金融经济学教师贺1.课件05补充维纳过程

1、维纳过程维布纳朗过运程动维布纳朗过运程动布朗运动贺贺贺西南财大金融学院说明的金融经济学本章是对的补充。目的主要是针对金融工程专业的学生补充连续时间模型的内容。金融数学金融工程引论，本章的部分内容来自于扎著，译，、托，。大学相应数学符号及各定义、定理的标号与该书一致。 符号说明在时间t的价格用S(t)表示。假设价格对所有的t严取t=0作为当前的时间；S(0)是当前格为正。价格；对所有t0,一般来说，将来的价格S(t)是未知的。S(t)可以看作概率空间上的正随量，即概率空间由可能的价格变动状况(scenarios)。在时刻t，如果市场状况为在时刻t的价格。, 则用表示yi He, School o

2、f Finance3符号说明假设时间按离散的方式推移，首先，其中n= 0,1,2,3, ;为固定的时段(time step)，一般为1年、1个月、1周、1天，甚至是用于描述疯狂交易的1分或1秒。一般取1年作为测量时间的，1周对应于，那么1个月对应于，1天对应于符号说明收益为了方便起见，用收益描述票不支付红利。价格S(n)的动态变化。假设股定义3.1将时间区间n,m（实际上是n,m）上的收益率或简称收益K(n,m)定义为随量，即价格动态命题命题命3.1题单时段收益率与在整个期限上收益率之间的准确的关系式为命题3.1的证明如下：由定义3.1可以得出，和对比后证毕。yi He, School of

3、Finance6价格动态没有可加性常常很不方便，同理可以通过引入风险数收益率来改变这种状况。对定义定义定3.2义在时间区间n,m（准确的说，）上的对数收益率k(n,m)是由下式定义的随量：yi He, School of Finance7价格动态单时段对数收益率可以简单地表示为k(n)，即因此，收益率K(m,n)和对数收益率k(m,n)之间的关系是显而易见的，可由比较它们的定义得出，即因此，可以实现从一个收益率到另一个收益率的转换。yi He, School of Finance8价格动态注3.3如果在时刻n支付红利div(n)，且相应的价格为S(n)，则对数收益率为用连续的单时段对数收益率相

4、加的方法即可计算出整个时期的收益率。命题命题命3.2题如果没有红利支付，则yi He, School ofFinance9价格动态命题3.2证明如下：根据对数收益率的定义，有反复地利用单时段对数收益率，可以得到对比两式即证毕。假设收益率K在某一个确定区间上的概率分布是已知的，可以计算数学期望E(K)，称其为期望收益。那么yi He, School of Finance10价格动态命题命题命3.3题如果单时段的收益率K(n+1), , K(m)是不相关的，则命题3.3的证明如下：利用命题3.1，不相关的随望的乘积。量乘积的数学期望等于数学期yi He, School of Finance11价格

5、动态注3.4在对数收益的情况下，可加性可以扩展到期望收益，即使单时段收益不是相互独立的情况，即这是由期望的线性性决定的。yi He, School ofFinance12二叉树模型二叉树模型(Binomial Tree M为它包含的参数很少，且假设在)在数学上容易处理，因价格树的每个节点上具有简单且相同的结构。另一方面，它抓住了现实市场的很多特征。二叉树模型由如下条件定义： 条件3.1：单期收益率K(n)是独立同分布的随量，满足在每个时段n式中价格S(n)上涨和下跌的因子为这个条件意味着在每个时段，1+u或者1+d。yi He, School of Finance13二叉树模型条件条件条件：在

6、每个时段，无风险投资单期收益率是相同的，并且注意，本章对二叉树模型的定义在符号上与的金融经济学第页略有区别。本章的和净分收别益指率净收益率净，收而中的和相总应收的益指率总收益率总。收益率条件可以推导出随量可能取两个不同的值，即 二叉树模型价格树中，每一个具有i次上涨和n-i次下跌的股在n期票价格变动在时刻n会产生相同的价格其结果是，存在因此这样的状况，每一个的概率为其中i=0,1, ,n. 在时刻n,述。价格S(n)可用n+1个不同值描yi He, School of Finance15二叉树模型价格向上变动的次数i为服从二项分布的随动的次数n-i也服从同样的分布。因此， 叉树。量；价格向下变

7、说价格过程服从二对于n期二叉树所有状况的集合，在每一个时段上涨或者下跌共有2n个元素。如下图的两时段价格二叉树和三时段二叉树(为简便，假定S(0)=1)。yi He, School ofFinance16二叉树模型风险中性概率(Risk-Neutral Probability) 首先，有价格期望E(S(n)的动态变化。当n=1时，研究式中，是单期收益的期望。命题3.4当n=0, 1, 2, 时，价格的期望为yi He, School of Finance17二叉树模型命题证明如下：因为单期收益 是独立的，所以 有因为是同分布的，其期望相同，即证毕。 二叉树模型如果将的金额在时刻投资于无风险资产

8、，个时段以后，它将增长为。由命题，要比较和，只需比较和即可 。一个典型的风险厌恶的投资者要求，因为他认 为应该有更高的回报作为对风险的补偿。反之，当时，如果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大，对某些投资者而言仍然有风险偏好者。，称这样的投资者是当时，被认为是风险中性的 。 二叉树模型对风险中性引入特殊的概率符号p*以及为方便起见，相应的取数学期望的符号E*，满足条件(3.4)称p*为风险中性概率；E*为风险中易得性期望。p*是一个抽象的数学概念，它可以不等于市场的实际概率 p。风险中性概率p*甚至可以与真实概率p没有任何关系。yi He, School of Finance20连续时间

9、极限离散时间和离散价格模型有显而易见的缺陷，明显地限制了资产价格的变动范围，而且会限制这些变动发生的时间的集合。考虑时段的二叉树模型序列。当，对价格于所有近序列中的二叉树模型，假设每一时段向上变动和向下变动的概率都是。相应的对数收益率为yi He, School of Finance21连续时间极限可以得到，由的定义， 连续时间极限在单时段上的无风险收益率可以用等价的连续复合利率r.代替，于是在长度为的时段的收益将是从时刻0到时刻1的时间区间，包含N个长度为的时段(=1/N )。假设m为在时间区间上的对数收益率为标准差，则k(1)+k(2)+ +k(N)的期望；连续时间极限m = N E(k(

10、n)= N Var(k(n)所以，E(k(n) = m/N =Var(k(n) =/N =连续时间极限引入一个相互独立的随取两个值，即量序列，每一个随量由k(n)的定义连续时间极限对称的随机漫步(symmetric random walk) w(n)为一随量序列，满足w(0)=0, 且则w(n)称为对称的随机漫步。显然，是w(n)的增量。可以认为仍然考虑具有时段长度为的二叉树模型。用记号表示相应的对称随机漫步，其增量yi He, School of Finance26连续时间极限令对每一个n=1,2, , 它是独立同分布的随量序列，序量的期望为0，方差为1。由中心极限时，列中的每一个随定理可知

11、，当连续时间极限固定每个t0, 因为随机漫步的整数倍上的离散时间，所以只是针对定义在时段考虑这样的其中tN是1/N的整数倍，且tN最接近于t。显然，N tN是整数(因为 N tN = tN /(1/N) )，且对每一个N都成立，可以记所以，（依分布收敛）当时，有及其中yi He, School of Finance28维纳过程服从均值为零，方差为t由式的正态分布。时间t0有，可知仅用中心极限定理证明了对任意固定的，这个结论可以扩展到对所有的时间同时成立。这个极限W(t)称为维纳过程(Wienros)，也称为布朗运动(Brownian motion)。其定义如下：随机过程 W(t): t0 为维

12、纳过程，如果它满足以下三个性质：1.每一个增量W(t+s)-W(s)都为正态分布，且均值为，其中和为固定的参数；方差为2.对任意的，增量W(t2)-W(t1), ,W(tn)-W(tn-1) 独立并服从1中定义的正态分布；3.W(0)=0并且W(t)的路径连续。yi He, School of Finance29维纳过程对特殊的情形，准维纳过程（或者，标准布朗运动）。时，维纳过程称为标标准维纳过程继承了对称随机漫步的许多性质，例如：.yi He, School of Finance30维纳过程W(t)和wN(t)的一个重要差别是，W(t)适用于所有的t0, 而wN(t)中的时间是离散的，i.e

13、.,如果W(t)为标准维纳过程，则它有如下性质：(a)(b)E W(t)2 =Var W(t) + E W(t) = t ;2E W(t) W(s) = m, s) ;二次变分(Quadratic Variation)在数学领域，二次变分被用来分析随机过程，如布朗运动和鞅。二次变分是过程的变分中的一种。假定X(t)是一个定义于概率空间(,F,P) 上的实值随机过程，且t0, 那么它的二次变分Xt为一个过程，定义为其中P为区间0, t的划分，|P|定义为划分的模，即极限定义为依概率收敛。yi He, School of Finance32二次变分(Quadratic Variation)如果X(

14、t)是一个时间的连续可微函数（对世界的每一个状态而言），那么X(t)的二次变分等于0。一个简单的例子，线性函数：X(t)=at. 对每个i, 考虑，则当时，因为任意的连续可微函数在每个点的邻域附近都是近似线性的，所以类似上面例子的证明二次变分都为0。任意连续可微函数的yi He, School of Finance33二次变分(Quadratic Variation)对一个标准维纳过程W(t), 其在区间0, T上的二次变分以概率为1等于T。骤如下：考虑在0, T上的一个划分，证W(t)的二次变分定义为如下表达式的极限，其中，易证上述表达式的期望为T，只需证明当划分的模趋近于0时，上述表达式的

15、方差趋近于0即可（证明略）。yi He, School of Finance34二次变分 由于维纳过程（布朗运动）的二次变分不等于零，所以它不是时间的连续可微函数。布朗运动的名字来源于植物学家 对流体中 悬浮微粒怪异运动的观察。很长时间，它也被看作为一个合理的模型来模拟的价格。布朗运动是一个关于时间的处处连续，处处不可微的函数，即函数处处不光滑。 一个布朗运动的模拟yi He, School of Finance36ReturnBrownian Motion121086420020406080100-2-4Time价格的动态表示仍然先考虑离散的情形，在时刻的价格为证明如下：价格的动态表示为了取连续时间的极限，对于很小的x，利用近似表达式而的幂次高于1的项。所以，这里略去了所有的yi He, School of Finance38价格的动态表示所以，到因为得到描述股价动态变动的近似方程为其中仍然假定，当时，yi He, School of Finance39价格的动态表示和上式中，表示无穷小的时间区间dt上的增量。它为一个随机微分方程(