八年级下册四边形讲义

1、11/11 精锐教育学科教师辅导讲义 组长签字： 签字日期： 学员编号： 年 级： 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：马睿 课 题授课日期及时段教学目标重点、难点教学内容四边形讲义一、四边形及平行四边形：知识点梳理：1.1、n边形的内角和： ，外角和： 。1.2、平行四边形的性质：对边 ，对角 ，邻角 ，对角线 。1.3、平行四边形的判定：（用边判断） ； ； ；（用角判断） ；（用对角线判断） 。命题聚焦：分析近几年的中考题，四边形在中考试题中占有很重要的地位，本节一个方面主要考察多边形的内、外角和公式，确定多边形的边数，这类题主要以填空，选择题得方式考察；另一方面重点考察平

2、行四边形的判定和性质，运用这些性质证明线段或角相等，考察题型有填空、选择、证明等。正多边形的相关知识，如镶嵌的条件和简单的镶嵌设计命题热点，运用平行四边形的性质及判定结合相似形、全等形等知识命题是必考趋势，同时注意图形的旋转折叠类题目。典例精析：命题角度1、多边形内角和及其应用例1、一个正多边形，它的每一个外角都是45，则该正多边形是（）A、正六边形B、正七边形C、正八边形D、正九边形例2、一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是（）A、4 B、5 C、6 D、7例3、如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A、六边形B、五边形C、四边形D、三角形命题角度2、平行四边

3、形的性质例4、如图，已知E、F是对角线上的两点，且，（1）求证：；（2）请写出图中除外其余两对全等三角形（不再添加辅助线） 例5、如图，在中，E为的中点，连接延长交的延长线于点F求证： 命题角度3、平行四边形的判定例6、已知，如图E、F是四边形的对角线上的两点，四边形是平行四边形吗？请说明理由 例7、如图，已知，中，M、N分别是、的中点求证：四边形是平行四边形 矩形、菱形、正方形：知识点梳理：2.1、几种特殊平行四边形的性质：2.2、几种特殊平行四边形的转换图：图形用边判定用角判定用对角线判定矩形有一个角是直角的平行四边形三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形或

4、四边相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形正方形有一组邻边相等的矩形有一个角是直角的菱形对角线相互垂直平分相等的四边形2.3、种特殊平行四边形的判定方法：命题聚焦：特殊四边形是历年中考必考内容之一，主要考查矩形、菱形、正方形的性质和判定，要求会运用这些性质及判定定理判断真假命题，证明线段或角相等，考察题型有填空题、选择题，更多以证明题求值计算题及探索性问题、几何动态问题出现，试题强调基础，突出能力，源于教材，变中求新，考察学生的发散思维能力。典例精析：命题角度1、矩形的判定及性质例1、如图，在矩形中，E为的中点求证： 例2、在中，E、F分别是、的中点，连接、（1）求证：；（2）连接，当时，判断

5、四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论 命题角度2、菱形的判定及性质例3、如图所示，在菱形中，60，交的延长线于点E求证：1/2 例4、如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过点A作交的延长线于点G（1）求证：；（2）若90，求证：四边形是菱形 命题角度3、正方形的性质及应用例5、如图，在正方形1D1中，1，连接1，以1为边作第二个正方形1C2D2，连接2，以2为边作第三个正方形2C3D3（1）求第二个正方形1C2D2和第三个正方形2C3D3的边长；（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。 例6、如图，是等腰直角三角形，90，点P、Q分别是、上的一动点，且满足，D是的中点（1

6、）求证：是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由 三、梯形知识点梳理：3.1、一组对边 而另一组对边 的四边形叫梯形，其中 的梯形叫做等腰梯形，的 梯形叫直角梯形。3.2、等腰梯形性质：（1）两腰 ；（2）同一底上的两个内角 ；（3）对角新 。3.3、梯形的中位线平行于两底，等于两底和的一半。3.4、梯形问题一般转化为三角形和平行四边形的问题。3.5、梯形中常用辅助线的作法（1）平移一腰（内部或外部平移成为平行四边形）（2）平移对角线（3）延长两腰相交一点（相似）（4）过一腰的顶点及另一腰中点作直线及另一底延长线相交（面积）（5）由梯形上底的两端点作下底的垂线

7、（面积）。命题聚焦：由于圆部分知识难度降低，梯形又是三角形及平行四边形知识的结合点，所以有关梯形的试题形式灵活，考察面广，注意梯形基本知识的掌握，熟练掌握梯形中辅助线的添加方法，体会转化思想，适当练习操作题，创新题，综合性的阅读探索题。典例精析：命题角度1、及梯形有关的计算和证明例1、如图所示，在梯形中，的平分线交于点E，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若60，2，试判断的形状，并说明理由 例2、如图，在梯形中，60，4，6，求的长 命题角度2、等腰梯形的性质及判定例3、在梯形中，且，对角线平分求证：梯形是一个等腰梯形 例4、如图，等腰梯形中，点E，F在上，且，连接，求证： 命题角度3、三

8、角形和梯形的中位线例5、如图，在梯形中，E、F分别是两腰、的中点，、的延长线交于点G（1）求证：（2）类比三角形中位线的定义，我们把叫做梯形的中位线阅读填空：在中：E中的中点由（1）的结论可知F是的中点，是的中位线又由（1）的结论可知： （ + ）因此，可将梯形中位线及两底，的数量关系用文字语言表述为 。 【能力提高】 例1如图2 菱形，E、F分别是、上的点， 600，180，求的度数。 分析 由菱形中，600， 可推出是等边三角形，所以600， 由600，可推出，从而可证 进而可知是等边三角形，即可求出的度数。解：连接 菱形 600 是等边三角形 600 600 600 是等边三角形 600

9、 而180 180 例2 如图3 四边形是矩形的外角平分线围成的。 求证：四边形是正方形 分析：先证 矩形，再证是菱形 证明：矩形的外角都是直角， 、都是外角平分线 450 900 同理可证：900 四边形是矩形 又 四边形是正方形 例3 如图4 ，E是正方形的边的中点， F是上的点，且 求证：分析 要证 只要证是以为直角的直角三角形，可以通过计算，有222证明 连结 四边形是正方形 900 设正方开的边长为4a 则2a，3a 在中，222= 在中 222= 在中，222= 222 是以为直角的三角形 例4 如图5 已知正方形中， ，求证：分析 只要证，从作图可知，这两个角的大小是固定的，可结

10、合正方形的特征，通过计算求出它们的大小。证明 过点E作交于G，连结 又 是矩形 而 300 是等腰三角形 （1800-300）=750 是正方形对角线 450 300+450=750 例5 如图6 在中，900 于D， 平分交于G交于E， 于E 求证：四边形是菱形分析 先证是平行四边形， 再证两邻边相等， 可通过证 来实现证明 900 平分 又 是平行四边形 又 是菱形 例6 如图7 已知正方形， 以对角线为边作菱形，求证5F分析 要证5F就是要证300 这就需要构作，为此作辅助线，问题转为证 由于，变为证， 即证为矩形证明：过E作于H，连为正方形 且900= 900= 为矩形 又为菱形 30

11、0 300 5F点评：本题将求角的倍（分）量，转化为求角的大小，由特殊边求特殊角，将四边形问题转化为特殊三角形，这种将一般问题转化为特殊问题的思想方法是数学研究中最常用的基本思想方法。例7 如图8，已知Q是正方形的边的中点，P为上一点，且2 求证 分析 由2 可作的平分线，构造证明：作的平分线交的延长线于F交于E，则1=2=是正方形 900 又 900 又1=2，2=F， 1=F 点评：本题也采用截补短的引辅助线，请读者作为练习来试试。如图9在等腰三角形中，900，2， 如果以的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转1800，点B落在点处，求点及点B的原来位置之间的距离分析 点B及点关于O成中心对

12、称， ，=2 在中，（）解：（略）点评：以点O为中心旋转1800后的图形及关于O点成中心对称【练习及测试】1如图 菱形中， 若， 则的度数为 度2在菱形中，、相交于O， 若6，600，则菱形的周长= = 3如图 E、F是正方形的对角线 上的点， 且 求证四边形是菱形4如图 四边形和都是正方形， 延长线交于点H，求证：5如图 正方形中，F是中点， ，求证：6如图 已知F是正方形 的边的中点， 平分， 求证：7命题：如图，已知正方形的对角线 、相交于点O，E是上一点，过 A作，垂足为G，交于点F， 则。8如图，已知：正方形， 过D作，求证： 9如图，已知直线及直线垂直 相交于点O，A1及A是以为轴的对称点， 而A2及A是以为轴的对称点， 求证：点A1及A2是以O为对称中心的对称点。10（1）线段（2）角（3）三角形（4）等边三角形 （5）平行四边形，上述图形中是中心对称的是 11如图，内有一点P，作出关于点P的对称图形【练习及测试参考解答或提示】160； 224，； 3提示：连，证、互相垂直平分；4提示：证5提示：过F作于