八年级下数学竞赛班辅导讲义6

1、八年级下数学竞赛班辅导资料1 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质1【一】等腰三角形有哪些性质？1等腰三角形两底角_；2等腰三角形具有“三线合一的性质；“三线指_.(3)对称性：等腰三角形是_对称图形.【二】例题精讲例1 1等腰三角形两个内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为_； 2等腰ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么这样的三角形共有_个. 3个例2 如图，假设AB=AC,BG=BH,AK=KG,那么BAC的度数为_.例32021淮安阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿

2、BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角 小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合 探究发现 1ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？_填“是或“不是 2小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C不妨设BC之间的等量关系根据以上内容猜测：假设经过n次折叠BAC是ABC的好角，那么B与C

3、不妨设BC之间的等量关系为_3小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角分析：1在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C；2根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知BAC+2B-2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知BAC+B+C=180，由可以求得B=3C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC；3利用2的结论知B=nC

4、，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88解答：解：1ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，B=AA1B1；又将余下局部沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C外角定理，B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；2B=3C；如下图，在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿

5、B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复局部，将余下局部沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，那么BAC是ABC的好角证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180，B=3C；由小丽展示的情形一知，当B=C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当B=2C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当B=3C时，BAC是ABC的好

6、角；故假设经过n次折叠BAC是ABC的好角，那么B与C不妨设BC之间的等量关系为B=nC；3由2知设A=4，C是好角，B=4n；A是好角，C=mB=4mn，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180如果一个三角形的最小角是4，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88点评：此题考察了翻折变换折叠问题解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以与折叠的性质难度较大【三】练一练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么该等腰三角形的底角的度数为_.2.如图，分别是的平分线，假设,那么的度数为_.3.如图，在ABC中，AC=BC,D是AC

7、上一点，交的延长线于E,且AE=：BD是的角平分线.4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=(090)现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上活动一：如图甲所示，从点A1开场，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：_(填“能或“不能)(2)设AA1=A1A2=A2A3=1=_度；假设记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，) 求出此时a2，a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示)活动二：如图乙所示，从点A1开场，用等长的小棒依次向右摆放，其

8、中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1数学思考：(3)假设已经摆放了3根小棒，1=_，2=_，3=_；(用含的式子表示)(4)假设只能摆放4根小棒，求的范围解：1根据条件BAC=090小棒两端能分别落在两射线上，小棒能继续摆下去故答案为：能；2A1A2=A2A3，A1A2A2A3，A2A1A3=45，AA2A1+=45，AA2A1=，；AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3A1A3=，AA3=1+，又A2A3A3A4，A1A2A3A4，同理；A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6a2=A3A4=AA3=1+，a3=AA3+A3

9、A5=a2+A3A5，A3A5=a2，a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2an=(+1)n1；3A1A2=AA1，A1AA2=AA2A1=，A2A1A3=1=+，1=2同理可得：2=3，3=4；4如图：A4A3=A4A5，A4A3A5=A4A5A3=4，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，当A4A3A5是锐角，A5A4B=5是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，590，490，即，181能；2；an=(+1)n1；32；3；4；418此题主要考察了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合八年级下数

10、学竞赛班辅导资料2 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质2一、例题讲解：如图，内角度数的三个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC分割成两个等腰三角形二、练一练1如图，点O是等边ABC内一点将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接ODAOB=1101求证：COD是等边三角形；2当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；3探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形解：1证明：CO=CD，OCD=60，COD是等边三角形；3分2解：当=150，即BOC=150时，AOD是直角三角形5分BOCADC，ADC=BOC=150，又COD是等边三角形，ODC=60，ADO=90，即AOD是直角三

11、角形；7分3解：要使AO=AD，需AOD=ADOAOD=360AOBCOD=36011060=190，ADO=60，190=60， =125；要使OA=OD，需OAD=ADOAOD=190，ADO=60，OAD=180AOD+ADO=50，60=50，=110；要使OD=AD，需OAD=AOD190=50， =140综上所述：当的度数为125，或110，或140时，AOD是等腰三角形12分点评：此题以“空间与图形中的核心知识如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等为载体，内容由浅入深，层层递进试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法如运动变化、数形

12、结合、分类讨论、方程思想等，能较好地考察学生的推理、探究与解决问题的能力22021宁波课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线1请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；假设两种方法分得的三角形成3对全等三角形，那么视为同一种2ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD

13、=BD，DE=CE，设C=x，试画出示意图，并求出x所有可能的值；3如图3，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：145自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，那么易得一种情况第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，那么另一底脚被分为45和22.5，再以22.5分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形即又一三分线作法2用量角器，直尺标准作30角，而后确定一

14、边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC根据图形易得x的值3因为C=2B，作C的角平分线，那么可得第一个等腰三角形而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线那么可根据外角等于内角之和与腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长解答：解：1如图2作图，2如图3 、作ABC当AD=AE时，2x+x=30+30，x=20当AD=DE时，30+30+2x+x=180，x=403如图4，CD、AE就是所求的三分线设B=a，那么DCB=DCA=E

15、AC=a，ADE=AED=2a，此时AECBDC，ACDABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，AECBDC，x：y=2：3，ACDABC，2：x=x+y：2，所以联立得方程组，解得 ，即三分线长分别是和点评：此题考察了学生学习的理解能力与动手创新能力，知识方面重点考察三角形内角、外角间的关系与等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目八年级下数学竞赛班辅导资料3 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定1一、知识要点1等腰三角形的判定方法：1两_相等的三角形是等腰三角形简称_；2两_相等的三角形是等腰三角形简称_2解题技巧：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题效劳，常用方法有：1“角平

16、分线+平行线 构造等腰三角形；2“角平分线+垂线 构造等腰三角形；3用“垂直平分线 构造等腰三角形； 4用“三角形中角的2倍关系 构造等腰三角形3等腰三角形中长作的辅助线：1底边上的高；2底边上的中线；3顶角的平分线二、例题精讲例1 在ABC中 AB=AC ，BAC=80，O为ABC内一点 ，且OBC=10，OCA=20.求BAO的度数.70例2 如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，求FC的长.9三、练一练1.如图，RtABC中，C=90，BAC=30，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，那么符合条件的P点有 C2.如图，A

17、BC中，AD平分BAC,AB+BD=AC,求的值. 2：12.如图，在ABC中，,M为ABC内一点，使得.求的度数.北京市竞赛题 150八年级下数学竞赛班辅导资料4 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定2一、例题精讲两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如下图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由解：EMC是等腰直角三角形理由如下：连接MAEAD=30，BAC=60，DAB=90，EDACAB，DA=AB，ED=AC，DAB是等腰直角三角形又M为BD的中点，MDA=MBA=45，AMBD三线合一，AM=BD=MD，直

18、角三角形斜边上的中线等于斜边的一半EDM=MAC=105，在MDE和CAM中，ED=AC，MDE=CAM，MD=AM，MDEMACDME=AMC，ME=MC，又DMA=90，EMC=EMA+AMC=EMA+DME=DMA=90MEC是等腰直角三角形二、练一练1如图(1)，RtABC中，ACB=-90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F1求证：CE=CF2将图1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条 件不变，如图2所示试猜测：BE与CF有怎样的数量关系请证明你的结论1证明：略2解：相等证明：如图，过点E作EGAC于G又 AF平分CAB，EDA

19、B，ED=EG 由平移的性质可知：DE=DE，DE =GE ACB=90 ACD+DCB=90来源:Z|xx|k.Com CDAB于D B+DCB=90 ACD=B在RtCEG与RtBED中，GCE=B，CGE=BDE，CE=DECEGBEDCE=BE 由1可知CE=CF，(其它证法可参照给分)2如图，BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N1当A，B，C三点在同一直线上时如图1，求证：M为AN的中点；2将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时如图2，求证：ACN为等腰直角三角形；图33将图1中BCE绕点

20、B旋转到图3位置时，2中的结论是否仍成立？假设成立，试证明之，假设不成立，请说明理由(1证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点2证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM已证，AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等

21、腰直角三角形3ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上ADEN，DAB=90，ENA=DAN=90BCE=90，CBN+CEN=3609090=180A、B、N三点在同一条直线上，ABC+CBN=180ABC=NECADMNEM已证，AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形八年级下数学竞赛班辅导资料5 原班级： 姓名： 等边三角形1一、知识要点1等边三角形的性质：1三边相等，三角相等，每个角等于60；2每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合简称“ ；3等边三角形内任意

22、一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高2判定等边三角形的根本方法：1从边入手，证明三边相等；2从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60；3从边角入手，有一个角为60的等腰三角形是等边三角形二、例题精讲如图，ABC中，B=60，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE，假设CE=DE求证：ABC是等边三角形三、练一练1如图，一个六边形的每个角都是120，连续四边的长依次是2.7, 3, 5，2，那么该六边形的周长是_2如图，P是等边ABC内部一点，APB、BPC、CPA的大小之比是，那么以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小之比从小到大是_ 2:3:432021北京在A

23、BC中，AB=AC，BAC=060，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD1如图1，直接写出ABD的大小用含的式子表示；2如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；3在2的条件下，连接DE，假设DEC=45，求的值解：1AB=AC，A=，ABC=ACB=180A=90，ABD=ABCDBC，DBC=60，即ABD=30；2ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，线段BC绕B逆时针旋转60得到线段BD，那么BC=BD，DBC=60，ABE=60，ABD=60DBE=EBC=30，且BCD为等边三角形，在ABD与ACD中 ABDACD，BAD=CAD=BAC=，

24、BCE=150，BEC=18030150=BAD，在ABD和EBC中 ABDEBC，AB=BE， ABE是等边三角形；3BCD=60，BCE=150，DCE=15060=90，DEC=45，DEC为等腰直角三角形，DC=CE=BC，BCE=150，EBC=180150=15，EBC=30=15，=304【探究发现】如图1，ABC是等边三角形，AEF=60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上B，C除外任意一点时其它条件不变

25、，结论AE=EF仍然成立假设你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点；“点E时线段BC延长线上的任意一点；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF解答：证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等边三角形，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分线，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECFASA，AE=EF

26、；八年级下数学竞赛班辅导资料6 原班级： 姓名： 等边三角形21.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设BON=60，那么BM=CN如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设BON=90，那么BM=CN然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，假设BON=108，那么BM=CN任务要求：1请你从、三个命题中选择一个进展证明；2请你继续完成下面的探索：如图4，在正nn3边形

27、ABCDEF中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立？不要求证明如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当BON=108时，请问结论BM=CN是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由解：1选命题 证明：在图1中，BON=60，CBM+BCN=60，BCN+ACN=60，CBM=ACN，又BC=CA，BCM=CAN=60，BCMCAN，BM=CN，选命题，证明：在图2中，BON=90，CBM+BCN=90，BCN+DCN=90，CBM=DCN，又BC=CD，BCM=CDN=90，B

28、CMCDN，BM=CN，选命题证明：在图3中，BON=108，CBM+BCN=108，BCN+DCN=108，CBM=DCN，又BC=CD，BCM=CDN=108，BCMCDN，BM=CN；2当BON=时，结论BM=CN成立，BM=CN成立，证明：如图5，连结BD、CE，在BCD和CDE中，BC=CD，BCD=CDE=108，CD=DE，BCDCDE，BD=CE，BDC=CED，DBC=ECD，OBC+OCB=108，OCB+OCD=108，MBC=NCD，又DBC=ECD=36，DBM=ECN，BDMECN。21操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点点D与点B不重合，连接DC，以DC为

29、边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论2类比猜测：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与1一样，猜测AF与BD在1中的结论是否仍然成立？3深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时点D与点B不重合连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图一样，中的结论是否成立？假设不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论解：1AF=BD；证明如下：ABC是等边三角形，BC=AC，

30、BCA=60等边三角形的性质；同理知，DC=CF，DCF=60；BCADCA=DCFDCA，即BCD=ACF；在BCD和ACF中，BCDACFSAS，BD=AF全等三角形的对应边相等；2证明过程同1，证得BCDACFSAS，那么AF=BD全等三角形的对应边相等，所以，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与1一样，AF=BD仍然成立；3AF+BF=AB；证明如下：由1知，BCDACFSAS，那么BD=AF；同理BCFACDSAS，那么BF=AD，AF+BF=BD+AD=AB；中的结论不成立新的结论是AF=AB+BF；证明如下：在BCF和ACD中，BCFACDSAS，BF=AD全等

31、三角形的对应边相等；又由2知，AF=BD；AF=BD=AB+AD=AB+BF，即AF=AB+BF八年级下数学竞赛班辅导资料7 原班级： 姓名： 直角三角形一、例题精讲如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC, 求证： 提示：过点B作BEAB,且使BE=BC,连接CE、AE、AC.二、练一练1.如图，RtABC中的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点，当AD是A的平分线时，那么CD=.2.如图，四边形ABCD中，DCAB,BC=1，AB=AC=AD=2，那么BD的长为.3在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当时，ABC是直角三角形；当时，利用

32、代数式和的大小关系，探究ABC的形状按角分类1当ABC三边分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为钝角三角形2猜测，当时，ABC为锐角三角形；当时，ABC为钝角三角形3判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围解：1两直角边分别为6、8时，斜边=10，ABC三边分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；2当a2+b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，ABC为钝角三角形；故答案为：；3c为最长边，2+4=6，4c6，a2+b2=22+42=20，a

33、2+b2c2，即c220，0c2，当4c2时，这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，即c2=20，c=2，当c=2时，这个三角形是直角三角形；a2+b2c2，即c220，c2，当2c6时，这个三角形是钝角三角形点评：此题考察了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键4.如图，在RtABC中，,D为斜边BC的中点，,求证：.5.直角三角形的边长为整数，周长为30，求它的斜边长.解：设三边长分别为a、b、c，那么a+b+c=30,由得a+b+c=3010.由a+bc得a+b+c=302c, cPB求证： 三、练一

34、练1.：如图，等边ABC中，O是形内一点，假设，,求以OA，OB，OC为边构成的三角形的内角度数.2.如图，ABC是等腰直角三角形，,M、N为斜边上从A到B顺次两点，假设，猜测是多少度？写出推理过程.3.：如图，锐角ABC内有一点M，满足,P为形内非M的一点. 求证：.八年级下数学竞赛班辅导资料11 原班级： 姓名： 旋转与应用2一、例题讲解 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是 【答案】15或165。【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解： 当正三角形AEF在正

35、方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，AB=AD，AE=AF。当BE=DF时，在ABE和ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABEADFSSS。BAE=FAD。EAF=60，BAE+FAD=30。BAE=FAD=15。当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，同上可得ABEADFSSS。BAE=FAD。EAF=60，BAF=DAE。900600BAFDAE=3600，BAF=DAE=105。BAE=FAD=165。 = 3 * GB3 当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，同上可得

36、ABEADFSSS。BAE=FAD。EAF=60，BAE=90，90DAE=60DAE，这是不可能的。此时不存在BE=DF的情况。综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是15或165。例2 正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45。将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM。1求证：EF=FM 2当AE=1时，求EF的长。【答案】 解：(1) 证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，DE=DM，EDM=90。EDF + FDM=90。EDF=45，FDM =EDF=45。DF= DF ，DEFDMFSAS。EF=MF。2设EF=x 。AE=CM=1

37、 ， BF=BMMF=BMEF=4x 。 EB=2，在RtEBF中，由勾股定理得，即解得， ，EF的长为。二、练一练1.如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，以下结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；其中正确的结论是 A B C D 【答案】A。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接O

38、O，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如下图，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形。那么。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。应选A。2.如图，在ABC中，ACB90，ABC30，AC1现在将ABC绕点C逆时针旋转至ABC，使得点A恰好落在AB上，连接BB，那么BB的长度为 【答案】。【分析

39、】RtABC中，ACB=90，ABC=30，AC=1，AC=AC=1，AB=2，BC=。A=60，AAC是等边三角形。AA=AB=1。AC=AB。ACB=ABC=30。ABC是ABC旋转而成，ACB=90，BC=BC。BCB=9030=60。BCB是等边三角形。BB=BC= 。3.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，EF分别是BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DGBE，连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；图1图3图2探索延伸：如

40、图2，假设在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离。【答案】解：问题背景：EFBEFD；探索延伸：成立，理由略；实际应用：210海里.解：问题背景：EFBE

41、FD.证：DGBE，ABAD，BADG90，ABEADG，AEAG，BAEDAG又EAFBAD，FAGFADDAGFADBAEBADEAFBADBADBAD ，EAFGAF又AFAF，AEFAGF，EFFG又FGDGDFBEDF，EFBEFD探索延伸：EFBEFD仍然成立.证明：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，BADC180，ADGADC180，BADG又ABAD，ABEADG.AEAG，BAEDAG.又EAFBAD，FAGFADDAGFADBAEBADEAFBADBADBAD EAFGAF.AEFAGF.EFFG. 又FGDGDFBEDF.EFBEFD.实际应用：如图，连接EF，延长A

42、E，BF相交于点C，在四边形AOBC中，AOB309020140，FOE70AOB，又OAOB，OACOBC60120180，符合探索延伸中的条件，结论EFAEFB成立.即，EFAEFB(6080)210(海里答：此时两舰艇之间的距离为210海里.八年级下数学竞赛班辅导资料12 原班级： 姓名： 旋转与应用3例题精讲在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B1求证：MA=MB；2连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？假设存在，求出最小值；假设不存在，请

43、说明理由试题分析：1连接OM，由RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点可得OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=45 ，即得PMA=OMB，那么可证得PMAOMB，问题得证；2根据全等三角形的性质可得PA=OB，那么OA+OB=OA+PA=OP=4，令OA=x，AB=y，根据勾股定理可得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88，再根据二次函数的性质即可作出判断.1连接OM RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=45 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB，PMAOMB，MA=MB；2AOB的周长存在最小

44、值，理由是: PMAOMBPA=OB，OA+OB=OA+PA=OP=4令OA=x，AB=y那么y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88 当x=2时y2有最小值=8从而y2，所以AOB的周长存在最小值为4+2 二、练一练1.2021辽宁鞍山如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标3，3，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度090，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG1求证：AOGADG；2求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；3当1=2时，求直线PE的解析式1证明：AOG=ADG

45、=90，在RtAOG和RtADG中，AOGADGHL；2解：PG=OG+BP由1同理可证ADPABP，那么DAP=BAP，由1可知，1=DAG，又1+DAG+DAP+BAP=90，所以，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45，故PAG=DAG+DAP=45，AOGADG，ADPABP，DG=OG，DP=BP，PG=DG+DP=OG+BP；3解：AOGADG，AGO=AGD，又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=60，1=2=30，在RtAOG中，AO=3，OG=AOtan30=，那么G点坐标为：

46、，0，CG=3，在RtPCG中，PC=1，那么P点坐标为：3，1，设直线PE的解析式为y=kx+b，那么，解得，所以，直线PE的解析式为y=x12在中，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。 1 假设且点P与点M重合如图1，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数； 2 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜测CDB的大小用含的代数式表示，并加以证明； 3 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置不与点B，M重合时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。解

47、：1补全图形如下：CDB=30。2作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，AB=BC，M是AC的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD与CPD中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPDSSS。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360PAD+PQD=180。ADC=180APQ=1802，即2CDB=1802。CDB=90。34560。【分析】1利用图形旋转的性质以与等边三角形的判定得出CMQ是等边三角形，即可得出答案

48、：BA=BC，BAC=60，M是AC的中点，BMAC，AM=AC。将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ，AM=MQ，AMQ=120。 CM=MQ，CMQ=60。CMQ是等边三角形。ACQ=60。CDB=30。2首先由得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。3由2得出CDB=90，且PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。点P不与点B，M重合，BADPADMAD。21802，4560。八年级下数学竞赛班辅导资料13 原班级： 姓名： 旋转与应用41.如图，在RtABC中，ACB=90，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段

49、CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF1求证：BCDFCE；2假设EFCD，求BDC的度数1证明：将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，CD=CE，DCE=90，ACB=90，BCD=90-ACD=FCE，在BCD和FCE中，CBCF,BCDFCE ,CDCE BCDFCESAS2解：由1可知BCDFCE，BDC=E，BCD=FCE，DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90，EFCD，E=180-DCE=90，BDC=902.如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D、E分别是AB、AC边的中点将ABC绕点A顺时针旋转角(0180)，得到ABC(如图2)(1)探

50、究DB与EC的数量关系，并给予证明；(2)当DBAE时，试求旋转角的度数 1DB=EC3问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论【类比引申】如图2，四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点E、F分别在边BC、CD上，那么当EAF与BAD满足BAD=2EAF关系时，仍有EF=BE+FD【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCDAB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD

51、=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=401米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73解答：【发现证明】证明：如图1，ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAF=45，即DAF+BEA=EAF=45，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AFGAFESASGF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，BE+DF=EF【类比引申】BAD=2EAF理由如下：如图2，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，ABC+D=180，ABC+ABM=180，D=ABM，在ABM和ADF中，ABMADFSAS，AF=A

52、M，DAF=BAM，BAD=2EAF，DAF+BAE=EAF，EAB+BAM=EAM=EAF，在FAE和MAE中，FAEMAESAS，EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF故答案是：BAD=2EAF【探究应用】如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AFBAD=150，DAE=90，BAE=60又B=60，ABE是等边三角形，BE=AB=80米根据旋转的性质得到：ADG=B=60，又ADF=120，GDF=180，即点G在CD的延长线上易得，ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAG=BAD=150，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AFGAF

53、ESASGF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，EF=BE+DF=80+401109.2米，即这条道路EF的长约为109.2米八年级下数学竞赛班辅导资料14 原班级： 姓名： 因式分解与应用1一、思路点拨一般地，把一个多项式分解因式，可按以下步骤进展：1整理多项式，如果各项有公因式，应先提取公因式；2对于各项没有公因式的二项式或三项式，可以联想有关公式：平方差公式： 完全平方公式：； 立方和、立方差公式：；3对于二次三项式，常可考虑用完全平方公式或数字相乘法分解；4如果运用上述方法都不能分解时，再看能否用分组分解法分解；5对于某些多项式，如果运用上述方法都不能分解时，再看能否采用拆项、添项，

54、最后再结合分组分解法分解.二、例题讲解例1 用分组分解法将以下各式因式分解：1a2abacbc 【按字母特征分组】 2 【按系数特征分组】4【按指数特点分组】 5 【按公式特点分组】四总结规律1.合理分组2+2型；2.组内分解提公因式、平方差公式3.组间再分解整体提因式 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组的方法进展分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.三、练一练：1.把以下各式分解因式1 2 3 4 a22abb2c2 59m26m2nn2 64x24xya2y27 81m2n22mnABC的三边满足，试判定ABC的形状

55、.八年级下数学竞赛班辅导资料15 原班级： 姓名： 因式分解与应用2一、知识要点1.拆项、添项法：拆项即把多项式中的某项拆成两项的和或差；添项即把代数式添上两个符号相反的项.因此，进展拆项与添项的目的是一样的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解.2.待定系数法：一般步骤为：1设原多项式分解为含待定系数的因式的积；2利用恒等式的性质，由对应项系数相等，列出含有待定系数的方程或方程组；3解这个方程组，求出待定系数的值.二、例题讲解例1 分解因式： 解析法一：可将-4拆成-1，-3即x3-1+(3x2-3)法二：添x4,再减x4,.即x4+3x2-4+(x3-x4)法三

56、：添4x,再减4x即，x3+3x2-4x+(4x-4)法四：把3x2拆成4x2-x2,即x3-x2+(4x2-4)法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等解选择法四原式=x3-x2+4x2-4=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x-1)(x+2)2例2 求当为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积.三、练一练1； 2；3； 4；52.1假设有一个因式是，那么.2多项式可以分解为的形式，那么的值是_.3.分解因式：.能分解成两个一次因式、的乘积b、c为整数，求a的值.解：八年级下数学竞赛班辅导资料16 原班级： 姓名： 因式分

57、解与应用3一、知识要点换元法：在一个比拟复杂的式子中，根据式子的特征，把式子中某些局部看成一个整体，并用一个新的字母来代替，即引进适当的中间变量，从而将这个式子的构造简化，使问题易于解决.二、例题讲解例1 分解因式：例2 1求方程的所有正整数解.解：2n是正整数，且 因三、练一练：1.分解因式1； 2； 解： 解：3 解：2.1假设3 2假设3.对于方程求出至少一组整数解.解：4.证明八年级下数学竞赛班辅导资料17 原班级： 姓名： 分式与运算1时，分式的值为零.有意义，那么x的取值范围是_.时，求出代数式的值，将所得的结果相加，其和等于_.那么的值为_.5.计算：1；2；3；4.，其中A、B

58、、C为常数.求A+B+C得值.7.假设x取整数，求使分式的值为整数的x得值.8.求最大的整数n，使得能被n+10整除.美国数学邀请赛试题八年级下数学竞赛班辅导资料18 原班级： 姓名： 分式与运算2一、例题讲解：例1 ，且，求m得值.解：由条件知，原式=，解得.例2 设a、b、c均为非零实数，并且求的值.解：对三式取倒数，得.， 解得二、练一练1.，那么 2. ，那么的值为_.3.假设，那么a的值是_.8那么1，那么代数式的值的整数局部为_.,66.设实数x、y、z满足那么xyz的值为_. -1，那么0，那么，那么10.：，求的值. 第10 届“华罗庚杯邀请赛解：，于是所以，原式=3.求得值.

59、 2021全国初中数学竞赛解：有条件得原式=.八年级下数学竞赛班辅导资料19 原班级： 姓名： 平行四边形1一、知识要点 1.二、例题讲解例1.如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，ABD、ACE、BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.例2.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E、交BC于点F.假设PE=PF,且AP+AE=CP+CF. 证明：四边形ABCD为平行四边形.三、练一练1.如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形1当ABAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；2当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的

60、图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件【解答】1证明：ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60CBA=FBEABCEBFEF=AC又ADC为等边三角形，CD=AD=ACEF=AD同理可得AE=DF四边形AEFD是平行四边形2解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段当图形为菱形时，BAC60或A与F不重合、ABC不为正三角形；当图形为线段时，BAC=60或A与F重合、ABC为正三角形2.如图，ABC中，C=90，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P. 求证：BPM=45. 八年级下数学竞赛班辅导资料