汽车振动与噪声控制表现和要求

1、1汽车振动与噪声控制表现和要求2第1章 振动理论基础介绍单自由度系统多自由度系统连续系统振动3介绍4 在外力的作用下，弹性的机械或结构不仅产生刚体运动，还会产生由于自身弹性而引起在平衡位置附近的微小往复运动，这种往复运动通常称为振动。介绍振动5介绍6介绍7介绍8振动是自然界最普遍的现象之一，例如 (1)心脏的搏动、耳膜和声带的振动，(2)桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动，(3)飞机和轮船航行中的振动，(4)机床和刀具在加工时的振动 各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题。 借助数学、物理、实验和计算技术

2、，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，为合理解决各种振动问题提供理论依据。介绍9(1) Tacoma 峡谷大桥 (1940.11.07)(Barney Elliot,Harbine Monroe)振动的危害介绍10卡门涡街（Krmn vortex street）引起桥梁共振 介绍11(2) 英国渡桥电厂冷却塔 (1965)塔高122m, 钢筋混凝土结构介绍振动的危害12振动的危害13利用振动为人类服务介绍14 通常的研究对象被称作系统，它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等。系统是对一般机器或结构系统的一类抽象数学模型，当研究的目的是关于

3、系统的振动性能时，该系统模型称为振动系统。振动研究的问题介绍 系统的输入和输出，往往又分别称为“激励”和“响应”。 系统的“激励”一般是外界对系统的作用，它可能是力，也可能是位移。而“响应”则一般是系统的变形和位移或速度或加速度。系统之所以振动是因为：(1)系统受到了外部激励这是外因； (2)系统具有质量和弹性这是内因。 从能量转化的角度看，外界对系统的激励就是对系统做功，这个功被储存到系统中，一部分转化为质量块的动能，一部分转化为弹性体的变形势能。 反复振动的过程就是激励功、动能和势能之间不断转化的过程。 如果系统没有继续从外界获得能量，在经历一段时间后振动就会停止，这是因为系统存在阻尼。激

4、励、质量、弹性、阻尼是振动系统的四大要素。15输入 激励f(t)输出 响应x(t)振 动系统h(t)根据给定的条件及求解的问题不同，振动所研究的问题主要有如下三类：振动分析：如已知路面条件和车辆结构，乘坐舒适性和操纵稳定性分析。振动隔离动态特性分析如为减小汽车在不平路面上行驶时传给车身振动的悬架设计。已知系统特性和振动响应，求系统所受到的激励。有在线控制、工具开发等，如振源判断、载荷识别、工况监控与故障诊断等，基于五轮仪的路面谱测量就是这方面的应用。已知激励和系统特性，求系统响应。振动的正问题环境预测：振动的逆问题振动研究的问题介绍16这类问题往往用模态实验的方法识别出系统，以建立振动模型或检

5、验已有的理论模型。系统辨识：已知激励和系统响应，确定系统的特性。也是振动的逆问题振动研究的问题介绍17(1) 理论分析方法(2)试验研究(3)理论分析与试验相结合振动的基本研究方法介绍18振动的基本研究方法介绍(1) 理论分析方法19建立振动系统的力学模型建立运动方程求解方程，得到响应规律力学知识单自由度系统高等数学（微分方程）多自由度系统线性代数（矩阵运算）(1) 理论分析方法振动的基本研究方法介绍20一个受简谐激振力作用的单自由度系统质量阻尼系数刚度激励力质量弹性阻尼激励振动系统四要素振动的基本研究方法介绍(1) 理论分析方法21振动系统 传感器放大器 测振仪 频谱分析 信号发生器 激振器

6、 (2)实验研究方法 振动分析结果的验证系统辨识 利用系统的输入和输出信号建立系统数学模型的理论和方法振动的基本研究方法介绍223）理论与实验相结合的方法 通过理论分析与实验相结合的方法可以更好地研究振动。 通过模态分析实验方法识别出系统，建立系统特性模型，或通过振动响应实验来验证理论分析的结果，也可以用理论分析的方法预测系统的响应。介绍23按系统输入类型：自由振动强迫振动自激振动参数振动振动的分类介绍根据描述系统的微分方程：线性振动非线性振动根据系统的自由度：单自由度多自由度无限自由度24根据系统振动规律：周期振动非周期振动随机振动振动的分类介绍25汽车振动就是把汽车作为研究对象，研究其整体

7、或某个部位的振动问题。汽车上的主要振动问题： 发动机和传动系统、悬架系统、制动系统、转向系统、车身和车架 路面不平车速和运动方向的变化车轮、发动机和传动系统的不平衡齿轮的冲击动力性发挥不充分经济性变坏通过性、操纵稳定性和平顺性不好损坏零部件和货物缩短使用寿命汽车上振动的问题介绍26四冲程内燃机的示功图导致曲轴干扰力的最主要原因是：气缸内周期变化的气体压力和活塞连杆曲柄机构运动时产生的惯性力。（1）发动机和传动系统曲轴受周期干扰力作用而产生的扭振发动机在车架上的整机振动气门机构的振动汽车上振动的问题介绍27(2)悬架系统平顺性就是保持汽车在行驶过程中乘员所处的振动环境具有一定的舒适度的性能，对于

8、载货汽车还应包括保持货物完好的性能。悬架系统振动主要研究汽车平顺性由弹簧和减震器组成的悬架系统功能是：缓和由不平路面传给车身的冲击载荷，衰减由冲击载荷引起的承载系统的振动。汽车上振动的问题介绍28（3）制动系统 汽车制动时，行驶方向的惯性力和作用在轮胎上的地面制动力所形成的力矩会使前轴负荷增大，后轴负荷减小，从而加强了制动时整车的振动。汽车上振动的问题介绍29(4)转向系统 转向轮会绕主销的振动成为摆振，摆振将导致汽车出现蛇行现象。 蛇行现象增加了轮胎的滚动阻力，加剧了轮胎的磨损，增大了转向阻力，降低了零件寿命，使平顺性和操稳性变坏，影响汽车使用性能。汽车上振动的问题介绍30(5)车身和车架

9、车身及车架系统一般是连续体，具有无限多个自由度，常采用有限元分析法分析车身和车架的振动问题。 有限元法是把连续体视为由若干个在节点处彼此相连接的基本单元组合，把无限多个自由度的连续结构振动问题变为有限个自由度的振动问题。汽车上振动的问题介绍31单自由度系统 自由振动是指振动系统受到某种初始外界激励后，并在所定义的时间零点开始后不再受外界激励情况下，系统所表达的运动。自由振动 系统所表现出来的性质，仅仅由系统本身的构造分布所决定。32单自由度系统 假设阻尼为0。自由振动令 通解为： 设系统初始条件： 则：33单自由度系统自由振动振动的圆频率振动的频率 只与系统的刚度和质量有关，与外界的激励无关，

10、称为系统的固有频率。 系统的振幅和初相位角，取决于外界的初始激励及系统本身的刚度和质量。34单自由度系统自由振动存在阻尼时，即阻尼不为0。定义阻尼比：令其特解为：代入上式得系统特征方程：其解为：方程通解为：35单自由度系统自由振动可知单自由度系统总体表现为衰减运动，衰减形态由阻尼比决定。方程通解为： 阻尼比不仅仅取决于阻尼系数，还与系统的质量和刚度有关，阻尼比是描述系统振动特性的一个本质特征参数。 主要的运动形态有以下几种： (1)欠阻尼形态； (2)临届阻尼形态； (3)过阻尼形态。36(1)欠阻尼情况 (阻尼振动频率)或：欠阻尼系统的自由振动响应单自由度系统自由振动37振幅按指数规律 衰减

11、； 自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为: 阻尼振动周期 自由振动为非周期振动；欠阻尼振动特性：单自由度系统自由振动自由振动曲线(欠阻尼)01234-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20wn = 10rad/s, z = 4%x0 = 0.0m, dx(0)/dt =2.0 m/s x, mt, s38(2)临界阻尼情况 特征方程有一对相等实根，故通解：单自由度系统自由振动39结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。质量块对初始条件的临界阻尼响应0.00.51.01.52.0-0.02-0.010.000.010.02m=

12、10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/mx, mt, s x0 =0.02m, dx(0)/dt =0.0 m/s x0 =0.02m, dx(0)/dt =-0.5 m/s x0 =0.02m, dx(0)/dt =-1.0 m/s单自由度系统自由振动(2)临界阻尼情况 40(3)过阻尼情况 特征方程有一对互异实根，故通解为：单自由度系统自由振动41结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。 质量块对初始位移的过阻尼响应0.00.51.01.52.00.0000.0050.0100.0150.020m=10 kg, k=1000 N/mx0 =0.02m, dx(0)/d

13、t =0m/s x, mt, s z=1.05 z=1.3 z=1.5(3)过阻尼情况 单自由度系统自由振动42单自由度系统强迫振动 强迫振动是指系统有外部激励期间表现的振动，外界激励可以是作用在质量块上的力，也可以是系统支承的运动。 强迫振动从外界不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统得以维持持续的等幅振动。 最简单的情况是简谐激振力或支承点的简谐运动引起的强迫振动。此时系统作与激振力或支承运动相同频率的简谐振动，具有与激振力或支承运动的幅值和频率都有关的一定的振幅。当频率接近于系统的固有频率时，便发生共振。43强迫振动激振力包括： 简谐激振力 非简谐的周期激振力 冲击激振力 随机激振

14、力，等等 激励包括： 力激励 运动激励 单自由度系统44 f1 f2 f3简谐激振力作用下的强迫振动强迫振动单自由度系统451.谐波激励响应单自由度系统强迫振动 如果作用在系统的力是某个频率简谐力，那么系统的响应就称为谐波响应。简谐激振力激振力幅值 激振频率 令：简谐激振力作用下振动方程的标准形式:通解 特解 46通解 特解 通解：单自由度系统瞬态振动稳态振动令特解为：B为强迫振动振幅，为相位差令 ：静位移 将特解带入运动方程得：1.谐波激励响应47代入上式整理得：上式恒为零，可知：单自由度系统1.谐波激励响应48解出：令：频率比简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：单自由度系统1.谐波激励响应4

15、9简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：强迫振动稳态响应的基本特点： (1)系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应是简谐振动，振动的频率与激励频率相同。(2)强迫振动稳态响应的相位比激励的相位滞后 。无阻尼系统：初始条件只能影响系统的瞬态振动解。 (3)强迫振动稳态响应振幅 B与相位差 取决于系统本身的特性（质量m、刚度k、阻尼c）和激振力的频率 、力幅 ，与振动的初始条件无关。单自由度系统1.谐波激励响应50影响稳态响应幅值B的因素：静位移频率比 阻尼比强迫振动稳态响应的幅值 B 与激振力幅值F 成正比。无量纲形式振幅放大因子动态放大因子单自由度系统1.谐波激励响应51放大因子：(1)频率比

16、 稳态响应的振幅B近似等于激振力幅F 作用下的静位移B0 。系统的振幅主要由弹簧控制；称为弹性控制区。1.谐波激励响应称为相对低频段。幅频特性52(2)频率比 系统的振幅B主要取决于系统的惯性 。称为惯性控制区。 和 时，阻尼对稳态响应幅值的影响很小。1.谐波激励响应放大因子：相对高频带。幅频特性53(3)频率比 无阻尼时，振幅B趋于无穷大。 系统共振：激振力频率与系统的固有频率相等。在 时： 系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。放大因子：1.谐波激励响应共振区幅频特性54 系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。当附近的区域，被称为阻尼控制区。

17、1.谐波激励响应(3)频率比幅频特性55如果：振幅放大因子没有峰值。放大因子：1.谐波激励响应(4)放大因子最大值幅频特性56相频特性曲线(1)小阻尼 位移与激振力在相位上接近同相； 位移与激振力在相位上接近反相；(2) 在 前后相位差发生突变现象。(3)相位差随着频率比的增大而逐渐增大。1.谐波激励响应相频特性57(4)阻尼对相位差的影响：随着 的增大而增大；随着 的增大而减小； 即共振时位移与激振力在相位滞后90 。 在振动测试中，常常利用相位差的变化来确定共振点。 振动响应的幅值急剧增大的现象称为共振。在小阻尼情况下，定义共振频率为：激振力的频率等于系统的固有频率。共振区：1.谐波激励响

18、应相频特性58方程的解：先考虑无阻尼系统：无阻尼系统的特解为：2.谐波激励引起的强迫振动瞬态响应过程59由得到：由得到：自由振动自由伴随振动稳态响应伴随振动的特点：1、振动频率为系统的固有频率；2、振幅与初始条件无关，而与系统本身的特性和激励有关。外界的激振力不但激起强迫振动，同时还要引起自由振动。时：2.谐波激励引起的强迫振动瞬态响应过程60考虑无阻尼系统出现共振时的情况：共振时不定型 采用罗必塔法则求出共振时的响应：短暂时间后2.谐波激励引起的强迫振动瞬态响应过程61 自由振动和自由伴随振动都将随时间逐渐衰减而趋于零，所以它们都是瞬态响应，而系统将在外界激励的作用下保持稳定的等幅振动。工程

19、中的实际系统都存在着一定的阻尼,62 对有阻尼系统：得到：解出：因为：2.谐波激励引起的强迫振动瞬态响应过程63方程的解：有阻尼自由振动解自由伴随振动稳态响应当时： 有阻尼自由振动和自由伴随振动都是瞬态响应，它们将随时间逐渐衰减直到消失，系统将保持稳态的强迫振动。64支承的运动规律：整理：弹簧传递过来的激振力 阻尼器传递过来的激振力采用复数解法：支承运动 系统的稳态响应解单自由度系统3.支承谐波激励响应65稳态响应的幅值：求相位差：改写为无量纲量：振幅放大因子传递率 66传递率的频率特性： 低频段 质量块的绝对运动近似等于基础的运动（动画） 共振区域附近： 近似最大说明基础运动经弹簧和阻尼器传

20、递到质量块后放大了（动画）01230123452z=0.707z=0.2z=0.01lz=0.167注意到： 高频段： 说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离了。01230123452z=0.707z=0.2z=0.01lz=0.168对相同阻尼比，随频率比增加传递率的下降不再明显。69例1.汽车的拖车,已知：满载时m1=1000kg， 。空载时m2=250kg，k=350kN/m，车速v=100km/h，l =5m。求：汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。解：拖车匀速行驶路面的激振频率为：空载时拖车的相对阻尼比：70满载时的频率比：空载时的频率比：满载时空载时汽车的拖车在满载和空载时的振幅比：71振

21、动的隔离分为两种：主动隔振和被动隔振。(1)主动隔振 （振源是机器）（根据振源情况）将振动的机器与地基隔离开，以减少振源对周围的影响。 主动隔振的目的是减小由于振动传递到地基上的力。隔振效果：力传递率TF主动隔振系数P0：隔振前传到地基上的力的幅值。PT：隔振后传到地基上的力的幅值。单自由度系统4.振动的隔离隔振: 在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。72力传递率TFP0：隔振前传到地基上的力的幅值。PT：隔振后传到地基上的力的幅值。通过弹簧传到地基上的力的幅值为通过阻尼器传到地基上的力的幅值为 稳态响应幅值：得到力传递率：73(2)被动隔振（振源来自地基的运动）隔振效果

22、采用位移传递率 TD表示。定义为隔振后机器设备的振动幅值与地基运动的幅值之比。地基的运动：位移传递率：被动隔振系数主动隔振 （振源是机器）力传递率力传递率TF位移传递率TD统称为传递率:74任意的周期激振力基频：稳态响应解：无阻尼系统：单自由度系统5.任意周期激励响应75任意激励：任意的时间函数。分析方法：把非周期激振力看成为一系列脉冲载荷所组成。1.单位脉冲响应单位脉冲函数函数的性质：单自由度系统对任意激励的响应在零时刻作用有单位脉冲函数并且有零初始条件的单自由度系统，有：76系统在单位脉冲力作用下的运动微分方程与初始条件：即：速度发生突变，初位移及其增量为零 ，上式变为：单自由度系统1.单

23、位脉冲响应对上式左右两边对时间在 内积分，得：77系统的脉冲响应：无阻尼系统：脉冲响应为：由于脉冲持续时间视为无穷小，脉冲作用时间后系统就成为有初始速度扰动的自由振动。如果 时刻，作用强度为 的脉冲。单自由度系统单位脉冲响应782.任意激振力的响应杜哈梅（Duhamel）积分线性系统对任意激励的零初始条件下的响应等于它的单位脉冲响应与激励的卷积。卷积的性质：杜哈梅（Duhamel）积分单自由度系统把 看作一系列冲量微元 之和。对于冲量微元，系统的响应微元为：根据叠加原理，系统对整个激励的响应为各响应微元的叠加：79将 带入下式，得：单自由度系统2.任意激振力的响应杜哈梅（Duhamel）积分8

24、0系统对任意激励的响应：无阻尼系统对任意激励的响应：杜哈梅积分是系统在零初始条件下的响应，当激励为简谐激励时，杜哈梅积分即为自由伴随振动和稳态强迫振动两部分。单自由度系统2.任意激振力的响应杜哈梅（Duhamel）积分81例.求无阻尼单自由度系统受矩形脉冲力作用的响应。解：简谐振动系统的响应：82函数f ( t )的傅氏积分形式为：单自由度系统3.频率响应函数和传递函数式中：f ( t )傅氏变换傅氏反变换作傅氏变换和 称为傅氏变换对。就是系统的频率响应函数。作傅氏变换系统的频率响应函数定义为输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之比。83单自由度系统3.频率响应函数和传递函数作傅氏变换频率响应函数频

25、率响应函数的模84拉氏变换：卷积定理：单自由度系统3.频率响应函数和传递函数系统的传递函数定义为输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。作拉氏变换S 为复变量85系统的传递函数定义为输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。作拉氏变换：S 为复变量系统的传递函数：单位脉冲响应 h(t) 是传递函数 H(s) 的拉氏逆变换。或传递函数 H(s)是单位脉冲响应 h ( t ) 的拉氏变换。作拉氏变换：单自由度系统86时间域激励f (t)单位脉冲响应h(t)响应x(t)频率域激励谱复频响应函数响应谱复数域变换激励f (s)传递函数H(s)变换响应X(s)令复变量记：系统的复频响应函数与传递函数的关系。87 例

26、1.试建立系统的运动微分方程。解：两自由度系统多自由度系统多自由度系统运动微分方程88多自由度系统系统运动微分方程89例2M1(t)，M2(t)I1 , I2 试：建立系统的运动微分方程。解：受力分析 角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。多自由度系统多自由度系统运动微分方程90例3.研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型，写出车体振动的动力学方程。多自由度系统拉格朗日方程：为系统的总动能、总势能、总耗散能为第i个质点广义坐标、广义力91解：建立所示简化的分析模型，多自由度系统92通过分析，得： 方程组各方程间在变量上存在相互联系，也

27、就是说一个方程包含多个变量及其导数，称耦合。 选取的广义坐标不同，所得到的运动微分方程不同，方程的耦合情况也不相同。 上式存在惯性耦合以及弹性耦合。多自由度系统93解：建立所示简化的分析模型，选质心C的垂直位移和绕C点的角位移为广义坐标。多自由度系统94不存在惯性耦合。多自由度系统95多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程： 在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动 。和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。多自由度系统实模态分析96同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变

28、化的规律都相同的运动 。振动形式1振动形式2振动形式3三自由度系统思考：同步振动是不是解耦振动？多自由度系统97多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程：代表着振动的形状常数列向量 和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。 运动规律的时间函数 多自由度系统98代入，并左乘 ：常数M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 ： 令：对于半正定系统，有 对于正定系统必有 多自由度系统99a、b、 为常数（1）正定系统 只可能出现形如 的同步运动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。

29、（2）半正定系统 可能出现形如 的同步运动。也可能出现形如 的同步运动（不发生弹性变形 ）。主振动多自由度系统100首先讨论正定系统的主振动： M 正定，K 正定主振动：正定系统：将常数 a 并入 中代入振动方程： 有非零解的充分必要条件：特征方程 多自由度系统101解出 n 个值，按升序排列为： ：第 i 阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。：基频。多自由度系统102例：三自由度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统103多自由度系统的模态（主振型）正定系统：主振动：特征值问题：特征值特征向量 n 自由度系统：（固有频率）（模态向量）一一对应代入，有

30、：第i 阶模态特征值问题。振动的形状多自由度系统104令：解得：的值也可以取任意非零常数将解得 特征向量 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化 。多自由度系统105正定系统：主振动：将 ， 代入主振动方程,并将改为第 i 阶主振动 ：系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率wi 做简谐振动，并且同时通过静平衡位置。 多自由度系统106第一阶主振动第二阶主振动第三阶主振动三自由度系统系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率wi 做简谐振动，并且同时通过静平衡位置 w1w2w3多自由度系统107第 i 阶主振动 ：多自由度系统108第 i 阶主振动 ：比值： 虽然各坐标

31、上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定 。描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶主振型，或第 i 阶模态。主振型仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。第 i 阶特征向量 ，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值 。多自由度系统109正定系统：第 i 阶主振动 ：系统的自由振动：n个主振动的叠加 模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。 初始条件决定多自由度系统110例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。多自由度系统111解：动力学方程：

32、令主振动： 或直接用 得： m2m2kkkx1x2多自由度系统112令 特征方程： 为求主振型，先将 代入 ：一个独立 令则第一阶主振型：令则代入第二阶主振型：同理： 多自由度系统113第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。 第一阶主振动:11m2m2kkkx1x2两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。aa同向运动多自由度系统114第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -21m2m2kkkx1x2第二阶主振动: 两个质量以w2为振动频率，同时经过各自

33、的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都是第二个质量的位移的两倍。 异向运动 2aa多自由度系统115第一阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动:同向运动始终不振动点11-21无节点 一个节点 m2m2kkkx1x2第二阶主振动:异向运动 节点 如果传感器放在节点位置，则测量的信号中将不包含有第二阶模态的信息 。多自由度系统116解：动力学方程：主振动： 或 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统117解：动力学方程：主振动： 或 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统118令 行列式0单根 分别代入，得 第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素符号变

34、号的次数可以判断出。多自由度系统119模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x3无节点一个节点两个节点多自由度系统120单自由度系统多自由度系统121两自由度系统第一阶模态第二阶模态一个节点无节点节点位置多自由度系统122第一阶模态第二阶模态第三阶模态三自由度系统节点位置无节点一个节点两个节点多自由度系统123第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态四自由度系统一个节点两个节点三个节点节点位置无节点多自由度系统124模态的正交性，主质量和主刚度两式相减：转置右乘左乘若 时， 模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性均满足：当 ij 时第 i

35、 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态恒成立多自由度系统K、M是对称阵KKT MMT125模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性当 ij 时主质量主刚度当 时利用 Kronecker 符号： 第 i 阶固有频率：多自由度系统126主模态：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态多自由度系统：另一种模态：正则模态定义：全部主质量皆为1的主模态 令：正则模态和主模态之间的关系：相对于 的主刚度：多自由度系统127正则模态的正交性条件：主模态的正交性条件：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态主模态：主质量为1固有频率的平方第 i 阶正则模态正则模态：

36、多自由度系统128多自由度系统：主模态将 组成矩阵模态矩阵主质量矩阵主刚度矩阵正交性条件：对角阵多自由度系统129推导：对角阵多自由度系统130多自由度系统：正则模态将 组成矩阵正则模态矩阵单位矩阵谱矩阵正交性条件：多自由度系统131多自由度系统：特征值问题：依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为：主模态正交性条件：左乘 ：多自由度系统132模态叠加法物理空间耦合主模态空间解耦物理空间耦合正则模态空间解耦133例：三自由度系统模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵： Kp、Mp非对角线项等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的. 谱矩阵：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统134方程 引

37、入辅助方程令状态空间方程多自由度系统复模态分析不满足广义的比例阻尼 令解代入上式，得：齐次方程135设其解为特征方程 2n个特征值多自由度系统复模态分析状态空间方程代入上式，得：由得到2n个2n维特征向量 并有 136 复特征向量的正交性i，j=1，2，,n多自由度系统复模态分析定义：137 定义线性变换：多自由度系统复模态分析代入两边左乘其中138多自由度系统复模态分析两边进行拉普拉斯变换，得：对上式两边进行拉普拉斯逆变换，得：求得：139得：多自由度系统复模态分析将 代入得：140多自由度系统复模态分析粘性阻尼系统的利用复模态叠加的包括初始条件和任意激励的相应。141 实际的振动系统都是连

38、续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。连续系统振动1421.弦的横向振动弦两端固定，以张力 F 拉紧在分布力作用下作横向振动 建立坐标系弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移 单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦的质量 微段受力情况 达朗贝

39、尔原理： 弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：得：连续系统振动一维弹性体振动1431.弦的横向振动当 连续系统振动一维弹性体振动无阻尼自由振动 设系统边界条件： 初始条件：假设：时间函数和空间函数的乘积变为：1441.弦的横向振动连续系统振动一维弹性体振动两边都等于同一常数。左边是x的函数，右边是t的函数。只有 小于零 才能代表振动运动。令：1451.弦的横向振动连续系统振动一维弹性体振动其解分别为：由边界条件，可知则有：两端固定的弦横向振动的特征方程。特征值固有频率特征函数1461.弦的横向振动连续系统振动一维弹性体振动主振动为：弦自由振动的响应是主振动的叠加。连续系统的自由振动响应与集中参数

40、系统的响应没有本质区别，仍然适用模态叠加法。147讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积 A材料密度弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：2.杆的纵向振动连续系统振动148杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移微段分析 微段应变： 横截面上的内力：由达朗贝尔原理： 2.杆的纵向振动连续系统振动149杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移横截面上的内力：由达朗贝尔原理： 代入，得： 杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，AE 为常数 弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有： 2.杆的纵向振动连续系统振动150 固有频率

41、和模态函数方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设 ：q(t) 表示运动规律的时间函数 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅 代入，得：2.杆的纵向振动连续系统振动151记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率 有无穷多个 2.杆的纵向振动连续系统振动152第 i 阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 2.杆的纵向振动连续系统振动153几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定边界条件： 不能恒为零 故：代入模态函数

42、得： （杆的纵向振动频率方程 ）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零模态函数 ：2.杆的纵向振动连续系统振动154（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率与两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：2.杆的纵向振动连续系统振动155（3）左端固定，右端自由特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ：得：固有频率：模态函数：或：2.杆的纵向振动连续系统振动156(4)左端自由，右端固定特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ：得：固有频率：模态函

43、数：2.杆的纵向振动连续系统振动157边界条件模态函数频率方程固有频率2.杆的纵向振动连续系统振动158例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。2.杆的纵向振动连续系统振动159解：边界条件：得出：频率方程振型函数：2.杆的纵向振动连续系统振动160主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度及截面积 A 等都可以是 x 的函数 杆的动力学方程 ：自由振动：主振动 ：代入，得 ：2.杆的纵向振动连续系统振动161杆的简单边界 ：固定端x = 0 或 l 自由端x = 0 或 l 设：代入：乘 并沿杆长对 x 积分： 利用分

44、部积分： 杆的任一端上总有或者成立 得：162乘 并沿杆长对 x 积分： 同理乘 并沿杆长对 x 积分： 相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性 进而：杆的主振型关于刚度的正交性 163关于质量的正交性 关于刚度的正交性 当时 恒成立令：第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 第 i 阶固有频率：主振型归一化： 正则振型 则第 i 阶主刚度：合写为： 164杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：初始条件： 假定 ，已经得出令：正则坐标 代入方程：两边乘并沿杆长对 x 积分 ：利用正交性条件：第 j 个正则坐标的广义力 165模态初始条件的求解乘并沿杆长对 x 积分，由

45、正交性条件，知有： 得：求得 后可得166如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：正则坐标的广义力： 前述外部激励为分布力167细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩 Ip材料密度切变模量 G：单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移截面处的扭矩为 T微段 dx 受力：微段绕轴线的转动惯量3.杆的扭转振动连续系统振动168代入，得：微段 dx 受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数有：剪切弹性波的纵向传播速度169小

46、结：（2）杆的纵向振动 （1）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程 。（3）杆的扭转振动170考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：I 截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量S 梁横截面积E 弹性模量外部力：假设：连续系统振动梁的弯

47、曲振动EI 抗弯刚度梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示。171f(x,t):单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻 的横向位移 截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩 连续系统振动梁的弯曲振动172力平衡方程 ：即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 略去高阶小量：由材料力学可知，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统振动梁的弯曲振动173变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统振动梁的弯曲振动174固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动

48、自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： 代入自由振动方程：对于等截面梁：通解：和应满足的频率方程由梁的边界条件确定 连续系统振动梁的弯曲振动175等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动： 通解：代入，得：第 i 阶主振动： 无穷多个和 由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统振动梁的弯曲振动176常见的约束状况与边界条件 （1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零177例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：1

49、78简化后，得：频率方程当 i=1,2,3时解得：当 时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：179铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置180例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：以及：频率方程：固有频率：181频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点182例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态183频率方程：模态函数：其中：当 i=1,2,3时解得：当 时自由端：弯矩和截面剪力为零当 时对应刚体模态184第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状185例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。186解：梁的自由振动方程： 边界条件固定端：自由端：模态函数：187188非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：189第一阶模态：第二阶模态：190例：悬臂梁一端固定，另一端