速度、加速度速度矢量可作如下变换速度的大小由于3 自然表示法 速度的方向是当t0时， r的极限方向，即沿轨迹在点的切线方向，于是得到动点的速度沿其轨迹的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。3 自然表示法 加速度 第一个分量 是由于速度大小的改变而有的，其方向沿轨迹在点的切线，称为切向加速度。3 自然表示法 第二个分量 是由于速度方向的改变而有的，为了确定它的大小和方向，先分析3 自然表示法 的方向显然是et的极限方向，当t0时， et在密切面内与et垂直，指向曲线的凹

11、侧。 这个分量是由于速度方向的变化而产生的，其方向与en的方向一致，称为法向加速度。加速度a的第二个分量为3 自然表示法 动点加速度表达式 动点的加速度在密切面内，等于切向加速度与法向加速度的矢量和。3 自然表示法 销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 （时间以s计， 以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。ROREDBCsOA-s+s3 自然表示法 运 动 演 示3 自然表示法 ROREDBCsOA-s+s 已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点

12、在任一瞬时的弧坐标但是，由几何关系知 ，且 ，将其代入上式，得这就是B点的自然形式的运动方程。解：3 自然表示法 ROREDBCsOA-s+sB点的速度在切向上的投影vt B点的加速度 a 在切向的投影而在法向的投影3 自然表示法 当 时， ， ，又 ， 。可见， 这时B点的加速度大小ADB1B2R1E且a1沿切线的负向。当 t1= 1 s 时， 又 可见，这时点B的加速度大小且 a2 沿半径 B2A。a2=a1na1=a1t3 自然表示法 xyrM0N(x,y)MzO 圆柱的半径为r，绕铅直固定轴 z 作匀速运动，周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条母线NM运动（如图）试求M点的轨

13、迹、速度和加速度，并求轨迹的曲率半径。 15-1 点的运动学 运 动 演 示15-1 点的运动学 xyrM0N(x,y)MzO 取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位置，当圆柱转动时，角M0ON等于 ，故M点的运动方程为 轨迹方程为此为螺旋线方程。解：1. M点的运动方程和轨迹。15-1 点的运动学 轨 迹 演 示15-1 点的运动学 xyrM0N(x,y)MzOv2. M点的速度。对运动方程求导得速度在平面Oxy上的投影大小等于常数速度与圆柱母线的交角 不变。15-1 点的运动学 xyrM0N(x,y)MzOvxvyvzvamruv速度矢端线是一个半径为r的圆周曲线，平行于O

14、xy面。15-1 点的运动学 x yrM0N(x,y) MzO3. 点M的加速度对速度方程求导得因az= 0，故加速度 a 垂直于 z 轴加速度 a 的方向指向 z 轴。va15-1 点的运动学 4. 曲率半径 曲率半径曲率半径为常数15-1 点的运动学 15-2 刚体的简单运动 15-2-1 平移 15-2-2 定轴转动 刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚体运动时，如其上任一直线始终保持与其初始位置平行，则称这种运动为平行移动，简称平移。 如电梯的升降运动; 在直线轨道上行驶的列车的车厢的运动等。 若平动刚体上任一点

15、的轨迹是直线，称为直线平移；若是曲线，则称为曲线平移。刚体的简单运动 15-2-1 平移 平移实例刚体的简单运动 15-2-1 平移 在平移刚体上任取两点A和B，并作矢量rB、rA和rBA。由于刚体作平行移动，所以 rBA的大小、方向保持不变，为一常矢量。 rA=rB+rBA因此，在运动过程中， A、B两点的轨迹曲线形状完全相同。刚体的简单运动 15-2-1 平移 对时间t求导数，得到即vA=vB ，aA=aB 刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。既然平移刚体上各点的运动规律相同，因此，只要知道其中任一点的运动就知道整个刚体的动。刚体的平

16、行移动简化为一个点的运动研究。刚体的简单运动 15-2-1 平移 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。OABO1O2ll（+）M 由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为将上式对时间求导，得A点的速度解：OABO1O2ll（+）M刚体的简单运动 15-2-1 平移 vm vAamaA再求一次导，得A点的

17、切向加速度代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：A点的法向加速度OABO1O2ll（+）M刚体的简单运动 15-2-1 平移 0002 （铅直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s) 刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 若刚体运动时，体内或其扩展部分有一直线保持不动，这种运动就称定轴转动。 运动方程、角速度和角加速度 位置角 的符号规定：从z轴的正向朝负向看去，沿逆时针量取为正值，反之为负值。刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 角速度角加速度若与符号相同，则

18、的绝对值随时间而增大，刚体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上。刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 在任一瞬时，M点的切向加速度at的代数值为M点的法向加速度an的大小为M点的总加速度a的大小为刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 用表示a与OM（即an）之间的夹角，则 结论：在同一瞬时，刚体内各点的速度和加速度的大小与各点到转动轴的距离成正比。 在同一瞬时，刚体内所有各点的总加速度与其法向加速度的夹角相同。刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 直径MN上各点的速度

19、和加速度的分布如图所示。1. 齿轮传动啮合条件传动比 互相啮合的两齿轮的角速度（或转速）与齿数成反比。刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 两个带轮的角速度（或转速）与半径成反比。2. 带轮传动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。 AOM刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度代入 t =

20、2 s， 得轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为vMAOM解：刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 AOM加速度的两个分量vM总加速度 aM 的大小和方向atanaM刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 AOM 因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有vMatana它们的方向铅直向下。vAaA刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的节圆半径分别为r1和r2，已知某瞬时主动轮的角速度为1 ，角加速度为1，试求该瞬时从动轮 的角速度2和角加速度2 ，为简便起见，本例的1，2，1，2都代表绝对值。 O1O2M1M21212r2r1刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 O1O2M1M21212r2r1齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度。