高中物理选择性必修36.2.4组合数

1、6.2.4组合数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，19号，20号若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？问题上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？提示由于5号和14号一组，所以其他两个人只能是1到4号或15到20号中的两个，故共有Ceq oa

2、l(2,4)Ceq oal(2,6)21(种)方法1组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号Ceq oal(m,n)表示2组合数公式组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构Ceq oal(m,n)eq f(Aeq oal(m,n),Aeq oal(m,m)eq f(n（n1）（n2）（nm1）,m！)eq f(n！,m！（nm）！)(n，mN*，mn)规定Ceq oal(0,n)1.拓展深化微判断1Ceq oal(3,5)54360.()提示Ceq oal(3,5)eq f(543,321)10.2Ceq oal(2

3、016,2 017)Ceq oal(1,2 017)2 017.()3“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”()提示“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”微训练1若Ceq oal(2,n)10，则n的值为()A10 B5 C3 D4解析Ceq oal(2,n)eq f(n（n1）,21)10，解得n5(n4舍去)答案B2从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A504种 B729种C84种 D27种解析共有选法Ceq oal(3,9)eq f(987,321)84(种)答案C3计算

4、Ceq oal(0,10)Ceq oal(10,10)_解析Ceq oal(0,10)Ceq oal(10,10)112.答案2微思考1下列两个等式成立吗？Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)；Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n)(其中n，mN*，mn)提示成立它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用2组合数公式的两种形式在应用中如何选择？提示在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择公式Ceq oal(m,n)eq f(Aeq oal(m,n),Aeq oal(m,m)常用于n为具体正整数的题目，一般偏向于组合数的计算公式Ceq oal(

5、m,n)eq f(n！,（nm）！m！)常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明. 题型一 组合数公式的应用【例1】求值：(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)；(2)Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n).解(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)3eq f(876,321)2eq f(54,21)148.(2)eq blc(avs4alco1(038n3n，,03n21n，)9.5n10.5.nN*，n10，Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n)Ceq oal(28,30)Ceq oal(3

6、0,31)Ceq oal(2,30)Ceq oal(1,31)eq f(3029,21)31466.规律方法(1)组合数公式Ceq oal(m,n)eq f(n（n1）（n2）（nm1）,m！)一般用于计算，而组合数公式Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！（nm）！)一般用于含字母的式子的化简与证明(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq oal(m,n)的隐含条件为mn，且m，nN*.【训练1】(1)计算：Ceq oal(98,100)Ceq oal(199,200)；(2)证明：Ceq oal(m,n)eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1).(1)解C

7、eq oal(98,100)Ceq oal(199,200)Ceq oal(2,100)Ceq oal(1,200)eq f(10099,2)2004 9502005 150.(2)证明eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1)eq f(n,nm)eq f(（n1）！,m！（n1m）！)eq f(n！,m！（nm）！)Ceq oal(m,n).题型二与几何有关的组合应用题【例2】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的

8、12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解(1)法一可作出三角形Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,6)Ceq oal(1,4)116(个)法二可作三角形Ceq oal(3,10)Ceq oal(3,4)116(个)，其中以C1为顶点的三角形有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,4)36(个)(2)可作出四边形Ceq oal(4,6)Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,6)360(个)规律方法(1)图形多少的

9、问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决【训练2】空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A205 B110 C204 D200解析法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法个数为Ceq oal(0,5)Ceq oal(4,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(1,

10、5)205.法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq oal(4,10)Ceq oal(4,5)205.答案A题型三分组、分配问题角度1不同元素的分组分配问题【例3】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)解(1)每组2本，均分为3组的分组种数为eq f(Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2),Aeq oal(3,3)eq f(1561,6)15.(2

11、)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为Ceq oal(3,6)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,1)20360.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为eq f(Ceq oal(4,6)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,1),Aeq oal(2,2)eq f(152,2)15.角度2相同元素分配问题【例4】将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子解(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有Ceq oal(3,5)10(种)放法(2

12、)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有Ceq oal(2,5)种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有Ceq oal(1,4)种插法，故共有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,4)40(种)放法(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有Ceq oal(1,5)种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有Ce

13、q oal(2,3)种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有Ceq oal(1,3)种插法故共有Ceq oal(1,5)(Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,3)30(种)放法规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配【训练3】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中(1)有多少种放

14、法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有444444256(种)放法(2)这是全排列问题，共有Aeq oal(4,4)24(种)放法(3)法一先将4个小球分为三组，有eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,1)

15、,Aeq oal(2,2)种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有Aeq oal(3,4)种投放方法，故共有eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,1),Aeq oal(2,2)Aeq oal(3,4)144(种)放法法二先取4个球中的两个“捆”在一起，有Ceq oal(2,4)种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有Aeq oal(3,4)种投放方法，所以共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,4)144(种)放法(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有Ceq oal(1,4)种，当1个球与1个盒子的编号相同时，

16、用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有Ceq oal(1,4)28(种)放法(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)12(种)放法(6)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有Ceq oal(3,13)286(种)放法，如|，即编号为1，2，3，4的盒子分别放入2，6，5，7个球.一、素养落地1通过本节课的学习，进一步提升逻辑

17、推理及数学运算素养2几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决3分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的二、素养训练1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有()A26种 B84种 C35种 D21种解析共有Ceq oal(2,2)Ceq oal(3,7)1eq f(765,321)35(种)选法答案C2身

18、高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A5 040 B36 C18 D20解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有Ceq oal(3,6)20(种)答案D3直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0，1，2，5)与平行直线yn(n0，1，2，5)组成的图形中，矩形共有()A25个 B36个C100个 D225个解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,6)1

19、515225.答案D4从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有Ceq oal(3,7)种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有Ceq oal(3,4)种方法故不同的安排方案共有Ceq oal(3,7)Ceq oal(3,4)eq f(765,321)4140(种)答案1405某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅

20、至少还需准备不同的素菜品种_种(结果用数值表示)解析设餐厅还需准备x种不同的素菜由题意，得Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,x)200，从而有Ceq oal(2,x)20，即x(x1)40.又x2，xN*，所以x的最小值为7.答案7基础达标一、选择题1200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为()ACeq oal(32,197)Ceq oal(2,3) BCeq oal(3,3)Ceq oal(2,197)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)CCeq oal(5,200)Ceq oal(5,197) DCeq oal(5,200)Ceq o

21、al(1,3)Ceq oal(4,197)解析至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)种，(2)3件次品，2件正品，共Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,197)种，由分类加法计数原理得抽法共有Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,197).答案B2计算：Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(2,9)()A120 B240 C60 D480解析Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(2,9)eq f(78,21)eq

22、f(678,321)eq f(89,21)120.答案A3方程Ceq oal(x,14)Ceq oal(2x4,14)的解集为()A4 B14 C4，6 D14，2解析由题意知eq blc(avs4alco1(x2x4，,02x414，,x14)或eq blc(avs4alco1(x14（2x4），,02x414，,x14，)解得x4或6.答案C4某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种 B120种C35种 D34种解析从7人中选4人，共有Ceq oal(4,7)35(种)选法，4人全是男生的选法有Ceq oal(

23、4,4)1(种)故4人中既有男生又有女生的选法种数为35134.答案D5假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A30 B21 C10 D15解析用“隔板法”在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有Ceq oal(2,6)15(种)分配方法答案D二、填空题6计算：Ceq oal(5n,n)Ceq oal(10n,n1)_解析eq blc(avs4alco1(05nn，,010nn1，)eq f(9,2)n5.nN*，n5，Ceq oal(5n,n)Ceq oal(10n,n1)Ceq oal(0,5)Ceq oal(5,6)1

24、67.答案774名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少1名，则不同的保送方案有_种解析把4名学生分成3组有Ceq oal(2,4)种方法，再把3组学生分配到3所学校有Aeq oal(3,3)种方法，故共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,3)36(种)保送方案答案368甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析当每个台阶上各站1人时有Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)种站法；当两个人站在同一个台阶上时有Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,7)Ceq oal(1,6)种站法

25、因此不同的站法种数为Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,7)Ceq oal(1,6)210126336.答案336三、解答题9(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解(1)正方体8个顶点可构成Ceq oal(4,8)个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点，故可以确定四面体Ceq oal(4,8)1258(个)(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确

26、定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12Ceq oal(1,4)48(个)10某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？解分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有Ceq oal(4,5)Ceq oal(4,6)75(种)；第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为Ceq oal(1,2)Ceq oal(3,5)Ceq oal(4,5)100(种)；第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,5)Ceq oal(4,4)10(

27、种)由分类加法计数原理，得不同的选法共有7510010185(种)能力提升11某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有_种不同的选修方案解析分两类：第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有Ceq oal(4,6)种选法；第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1门，有Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,6)种选法所以不同的选修方案共有Ceq oal(4,6)Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,6)75(种)答案7512从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数试问