高中物理选择性必修36.2.3-6.2.4第2课时组合数公式

1、第2课时组合数公式学习目标1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题知识点一组合数公式组合数公式乘积形式Ceq oal(m,n)eq f(nn1n2nm1,m！)，其中m，nN*，并且mn阶乘形式Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)规定：Ceq oal(0,n)1.知识点二组合数的性质性质1：Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n).性质2：Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n).1Ceq oal(2 019,2 020)_.答案2 0202Ceq oa

2、l(1,2)Ceq oal(2,2)_.答案33若Ceq oal(m,7)21，Ceq oal(m,6)15，则Ceq oal(m1,6)_.答案64方程Ceq oal(x,5)Ceq oal(2,5)，则x_.答案2或3一、组合数公式的应用命题角度1化简与求值例11求值：(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)；(2)Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n).解(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)3eq f(876,321)2eq f(54,21)148.(2)eq blcrc (avs4alco1(38n3n，,3n21n，)9.

3、5n10.5.nN*，n10，Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n)Ceq oal(28,30)Ceq oal(30,31)Ceq oal(2,30)Ceq oal(1,31)466.命题角度2与组合数有关的证明例12证明：mCeq oal(m,n)nCeq oal(m1,n1).证明mCeq oal(m,n)meq f(n！,m！nm！)eq f(nn1！,m1！nm！)neq f(n1！,m1！nm！)nCeq oal(m1,n1).命题角度3与组合数有关的方程或不等式例13(1)(多选)若Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)，则n的可能取值有()A6 B

4、7 C8 D9答案ABCD解析由Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)得eq blcrc (avs4alco1(f(n！,4！n4！)f(n！,6！n6！)，,n6)eq blcrc (avs4alco1(n29n100，,n6)eq blcrc (avs4alco1(1n10，,n6，)又nN*，则n6,7,8,9.该不等式的解集为6,7,8,9(2)已知eq f(1,Coal(m,5)eq f(1,Coal(m,6)eq f(7,10Coal(m,7)，求Ceq oal(m,8)Ceq oal(5m,8).解eq f(1,Coal(m,5)eq f(1,Coal(m,6)eq f

5、(7,10Coal(m,7)，eq f(m！5m！,5！)eq f(m！6m！,6！)eq f(77m！m！,107！)，即eq f(m！5m！,5！)eq f(m！6m5m！,65！)eq f(7m！7m6m5m！,10765！)，1eq f(6m,6)eq f(7m6m,60)，即m223m420，解得m2或m21.0m5，mN*，m2，Ceq oal(m,8)Ceq oal(5m,8)Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(3,9)84.反思感悟(1)组合数公式Ceq oal(m,n)eq f(nn1n2nm1,m！)一般用于计算，而组合数公式Ceq oal(m,

6、n)eq f(n！,m！nm！)一般用于含字母的式子的化简与证明(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq oal(m,n)的隐含条件为mn，且m，nN*.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)；Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n).跟踪训练1(1)计算：Ceq oal(98,100)Ceq oal(199,200)；(2)证明：Ceq oal(m,n)eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1).(1)解Ceq oal(98,100)Ceq oal(199,200)Ceq oal

7、(2,100)Ceq oal(1,200)eq f(10099,2)2004 9502005 150.(2)证明eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1)eq f(n,nm)eq f(n1！,m！n1m！)eq f(n！,m！nm！)Ceq oal(m,n).二、有限制条件的组合问题例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选解(1)Ceq oal(5,13)Ceq oal(5,11)825(种)(2)至多有2名女生当选含有

8、三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，所以共有Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,8)Ceq oal(1,5)Ceq oal(4,8)Ceq oal(5,8)966(种)选法(3)分两类：第一类女队长当选，有Ceq oal(4,12)495(种)选法，第二类女队长没当选，有Ceq oal(1,4)Ceq oal(3,7)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,7)Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,7)Ceq oal(4,4)295(种)选法，所以共有495295790(种)选法反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法

9、常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏跟踪训练2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有()A210种 B420种 C56种 D22种答案A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,7)Ceq o

10、al(1,4)Ceq oal(2,7)210(种)三、分组、分配问题命题角度1平均分组例31(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？解(1)先从6本书中选2本给甲，有Ceq oal(2,6)种方法；再从其余的4本中选2本给乙，有Ceq oal(2,4)种方法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有Ceq oal(2,2)种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)90(种)方法(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有Ceq oal(2,6)Ceq o

11、al(2,4)Ceq oal(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有Aeq oal(3,3)种方法根据分步乘法计数原理，可得Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)xAeq oal(3,3)，所以xeq f(Coal(2,6)Coal(2,4)Coal(2,2),Aoal(3,3)15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法命题角度2不平均分组例32(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一

12、人两本，一人三本，有多少种不同的方法？解(1)这是“不平均分组”问题，一共有Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,3)60(种)方法(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,3)Aeq oal(3,3)360(种)方法命题角度3分配问题例336本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？解可以分为三类情况：“2,2,2型”，有Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)90(种)方法；“1,2,3型”，有Ceq oal(1,6)Ceq oal(

13、2,5)Ceq oal(3,3)Aeq oal(3,3)360(种)方法；“1，1,4型”，有Ceq oal(4,6)Aeq oal(3,3)90(种)方法，所以一共有9036090540(种)方法反思感悟“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪训练3将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,

14、4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有444444256(种)放法(2)这是全排列问题，共有Aeq oal(4,4)24(种)放法(3)方法一先将4个小球分为3组，有eq f(Coal(2,4)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有Aeq oal

15、(3,4)种投放方法，故共有eq f(Coal(2,4)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)Aeq oal(3,4)144(种)放法方法二先取4个球中的2个“捆”在一起，有Ceq oal(2,4)种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有Aeq oal(3,4)种投放方法，所以共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,4)144(种)放法(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有Ceq oal(1,4)种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有Ceq oal(1,4)28(种)放法(5)先从4个盒子中选

16、出3个盒子，再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)12(种)放法与几何有关的组合应用题典例如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解(1)方法一可作出三角形Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2

17、,6)Ceq oal(1,4)116(个)其中以C1为顶点的三角形有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,4)36(个)方法二可作三角形Ceq oal(3,10)Ceq oal(3,4)116(个)，其中以C1为顶点的三角形有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,4)36(个)(2)可作出四边形Ceq oal(4,6)Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,6)360(个)素养提升(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共

18、面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养1Ceq oal(2,6)Ceq oal(5,7)的值为()A72 B36 C30 D42答案B解析Ceq oal(2,6)Ceq oal(5,7)Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,7)eq f(65,21)eq f(76,21)152136.2若Ceq oal(2,n)28，则n的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析因为Ceq oal(2,n)28，所以eq f(1,2)n(n1)28，又nN*，所以n8.3若Aeq oal(3,m)6Ce

19、q oal(4,m)，则m等于()A9 B8 C7 D6答案C解析由已知得m(m1)(m2)6eq f(mm1m2m3,4！)，解得m7，故选C.4甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为_答案96解析从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(3,4)Ceq oal(3,4)96(种)5有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有_种答案18解析从4名男医生中选2人，有Ceq oal(2,4)种选法，从3名女医生中选1人，有Ceq

20、oal(1,3)种选法，由分步乘法计数原理知，所求选法种数为Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,3)18.1知识清单：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)计算(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)计算(3)计算时应注意利用组合数的性质Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)简化运算(4)分组分配问题2方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想3常见误区：分组分配中是否为“平均分组”1计算：Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)

21、Ceq oal(2,9)等于()A120 B240 C60 D480答案A解析Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(2,9)eq f(78,21)eq f(678,321)eq f(89,21)120.2从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A60种 B48种 C30种 D10种答案C解析从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有Ceq oal(2,5)种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有Ceq oal(2,3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有Ceq oal(2,5)Ce

22、q oal(2,3)30(种)，故选C.3(多选)下列等式正确的有()ACeq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！) BCeq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)CCeq oal(m,n)eq f(m1,n1)Ceq oal(m1,n1) DCeq oal(m,n)Ceq oal(m1,n1)答案ABC解析A是组合数公式；B是组合数性质；由eq f(m1,n1)Ceq oal(m1,n1)eq f(m1,n1)eq f(n1！,m1！nm！)Ceq oal(m,n)得C正确；D错误4200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()ACeq oal(32,1

23、97)Ceq oal(2,3)种 BCeq oal(3,3)Ceq oal(2,197)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)种CCeq oal(5,200)Ceq oal(5,197)种 DCeq oal(5,200)Ceq oal(1,3)Ceq oal(4,197)种答案B解析至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)种抽法，(2)3件次品，2件正品，共Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,197)种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)Ceq oal(3,3

24、)Ceq oal(2,197)种5空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A205 B110 C204 D200答案A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为Ceq oal(0,5)Ceq oal(4,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(1,5)205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq oa

25、l(4,10)Ceq oal(4,5)205.64名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有_种答案36解析把4名学生分成3组有Ceq oal(2,4)种方法，再把3组学生分配到3所学校有Aeq oal(3,3)种方法，故共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,3)36(种)保送方案7甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)答案336解析当每个台阶上各站1人时有Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)种站法；当两个人站在同一个台阶上时有Ceq oal(2,3)Ceq

26、oal(1,7)Ceq oal(1,6)种站法因此不同的站法种数为Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,7)Ceq oal(1,6)210126336.8某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_种答案600解析可以分情况讨论：甲、丙同去，则乙不去，有Ceq oal(2,5)Aeq oal(4,4)240(种)选法；甲、丙同不去，有Aeq oal(4,6)360(种)选法，所以共有600种不同的选派方案9已知Ceq oal(4,n)，Ceq oal(5,n

27、)，Ceq oal(6,n)成等差数列，求Ceq oal(12,n)的值解由已知得2Ceq oal(5,n)Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)，所以2eq f(n！,5！n5！)eq f(n！,4！n4！)eq f(n！,6！n6！)，整理得n221n980，解得n7或n14，要求Ceq oal(12,n)的值，故n12，所以n14，于是Ceq oal(12,14)Ceq oal(2,14)eq f(1413,21)91.10现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻

28、译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解可以分三类：第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,3)种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,3)种选法根据分类加法计数原理，一共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,3)42(种)不同的选法11若Ceq oal(7

29、,n1)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n)，则n等于()A12 B13 C14 D15答案C解析因为Ceq oal(7,n1)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n)，即Ceq oal(7,n1)Ceq oal(8,n)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n1)，所以n178，即n14.12在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(mn1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为()ACeq oal(1,m1)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n1)Ceq oal(2,m) BCeq oal(1,m)

30、Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)CCeq oal(1,m)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n) DCeq oal(1,m)Ceq oal(2,n1)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m1)答案C解析第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有Ceq oal(1,m)Ceq oal(2,n)个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有Ceq oal(1,n)Ceq

31、oal(2,m)个；第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n)个由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为Ceq oal(1,m)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n).13若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案D解析从1,2,3，9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：(1)取出的4个数都是偶数，取法有Ceq oal(4,4)1(种)；(2)取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,5)60(种)；(3)取出的4个数都是