高考总复习理科数学配人教A版(老高考旧教材)-课后习题及答案-第9章　解析几何高考解答题专项五　第3课时　圆锥曲线中的存在性(或证明)问题

1、第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题1.已知B是抛物线y=18x2+1上任意一点,A(0,-1),且P为线段AB的中点.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若F为点A关于原点O的对称点,过F的直线交曲线C于M,N两点,直线OM交直线y=-1于点H,求证:|NF|=|NH|.2.(2021广东珠海期末,22)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,右焦点为F,右顶点为A,以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为122.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别与直线x=9交于点P,Q,且PQ中点为G,求证:|FG|=12|PQ

2、|.3.(2021山东济南一模,20)如图,A,B,M,N为抛物线y2=2x上四个不同的点,直线AB与直线MN相交于点(1,0),直线AN过点(2,0).(1)记A,B的纵坐标分别为yA,yB,求yAyB的值;(2)记直线AN,BM的斜率分别为k1,k2,是否存在实数,使得k2=k1?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.4.(2021广东梅州一模,21)给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的一个焦点为F(-2,0),点Q(2,2)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一

3、个动点,过点P的直线l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交“卫星圆”于点M,N.试探究:|MN|的长是否为定值?若为定值,写出证明过程;若不是,说明理由.答案：1.(1)解设P(x,y),B(x0,y0),P为AB中点,x0=2x,y0=2y+1.B为抛物线y=18x2+1上任意一点,y0=18x02+1,代入得x2=4y,点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)证明依题意得F(0,1),直线MN的斜率存在,其方程可设为y=kx+1.设M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,则=16k2+160,x1x2=-4.直线OM的方程为y=

4、y1x1x,H是直线OM与直线y=-1的交点,H-x1y1,-1.根据抛物线的定义|NF|等于点N到准线y=-1的距离.H在准线y=-1上,要证明|NF|=|NH|,只需证明HN垂直于准线y=-1,即证HNy轴.H的横坐标-x1y1=-x1x124=-4x1=x1x2x1=x2,HNy轴成立,|NF|=|NH|成立.2.(1)解由题意得ca=13,2ab=122,解得a=3,c=1,b=22,所以椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)证明如图,设直线l的方程为x=ty+1,设点M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=ty+1,x29+y28=1,消去x,整理得(8t2+9)y2+16ty

5、-64=0,则0恒成立,由韦达定理得y1+y2=-16t8t2+9,y1y2=-648t2+9,设点P(9,m),A(3,0),则AM=(x1-3,y1)=(ty1-2,y1),AP=(6,m),由AMAP得6y1=m(ty1-2),可得m=6y1ty1-2,即点P9,6y1ty1-2,同理可得点Q9,6y2ty2-2,FP=8,6y1ty1-2,FQ=8,6y2ty2-2,FPFQ=64+36y1y2(ty1-2)(ty2-2)=64+36y1y2t2y1y2-2t(y1+y2)+4=64+-36648t2+9-64t28t2+9+32t28t2+9+4=64+-3664-64t2+32t2

6、+4(8t2+9)=64-64=0,FPFQ.又PQ中点为G,|FG|=12|PQ|.3.解(1)设直线AB的方程为x=my+1,代入y2=2x,得y2-2my-2=0,=4m2+80,所以yAyB=-2.(2)设点M,N的坐标分别为(xM,yM),(xN,yN),点A,B的横坐标分别为xA,xB.由(1)同理可得yMyN=-2,设直线AN的方程为x=ny+2,代入y2=2x,得y2-2ny-4=0,=4n2+160,所以yAyN=-4.又k1=yN-yAxN-xA=yN-yAyN22-yA22=2yN+yA,同理得k2=2yM+yB,所以=k2k1=yA+yNyB+yM=yA+yN-2yA+

7、-2yN=yAyN-2=2,所以存在实数=2,使得k2=2k1.4.解(1)由题知c=2,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a=22,b=2,所以椭圆的方程为x28+y24=1,其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.(2)|MN|的长为定值.证明如下:若直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在,不妨设直线l1的斜率不存在,因为直线l1与椭圆只有一个公共点,所以直线l1的方程为x=22或x=-22,当直线l1的方程为x=22时,l1与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,-2),因b=2,过点(22,2),或(22,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线分别是y=2或y=-2,即直线l2的方程为y=2或y=-2,所以l1l2,所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.若直线l1,l2的斜率都存在,设点P(x0,y0),则x02+y02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,联立y=t(x-x0)+y0,x28+y24=1,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以=(64-8x02)t2+16x