索伯列夫空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)

1、索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛 函知识的理解。关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理AbstactKey words TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 摘要IAbstractII HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 引言1 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 一、 预备知识2弱导数定义2Sobolev 空间 Wm,p

2、 ()2引理2二、嵌入定理的证明与集中紧性原理52.1 嵌入定理的证明52.2集中紧性原理10结论12 HYPERLINK l bookmark165 o Current Document 参考文献13引言索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev发展起来 的。这些空间是由弱可微函数所组成的Banach空间，它们是为研究偏微分方程 的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的。苏联数学家索伯列夫(S.L. Sobolev)从1938年开始，在研究弹性体中的波 动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等.他 以泛函分析为工具发展

3、了一套新型的可微函数空间Wm,p(Q)理论(现在国际上称 为Sobolev空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础，Sobolev 这些开创性的工作在他的名著“泛函分析及其在数学物理中的应用” (1950)中 作了系统的总结.从那时以来，这种理论已有很广泛的发展.19571959年，意大利E. Gagliado提出了一套与Sobolev不同的证法.19561958年苏联Slobodeokii等 人推广了 Sobolev的工作，引进了 “分数次求导”等概念，形成了分数次空间 W m,p (Q)，称 Slobodeokii 空间Sobolev空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏

4、微分方程数值解 等学科中有重要应用。一般区域上Sobolev空间的嵌入定理的证明已经给出，但 证明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。本文研究Sobolev空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。一、预备知识1.1弱导数的定义设u G 11（。），对于给定的重指标a，如果V G 11（。）且对于所有的中6 11（。）,有vdx = （1）aj uDa dx。并记v = uDa，则称V是u的a阶弱导数.1.2 Sobolev 空间 Wm, p （。）设对p 1，m是非负整数，对本身及其直到m阶弱导数在内都是Lp（。）可和的函数集合：Wm,p （。）= Lp （。）n u I Dau 6

5、Lp （。）,1 a l m（1）（2）=u I u 6 Lp（。）,Dau 6 Lp（。）,l a l m在空间Wm, p （。）内引入范数jZ I Dau IP dx）ZP = （ S II Dau IIP ）p ,1 p 8II u II =m, p ,。P ,。 TOC o 1-5 h z 。IaImIaImmax II Dau II、IaIm8，。1.3弓|理引理1设。是具强局部Lipshitz性质的区域，简称L型区域，则:（1）存在开集O，O，。/使8Qu。Omi=1 1（2）存在开集O，使Qu 8Oi=0 1（3）设。或x 6。I dist（x,。）5 ，则存在一个充分小的81

6、0,当x , y 6。1，且I x - y I 0 , 82 81，及常数K，使得当 x, y 6 V/1。，且I x- y I82日寸，有 z e (X + P)n(y + p )，使I x - z I +1 y - z l 0，当 x, y eQ Q，且 I x - y l8 日寸，(x + P )C|(y + P )主。381300 存在向量y.，当x eQQ Pl O时寸，x + ty eQ，对任意0 t 0,存在开集Q1，Q2，Q，满足：Q = m Q ；i=1对每一个Q ,存在一个顶点在原点的平行多面体P.，使 q=U(x + Pi)，其中A uQ且其中直径小于等于d。xeAi11

7、1引理3设1 p 0，使对任意f e M，I f II 0，存在8 0，当I y I8时f I f (x + y) f (x) Ipdx p(对任意 f e M)Q其中f是f的延拓函数，定义为f (x) = J f，XeQ.10, x eQ.引理4设Q是Rn中的有界开集，k为正整数，使1 k nF (xk ) = F (x，,x ) e ZA(Qk)，F(x) = n F (xk )，贝KK K1KkKK eS KL F (X) I dx n f I F (XK )I 入 dxK tKK eS QQkK引理5设Q是Rn中边长为2的立方体，其边分别平行于坐标轴，而Q是由Q经平移得到的L型区域，又

8、1 p n，q = 史，f e C(Rn,Q)，则 n - p0其中K是与f无关的常数。引理6设Q是Rn中边长为1的立方体，Q表示边长为，的立方体，其表面 t积分别平行于Q的表面，如果f e C (Q) W i, p (Q)，而n p Js，贝ljI f (x) - f (y) l n，若 f e C s (Q)n W i, p (Q)， IJsupI f (x) I K II f II ，其中 K 是与 f 无关的常数。 TOC o 1-5 h z xeQ项引理 8 设 Q = x e Ri I0 x 1。则下列结论成立： II u(x，,x , x ) II K II u II，对任意 u

9、 e W1,p (Q )，对几乎处1n-1 n lp (Qn-1)W1, p (Qn)n处 x e (0,1)。 sup I u(x，,x ,x ) I K II u II (x，,x ) II，对任意u e W1,p(Q )。 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 1n-1 n1n Wn-1(Q )nxeQnn其中K是与u无关的常数。引理9设。是Rn中的开集，0目 1，则C0,) C(Q)。引理10 设。是Rn中的开集，0人 日 1，则C0,(Q) C0,入(Q)。引理11设Q是Rn中的一个区域，1 0 q0，如果Wm,p (Q) T项(Q)，W

10、m,p(Q) Lq1(Q)，则对任意的 q e qq0)，有Wm,p(Q) Lq(Q)。二、嵌入定理的证明与集中紧性原理2.1嵌入定理的证明定理1设Q是Rn中的有界锥形区域，mp n。如果 mp 1，1 q +s，则 Wm,p(Q) L(Q)；如果nm = p，p = 1，则 Wn,1(Q) C (Q).B证明 由Gagliardo定理(引理2),有界锥形区域可以分解成一系列L-型 TOC o 1-5 h z 区域的并，即Q = HQ，其中Q.是L-型区域，H为有限数。如果 i=1 11Wm,p(Q) L(Q)， i = 1,2,H，贝uii HYPERLINK l bookmark77 o

11、Current Document 11 f (Q)彖叮 | (Q ) K 艺 M wm, P (Q ) J K H 11 / |Wm, p( Q)i=1ii=1ii所以Wm,p(Q) - L(Q).再由Gagliardo定理，L-型区域可由一平行多面体经过一系列平移得到，即Q.= U3 +匕)，其中匕是一顶点在原点的平行多面体。xeA又平行多面体V可经过一个可逆线性变换映成边长为2的n维立方体，记为Q , i则在此变换下Q映成Q.= U3+Q)。综上所述，为了证明定理(1)和定理(2),A：eA可以不妨假设。=X + Q。(1)考虑mp n的情形。对m作归纳来证明。m = 1时，1 p n ,

12、 q =理，要证W1,p(Q) L(Q)。由引理5,对任 n - p意g e C： (Rn, Q) , llgllL(Q)，其中K1是与g无关的常数。设f e W1,p(Q),因 C：(Rn,Q)在 W1,p(Q)中稠密，故存在函数数列g u C：(Rn,Q), 使g 在W1,p(Q)中收敛于f，从而g 是W1,p(Q)中的基本列。由上述不等式知g 也是Lq(Q)中的基本列，从而在Lq(Q)中收敛，由实变函数论的基本定理， ng 在Lq (Q)中的极限函数必为f。于是由ll g ll K ll g ll 得到 nn L (Q)1 n W1, pll f ll Kl f ll。这样就证明 了 W

13、m,p(Q) L(Q)。假设结论(1)对m-1是已成立，即当(m-1)p n , q = n 时，n - (m -1) p成立 Wm-1,p (Q) Lq (Q)。下证结论(1)对m是也成立。设f e Wm,p(Q)，则f的一阶偏导数Df e Wm-1,p (Q)(i = 1,2,n)。记 qi0P，由归纳假设得到:n - (m -1) pII D f II K1II D f II阻a) K1II D f II(i = 1,2,.n)又显然f G Wm- 1,P (Q)，故H f K1H f L (Q) K1H f Hwm ,p (Q) 0 (Q)于是f G W 1q，且f w 项 K2 f

14、L (q )由m = 1的情形知W 1,q0 Lq(Q)。其中q =，于是n - q n - mp，生。(Q) K3I I f w 1,10(Q)结合前一个不等式得I IfI I Lq(Q) 1，再分两种情形。设 q p = !，令 s = pq，贝。q 。因 1 s p，对任意 a，p -1p + qn - ms0 I a I m。由Holder不等式易知I I Da f I I KJ I Da f II K1 II f II其中%是与f无关的常数。于是II f II ms。对 Wm,s (Q)，利用(1)得到Wm, s (Q) L (Q)结合前一个嵌入有Wm, p (Q) L (Q)设q

15、p，由上述的结论，Wm,p(Q) Lp(Q)。因Q为有界区域，由 Holder 不等式易知 Lp (Q) L(Q)，从而 Wm,p (Q) Lp (Q)。由引理8, W,1(2) r CB(Q),其中Q为任一维立方体。设V是任一多面体， 则存在可逆的放射变换把V映成立方体Q，于是Wn,i(V) r CB(V)。由前面的讨论，设Q = HQ，Q = U3 + V)，f GWn,1(Q)，则 f GWn,1(Q)i=1xgA且f G Wn,1(x + V)，对任意x G A。从而 TOC o 1-5 h z 0 i0 iSUP| f (E Z f W,1(x +V ) V Z f W,1(Q )x

16、0 +匕0 若x g A，x丰x，则x + V经过平移变化为x + V。于是有1 i 101 i0 i其中K.是与x0sup I f (x) I K II f II”1(M K H f ,1( Q)G A无关的常数。取K = max K，则11iH 1sup I f (x) I nWm,p (Q) r CB (Q)证明 因为Cs (Q)在Wm,p (Q)中的稠密，所以只要证明对任意 f G Cs (Q)n Wm,p(Q)，有sup I f (x) In的情形。利用引理(7)即可。m 1， p n的情形。因Wm,p(Q) r W1,p(Q)，利用(1)的情形即可。m 1， p n 的情形。取整数

17、 J，使1 j m -1，且 jp n (j +1) p。设jp n。设a是n重指标，满足I a I n,所以supl f (x)IV K II f II K II f II烂。W 1,r( Q)Wm ,p (Q)设 jP = n。此时 Da f g W j,p (Q)，对任意 I a I m - j由引理（1）,对任意r g1,+8），有II Da f II n，和情形类似可证。定理3设Q是L型区域， mp n （m -1）p，贝。Wm,p (Q) C0,X (Q)其中X由下列条件确定:n（1） 如果m （m-1）p，则0Xm一一 ； p（2）如果m = （m-1）p，则0X 1 ；（3）如

18、果p = 1， n = m-1，贝。0X 1。证明：首先由定理2得Wm,p (Q) CB(Q)，即对任意f g Wm,p(Q)，有sup I f (x) I KII f II xgQ* (Q)为了证明Wm,p (Q) C0,X (Q),只要证明对任意f G Wm,p (Q)，有f (x) 一f(yh (m-1)p 时，取 r n，此时 1 - - m-n - (m -1) pr p(2)n当 m = (m -1)p 且 p 1 时，可任意选取 r e (n, +3)，使 0 1-一 1 ；r(3)nn当 p -1， n = m一 1 时，取r = +3。此时 1 - = m-1。rp对上述三种

19、情形总有n r V+3。于是只要证明，对任意0 x 1 -，存在rK，使对任意f e Wi,r (O)，成立sup4f 孩 K II f IIx, g1 X -N 仇W 1，r (O)x。y又 C3 (Rn , Q)在 W 1,r (O)中稠， 0(*)所以只要证明上式对C 3 ( Rn ,O)中的函数成立。0当O是Rn中的立方体时，由引理(6)，上述不等式已成立。通过线性变换可知，对Rn中的任意多面体，上述不等式也成立。当O是L型区域时，由L型区域的性质得(间引理1)：当A充分小时，如果 x,y e VJO ， 且 I x- y I A 时， 存 在 z e (x + P y + P ),

20、使 I x- z I +1 y - z I CI x- y I。在多面体x + P和y + P上，结论已成立，于是I f (x) - f (y) II f (x) - f (z) I +1 f (x) - f (z) IKI x - z I入II f IIW 1,r (x + p .)+ KI z - y I入II f II 7W 1，r (x + p .)21-x KC入 I x- y I入II f II 7W 1，r (x + p.)若x, y不满足上述条件，则再分下列两种情形。(a)I x - y IA 0 A，其中A 0是待定常数。此时根据引理1再分三种情形考 虑。当x, y eO御时，存在.，使x, y e V. QO，从而是已考虑的情形。当x eOg， y e OOg时，