2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件9新人教B版选修2-1

1、空间向量证明立体几何问题空间向量空间向量的运算空间向量根本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识构造夹角和距离平行和垂直1、空间直角坐标系以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC， 的方向 为正方向，以线段OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系CDBACOAByzxO为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、根本概念右手直角坐标系空间直角坐标系Oxyz横轴纵轴竖轴2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组x,y,z叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作Mx,y,z其

2、中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z） 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量. 4、平面的法向量n3、直线的方向向量1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据na = 0且nb = 0可列出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标. anb5、平面法向量的求法设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,假设na且nb,那么n.换句话说,假设na = 0且nb = 0,

3、那么n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标例、A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为: 例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA BOzyA1C1B1AxCDD15、两法向量所成的角与二面角的关系设

4、n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二、根本公式：1、两点间的距离公式线段的长度2、向量的长度公式向量的模3、向量的坐标运算公式4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或7、重心坐标公式6、中点坐标公式9、直线与平面所成角公式 (为 的法向量)8、直线与直线所成角公式 10、平面与平面所成角公式 ( 为二面角两个半平面的法向量）11、点到平面的距离公式（PM为平面 的斜线, 为平面 的法向量）12、异面直线的距离公式（A,B为异面直线上两点, 为公垂线的方向向量

5、）利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角二面角利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、根本应用利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行、垂直问题四、根本方法1、平行问题、角度问题、距离问题点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。例：题型一：线线角五、典型例题所以：题型一：线线角解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 则 C|所

6、以 与 所成角的余弦值为题型二：线线垂直题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,那么即在长方体 中，例：题型三：线面角N又例：在长方体 中，ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1EEF题型四：线面平行xyz即DACBBCDAFEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量 再证明题型六：面面角设平面xyzXYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD面CB1D1题型七：面面平行或先求两平面的法向量 再证明例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直或证明两平面的法向量垂直练习练习练习练习练习题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离练习练习练习练习 正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。