九年级数学全年级培优资料

1、第1讲 一元二次方程的解法考点方法破译.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；.会应用一元二次方程解实际应用题。经典考题赏析【例1】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A.（ m-2） x2-2 x-1=0B. k2x+5k+3=0C.、,3x2 -1x -2 =0D. 3x2 2 - 4 =03x【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0,不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.【变式题组】.（威海）若关于 x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是-2,则另一个根是【例2】如果 m、n是两个不相等的实数，

2、且满足m2-2 m=1, n2-2 n=1 ,那么代数式2m 2+4 n2-4 n+1998=.【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m2=4m+2,4n2=8n+2,贝U原式=（4m+2）+（8 n+2）-4 n+1998=（4m+4n）+4+1998 , 又由根与系数关系得 m+n=2,，原式=2010.【变式题组】.（南昌）若 3a2- a-2=0 ,贝U 5+2a-6 a2=.（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则 a2+2a+b的值为（）A. 2006 B. 2007C. 2008 D. 2009【例3】关于

3、x的一元二次方程（m-3） x2+4x+m2-9=0有一个根为0,m的值为.【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0,则常数项为0.解：依题意 m2-9=0 ,m= 3,根据方程是一元二次方程得mw3,综合知m=-3.【变式题组】.（庆阳）若关于 x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0,则k=.（东营）若关于 x的一元二次方程（m-1） x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值 等于（）A. 1 B. 2 C, 1 或 2D. 0【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.【解法指导】解：解法一：: a=1, b=4, c=-1 , x= -（-） .即 x=-

4、2 J5 .，原方程的根2 1为 x1 = -2 -、5, x2 = -2. 5 .解法二：配方，得（x+2）2=5,直接开平方，得x-2=J5 , .原方程的根为x1 - -2、5, x2 - -2 . 5 .【变式题组】.（清远）方程x2=16的解是（）A. x= 4 B. x=4C. x=-4 D. x=16.（南充）方程（x-3）（ x+1）=x-3的解是（）A. x=0B. x=3C x=3 或 x=-1D. x=3 或 x=0.（咸宁）方程 3x（x+1）=3x+3的解为（）A. x=1 B. x=-1 C. x1=0, x2=-1D. x1=1 , x2=-1.（温州）我们已经学

5、习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法 和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程 x2-3x+1=0;（x-1） 2=3;x2-3x=0;x2-2x=4.x? 163一，x2=2【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1,解：方程两边都除以 6,移项得x=2，配方得 x2- 1 x+（-l） 2=2+（）2,（ J ）2=缈=（）2,即 J = 17 , x尸61212121441212124.3【变式题组】.（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.（武汉）解方程：x2-3x-1=0.（山西）解方程：x

6、2-2x-3=0.演练巩固反馈提高01.（宁德）方程 x2-4x=0的解是02.（十堰）方程（x+2）（x-1）=0的解为03.（大兴安岭）方程（x-5）（ x-6）= x-5的解是（）A. x=5 B. *=或 x=604.（太原）用配方法解方程A. （x+1）2=6B. （x-1）05.（云南）一元二次方程C. x=7 D. x=5 或 x=7x2-2x-5=0时，原方程应变形为（）2=6C. （x+2） 2=9 D. （x-2） 2=95x2-2x=0 的解是（）A.C.八 2x1 = 0,x2 =一5c 5x1 = 0,x2 二2B.x1 = 0, x2D. x1 =0,x206.（黄

7、石）已知a、b是关于x的一元二次方程 x2+nx-1=0的两实数根，则式子 -+-a b的值是（）A. n2+2B. -n2+2C. n2-2 D. -n2-207.（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8 人 B. 9人C. 10 人 D. 11 人08.（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）A. （x+2） 2=1 B. （x-2） 2=1C. （x+2） 2=9D. （x-2） 2=909.（义乌）解方程 x2-2 x-2=0.（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.（新疆）解方

8、程：（x-3） 2+4x（ x-3）=0.（梧州）解方程：（x-3） 2+2x（x-3）=0.（长春）解方程：x2-6x+9=（5-2 x） 2.14.（上海）解方程:y-x 二12x2 -xy-2 =0培优升级奥赛检测01 .（鄂州）已知a、3为方程x2+4x+2=0的两个实根，贝U a 3+14 3 +50=. TOC o 1-5 h z . 一 .、一2 一 一 x-3502 .已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式x 3 +（x + 2 4）3x2 -6xx-2的值为.cx2 -x 2 303.（苏州）若x2- x-2=0 ,则 -2尸的值等于（）.（x -x） -

9、13A WEB.旦C,近 D.五或回 HYPERLINK l bookmark703 o Current Document 33304.（全国联赛）已知三个关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0, bx2 +cx+a=0, cx2 +ax+b=0, HYPERLINK l bookmark250 o Current Document 2,22bc ca ab恰有一个公共实数根，则a-+b-+J的值为（）.012305.（全国联赛）已知实数x、y满足：:马=3, y4+y2=3,则，十y4的值为 x xxA. 7D. 506.（全国联赛）已知m=1+J2 , n=1- J2 ,且（7 m2

10、-14m+a）（3 n2-6 n-7）=8 ,则 a 的值等于（）.A. -5 B. 5 C. -9 D. 907.（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是08.（滨州）观察下列方程及其解的特征：，八 1 .15 . .1 10. x+=2 的解为 x=x2=1 ； x 十一=一的解为 x1=2,x2= ;（3）x+=的解为 x1=3, xx 22 x 3.x2=-,3解答下列问题： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark530 o Current Document 1 261请猜想：万程x + = 的解为；请猜想：关于x的方程x

11、 + =x5x，11 26的斛为x1=a, x2= 一（aw0）；下面以斛万程 x + = 为例，验证中猜想结论的正确性. HYPERLINK l bookmark110 o Current Document ax 5解：原方程可化为 5x2-26 x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）409.(泸州)如图，P1(x1,y。，P2(x2,y2),Pn(x-yn)在函数 y= (x0)的图象上， P1OA1, P2A1A2, AP3A2A3, PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、An-1 An 都在 x 轴上.求P1的坐标；求y1+y2+y3+y1

12、0的值.第2讲根的判别式及根与系数的关系考点方法破译.掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；.理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典考题赏板【例1】（成都）若关于 x的一元二次方程 3 -= 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k-1B&-1 目自声C.klD.k 0,且00,即（一2尸+以0,且# *0.解得k -1且|k手机选B.【变式题组】 TOC o 1-5 h z .（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A.小一2七一1=0 bh-2k + 3 = 0ck3 = 2*%-3dk。-4工+ 4 = 0.（潍坊）关于

13、x的方程（口一 &）如一8某+ 6= 0有实数根，则整数a的最大值是（）A. 6B.7C.8D.9【例2】 （荆州）关于 x的方程叱 -（a + 2）x + 2 = 0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A. a=0B.a=2Ca=1 D.a=0 或 a=2【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于 x的方程口婷-S + 2 = 0只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时 a=0;该方程是一元二次方程，方程 有两个相等的实数根，（。-2尸一4支X 2 =。，解得a=2.故选D.【变式题组】.（成者B）设“，心是一元二次方程 户- 2 = 0的两个实数根，则 瑞+ 3%益+瑞的 值为.

14、（南通）设工口工，是一元二次方程工北一 3=0的两个实数根21式避+ 5右- 3） + n = 2，贝U a=【例3】（包头）关于x的一元二次方程x?-mK + 2m-l = 0的两个实数根分别是 TOC o 1-5 h z 工【,#2，且1：+濡=7,则（工【一 # j的值是（）A. 1B.12C.13D.25【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足A 0.由题意知：工卢h=mfx1x2 = 2m - 1.又 -m* - 2（2m- 1）= 7 得叫=-1m； = 5,而当m=5时，原方程的判别式= 25 - 4 X 9 = 0，此时方程无解，八m

15、= 5不合题意舍去.其1+ x2 工二（工二（*1, + *工） 4*上-二（I） 4 X （3） 13，故选C.【变式题组】.（潍坊）已知关于x的一元二次方程/-6n+k + i = 0的两个实数根是工1 5且翦+贷=2则k的值是（）A. 8B.-7C.6D.5.（鄂州）设工1，戈?是关于x的一元二次方程卜”+ 2ax+a2 + 4江一2 = 0的两实根，当 a为何值时，忖+遇有最小值？最小值是多少？【例4】（兰州）已知关于 x的一元二次方程 铲一 2lq = 0 .（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 a的取值范围；112（2）如果此方程的两个实数根为 ,工片上,且满足;；+ = 一

16、.求a的值.【解法指导】解：(1) = -1.(2)由题意得：工；*力=2/戈1%二一d- 一 1 _ 工工，汗一弓i*I一 事.认J.t3 jetjfz ti w【变式题组】.(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 + 2 (k1) x + k2- 1 = 0有两个不相等的实数 根.(1)求实数k的取值范围；(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.【例5】 (中山)已知关于 x的方程+ 2)* + 2m 1 = 0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根.(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根

17、，一般要把力化为完全平方加正常数的形式.(1)证明：因为 4Xm +2)2 -4(2m -1) = (m - 2)2 +4所以无论m取何值时，A。，所以方程有两个不相等的实数根.(2)解：因为方程的两根互为相反数，所以 X +x2 = 0 ,根据方程的根与系数的关系得m +2 =0 ,解得m = 2 ,所以原方程可化为 x2 -5 = 0,解得x1 = J5 , x2 = -0).(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1 , x2 (其中x1 x2).若y是关于m的函数，且y = x2 2为，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变

18、量m的取值范围满足什么条件时，y w 2m.12.(淄博)已知 ox?是方程x22x+a=0的两个实数根，且 x+2x2=3(1)求x1,x2及a的值；,.32(2)求 x1 -3x1 +2x+x2 的值.培优升级奥赛检测 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark763 o Current Document 221101 .（全国联赛）设 a +1 =3a , b +1 =3b ,且a #b ,则代数式 -2 + -2的值为 a b（ ）A 5.B7.C 9.D.11.02.（延边预赛）已知 m是方程M-2州9工+1 = 0的一个根，则代数式元一2008m + 当

19、+11的值等于（）A. 2016B.2017C.2018D.201903.如果a、b都是质数，且a: - 13况十加=。,广136+血=0 ,那么:+g的值为（）.,-1175二门八八A. -B1C-E或 204. （全国竞赛） 已知实数且满足C+ 1尸=3无口 +。，3 + 1）=3 - 8+1尸，贝伯的值为（）A. 23B.-23C.-2D.-1305.（全国竞赛）设孙也是关于x的方程衰+ax + ci = 2的两个实数根，则（工- 2xJ的最大值为 06.已知区F是方程必一戈-1 = 0的两个实数根，贝产+H产-2）的值为07.（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n ,关于x的一元二次方

20、程-(n + 2)x-2M=0 的 两 个 根 记 作 一伞之2)|山2 一琦(W T)(但-3)(如一见+ 0*+ 叼:一：；一;:08.已知关于x的方程：，二一0 =0.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；(2)若这个方程的两个实根为 t，孙，满足|黑二|工工|+2,求m的值及相应的句.r2.09 .(全国竞赛)设 m 是不小于-1的实数，使得关于x的方程 产+式771-2)工+ m，- ：3m+ 3 =。有两个不相等的实数根 算厂工，,(1)若工：斗谴=6,求m的 值；(2)求并色+芝子的最大值.第3讲一元二次方程的应用考点方法破译.能灵活应用一元二次方程的四种解法

21、解方程;.会建立一元二次方程模型解实际应用题.经典考题赏析例1（南平）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 （）A. 8 人B. 9 人C. 10 人D. 11 人【解法指导】构建一元二次方程模型求解.设每轮传染中平均一个人传染的人数为X,第一轮被传染人数为x,患流感人数为x+1 ;第二轮被传染人数为 x（x+1）,所以1+x+x（x+1）=100 ,解得 x=9.应选 B.【变式题组】.（甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元， TOC o 1-5 h z 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了

22、2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x,则关于x的方程为 .（襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由 现在的人均约为10m2。提高到12. 1 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A. 9% B. 10%C. 11% D. 12%.（太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了 2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 .【例2】（黄石）三角形两边的长是 3和4,第三边的长是方程 x2 12x+35=0的根，则该三 角形的周长为（）A. 14B. 12 C. 12或14Do以上都不对【解法

23、指导】方程x2 12x+35=0可化为（x - 7）（x 5）=0,解得x=7或x=5,当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5,该三角形的周长为 12.应选B.【变式题组】.（青海）方程x2 9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A. 12 B. 12 或 15C. 15 D.不能确定.（襄樊）如图，在平行四边形 ABCD中，AE上BC于E, AE=EB=EC=a且a是一元二次方程x2+2x 3=0的根，则平行四边形 ABCD的周长是（）A、4+22B、12+672C、2 +22D、12+6段或 2+2.2【例3】储田）已知。Oi和。2的半径分别是

24、一元二次方程（x-1）（x - 2）=0的两根，且。1。2=2,则。O1和。2的位置关系是 .【解法指导】依题意，O。和。Q的半径分别为1和2, lOQ3,Q和。Q相交.【变式题组】.（兰州）两圆的圆心距为l,两圆的半径分别是方程x2- 5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是（）A.外离B.内切C.相交 D.外切.（江苏）某县2008年农民人均年收入为 7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到 9100元.设人均年收入的平均增长率为X,则可列方程.（庆阳）如图，在宽为 20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为（

25、）A、1 米B、1.5 米C、2 米 D、2. 5 米【例4】（白银而实数范围内定义运算 “”，其法则为：a b=a2 - b2,求方程（43）x=24 的解.【解法指导】解此类题要严格按照定义进行变换.解：a b=a2 - b 2 -. （4 3） x=7 x=72-x 272-x 2 =25 . . . x= 5.【变式题组】.（全国竞赛）对于实数u、v,定义一种运算为：u Xv=uv+v若关于x的方程x X1（a X x尸一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围4是【例地.5（十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m）,用80m长的篱笆围一个矩形场怎样围才能使矩形场地的面

26、积为750m2 , （2）能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ,为什么？【解法指导】解：（1）设所围矩形ABCM长AB为x米，则宽AD为1 （802x）米.依题意，得 x 工（80 一 x）=750 ,即 x2 80 x+1500=0 .解此方程，得 xi=30, x2=50.2墙的长度不超过 45m,x2=50不合题意，应舍去.当x=30时，工（80 x）= - X22（8030）=25.所以，当所围矩形长为30n宽为25m时，能使矩形的面积为750吊.（2）不能.因为由 x - - （80 一 x）=810 ,得 x2 80 x+1620=0.又= b2-4ac=（ 80）2 4X 1

27、2X 1620= - 800 .上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810 m2.【变式题组】 TOC o 1-5 h z .（广东）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台？巩固练习反馈提高，.（南通）某省为解决农村饮用水问题， 省财政部门共投资 20亿元对各市的农村饮用水的 “改 水工程”予以一定比例的补助. 2008年，A市在省财政补助的基础上再投入 600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投

28、资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万 ？.（长沙）当m为何值时，关于z的一元二次方程 x24x+m 一 =0有两个相等的实数根？此 时这两个实数根是多少 ？.（贵阳）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？.（庆阳）某企业2006年盈利1500万

29、元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈 禾I2160万元.从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？培优升级奥赛检测1 .（河南）已知x1、x2是关于x的一兀二次方程 x26x+k=0的两个实数根，且 X12X22x1 一 X2=115 .求k的值；（2）求x12+x22 +8的值.2.（临沂）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18. 59万元.（1）求该

30、学校为新增电脑投资的每年平均增长率；（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元.（南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各 甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.用含x的式子表示横向甬道的面积为 平方米;（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽.（厦门）某商店购进一种商品，单价 30元.试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=1002x.若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多

31、少元？每天要售出这种商品多少件 ？.（庆阳）如图.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱 ？.（益阳）如图， ABC中，已知/ BAC=45 , ADBC于 D, BD=2, DC=3,求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出 ABD、4ACD的轴对称图形，D点的对称

32、点为 E、F, 延长ER FC相交于G点，证明四边形 AEGF是正方形；（2）设AD=x,利用勾股定理，建立关于 x的方程模型，求出 x的值.A.（全国竞赛）某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列； 如果原队列中减少 120人，也能组成一个 正方形队列.问原长方形队列有同学多少人 ？第4讲 一元二次方程的整数根考点方法破译.方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；.基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法， 经典考题赏析【例1】(全国联赛)已知方程a2x2-(3a2-

33、8a)x +2a2-13a +15 =0 (其中a是非负整数)， 至少有一个整数根，那么 a=.【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用分解求根 法.解：a=0时，则需2a2-13a +15 =0,矛盾.所以此时无整数解； aw0,分解得(ax +35,-2a) (ax +5 - a) =0. aw 0,解得 x1 = 2 一，x2 =1 -.贝U a 是 3 或 5 的约数，故 a可取土 1, 3或 5.【变式题组】.(全国竞赛)已知关于 x的方程(a- 1)x2 +2x- a-1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 个.(全国竞赛)设关于x的二次方程(k2

34、-6k +8) x2 + (2k2- 6k - 4) x+ k2 =4的两根都是整数， 求满足条件的所有实数 k的值.【例2(全国竞赛)试确定一切有理数r,使得关于石的方程 rx2+(r+2)x+r -1 =0有且只有整数根.【解法指导】本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用消参法，1解：(1)右r=0, x=,原方程无整数根；2r,r 2,2r -11 一 _(2)当 r w 0 时，x1 +x2 = -= 1 , x1x2 =1 一，消去 r 得：rrr r4x1 x2 - 2( x,+ x2) +1 =7,彳导(2x1-1) (2x2-1) =7,令 x0,它一定有两个不

35、同的实数根而原方程的根都是整数，所以方都是整数，因此它的判别式 = (a+18)2-224应该是一个完全平方数， 设(a+18)2-224 =k2 (其 整数),则(a +18)2 - k2= 224,即(a+18 +k) (a+18 -k) =224.显然 a+18 +k与 a+18 -k 的奇偶性 相同，且a 18 k =112 a 18 k =56,a+18 +k18,而 224 =112X 2 =56X4 =28 X 8,所以 i或4a 18-k = 2, a 18-k = 4,a 18 k=28,或a 18-k =8,a =39,解得 ,k =55,或卜*或心k = 26, k =1

36、0,a =39-a = 12,而a是正整数，所以只可能 i 或 0,且是完全平方数.由A =y2-4(2y2-29)2 y01491611610988534日=-7y2 +1160,解得 y2W 116 = 16. 57.于显然，只有y2=16时，=4是完全平方数，符合要求.当y=4时，原方程为x2+4x +3 =0.此 时 x=l, 地=3；当 y=4 时，原方程为 x2-4x +3 =0,此时 x3 =1, x4=3.所以，原方程的整数解为x x1 = -1,4X2=-3,4X2 = 1,4X2=3,yi =4;V2=4;y2 = -4; y2=-4.【变式题组】x 2y = 3a b.(

37、武汉)整数a使得关于x、y的方程组9对于每一个实数b总有xy = b2 -2a2 -3b 4实数解，求整数 a的值.演练巩固反馈提高.(全国竞赛)关于 x、y,的方程x2+y2= 208 (x-y)的所有正整数解为 .若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程x2-(m+2)x+4m =0的根，求m及三角形三边长.已知方程ax2-(a-3)x+a-2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值.(全国联赛)设 a是正整数，如果二次函数y =2x2+ (2a +23)x+10 -7a和反比函数)11-3ay =x 的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求a的值和对应的

38、公共与八、.(全国竞赛)已知 p、q都是质数，且使得关于 x的二次方程x2-(8p - l0q)x +5pq =0至少 有一个正整数根，求所有的质数对(p, q) .培优升级奥赛检测.(全国竞赛)已知 a、b都是正整数，试问关于 x的方程x2 - abx+1 (a +b)=0是否有两个整2数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.(全国竞赛)(1)是否存在正整数 m、n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k (k3)是给定的正 整数，是否存在正整数 m, n,使得m (m+k) =n(n+1)?.(全国竞赛)如图所示，O 。的直径的长是关于 x的二次方程x2+2 (k-2) x

39、十k=0 (k是整 数)的最大整数根.P是。外一点，过点P作。的切线PA和割线PBC,其中A为切点， 点B, C是直线PBC与。的交点.若 PA, PB, PC的长都是正整数，且 PB的长不是合数， 求 PA2+ PB2+ PC2 的值.(全国联赛)设整数a、b、c (abc)为三角形的三边长， 满足a2+b2+c2-ab- ac- bc=13, 求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.(全国联赛)已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过两点 P(l, a), Q(2, 10a).(1)如果a、b、c都是整数，且cb0,抛物线中a0,不正确；D中直线的a0,不正确。故应选 Co【变式题组】

40、TOC o 1-5 h z 3.（嘉兴）已知a#0,在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.（兰州）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（ m是常数，且 m*0）的 图像可能是（）abc, 一,y =- 在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】（包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0 ）、（xi, 0）,且1xi2, 与y轴的正半轴的交点在（0,2）的下方。下列结论：（1）4 a-2b+c=0;（2） ab0;（4）2 a-b+10.其中正确的个数是 个。【解法指导】答案：4本题考查二次函数图像的画法、识别理解、

41、方程根与系数的关系等知识和数形结合能力。根据题意画大致图像如图所示，由y=ax2+bx+c与x轴交于点（-2,0 ）得a父（-2）2+b2）+c=0 ，所以（1）正确；由图像开口向下知a0,由y=ax2+bx+c的图像与x轴的另外一个交点坐标为（x1 , 0 ）且1x1 - 由 aa,所以结论（3）正确。由 4a-2 b+c=0 得 2a- b=-,2a 222而0c2,所以-1 c 0,所以-12 a-b+10,所以结论（4）正确。2点拨：4a-2 b+c=0是否成立，也就是判断当x=-2时，y=ax2+bx+c的函数值是否为0;判断y=ax2+bx+c中a的符号需要利用抛物线的开口来判断，

42、开口向上a0,开口向下a0;（2） 方程ax2+bx+c=0的两根之和大于 0; （3） y随x的增大而增大；（4） a-b+c0,其中正确的个 数（） TOC o 1-5 h z A.4个 B.3个C2个D.1个.（南京）已知二次函数y=ax2+bx+c （a00）的图像如图所示，有下列四个结论：（1）b0;（3） b2-4 ac0;（4） a- b+cy2D.不能确定【例4】（河北）如图，正方形 ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直。若小正方形的边长为x,且0 x 0).本题应选 D.9.（长春）如图，动

43、点 P从点A出发，沿线段 AB运动至点B后，立即按原路返回，点 P在 运动过程中速度大小不变，则以点 A为圆心，线段 AP长为半径的圆的面积 S与点P的运动 时间t之间的函数图像大致为（）10.（临沂）如图，已知正三角形ABC的边长为1,E、F、G分别是 AB、BG CA上的点，且.(威海)二次函数y=-3x2-6x+5的图像的顶点坐标是(A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4).(黔东南)抛物线的图像如图所示，根据图像可知， TOC o 1-5 h z 抛物线的解析式可能是()A. y=X2-x-2B. y=-x?+ x+1 HYPERLINK l bookmark97

44、 o Current Document 22C. y= - x2- x+1 D. y=-x2+x+2 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 22.(泰安)抛物线 y=-2x2+8x-1的顶点坐标为(A.(-2,7)B.(-2,-25)C.(2,7)D.(2,-9).(陕西)已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a0, b0, c0),关于这个二次韩式的图像有如下说法：(1)图像的开口一定向上；(2)图像的顶点一定在第四象限；(3)图像与x轴的交点 TOC o 1-5 h z 至少有一个在y轴的右侧。以上说法正确的个数为()A.0B.1 C2D.3

45、.(枣庄)小强从如图的二次函数y=ax2+bx+c的图像中，观察得出了下面五条信息：(1)a0;(3) b0;(4) a+b+c0;(4) a-b+c0.你认为其中正确信息的个数有()A.2个 B.3个C.4个 D.5个.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有以下结论：(1) a+b+c1;(3) abc0;(4)4 a-2 b+c1.你认为其中正确信息的个数有()A. (1) B. (1) (3) (4) C (1) (2) (3) (5)D. (1) (2) (3) (4) (5)8.(枣庄)二次函数 y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式中错误的是()A. a0C.

46、 b2-4 ac0 D. a+b+c0笫6密图.第7愿图第B题图 _ _第9题图9.(丽水)已知二次函数 y=ax2+bx+c (a#0)的图像如图所示， 给出以下结论：(1)a0;(2) 该函数的图像关于直线 x=1对称;(3)当x=-1或x=3时，函数的值都等于0,其中正确结论的 个数是()A.3 B. 2C.1D.0.(淄博)请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式. 过点(3,1 ) ;(2)当x0时，y随x的增大而减小；(3)当自变量的值为2时，函数值小于2.(安徽)已知二次函数的图像经过原点2点(-1 -),且图像与x轴的另一个交点到2 4原点的距离为1,则该二次函数解析式为【培优

47、升级奥赛检测】.（黔东南）二次函数y=x2-2x-3的图像关于原点0（0,0）对称的图像的解析式是 .（庆阳）二次函数 y=ax2+bx+c的图像如图，给出下列说法：（ab0;（4）当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；（5）当 y0 时，-1x3. 其中，正确的说法有.（请写出所有正确说法的序号）3.（鄂州）把抛物线y=ax2+bx+c的图像先向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得的 图像的解析式是y=x2-3x+5,贝U a+b+c=.（兰州）二次函数y= x2的图像如图所示，点Ao位于坐标原点，点Ai,A2,A3,，A20083在y轴的正半轴上，点Bi, B2, B3, , B

48、2008在二次函数y= 2 x2位于第一象限的图像上，若3Ao BiAi,AAiB2A2,ZA2B3A3,， A2007B2008A2008都为等边三角形，则的边长 .（全国竞赛）已知 a, b为抛物线y=（x-c）（ x- c-d）-2 与x轴交点的横坐标，ab,则a -c + cb的值为 .（全国竞赛）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,若 ABC是直角 三角形，则 ac= .（东营）若A（ -13 , yi）, b（ -5 , y2）, c（；,y3）为二次函数 y=x2+4x-5的图像上的三点，则yi , y2, y3的大小关系是（）A.yi y2Vy3

49、B.y2 yiy3C.y3 yiy2D.yi q B. p=q C. p0 b. m=0 c md2,对一切实数t恒成立，求 m,n的值.第6讲 二次函数的解析式及其综合运用考点方法破译.理解掌握二次函数的三种解析式 ：(1)一般式：y=ax2+bx+ c(aw。)(2)顶点式:y = a(x m)2+h,其中点(m, h)为该二次函数的顶点；(3)交点式：y= a(x x1)(x X2),其中点(xi, 0), (x2, 0)为该二次函数与x轴的交点.并能灵活进行互化；.能根据题目不同条件，灵活地选择合适类型的解析式求解.经典考题赏板【例1】已知抛物线y= ax2+bx+c(aw筑过点(0,

50、 0)和(4, 0),最高点纵坐标是 4,求 其解析式.【解法指导】方法一：根据有两个已知点和顶点纵坐标是4,采用一般式与顶点纵坐标公式结合求解；(需要解三元方程组，是最容易想到的方法，但不是最好方法.)方法二：由已知两点均在x轴上，根据对称性可得顶点的横坐标x=0二 =2,采用顶点式可求；(此法求2解计算简捷，是最佳解法.)方法三：根据已知两点纵坐标为0,是抛物线与x轴的交点，采用交点式可求.(此法只有求出顶点坐标代入才简便)解:由题意知抛物线顶点为(2, 4),则其解析式可化为y=a(x 2)2+4,将(0, 0)代入0=a 4+ 4,解得 a=1.所求函数式为 y= - (x- 2) 2

51、+4= x2+4x.【变式题组】.已知抛物线的顶点为 A(1, 4),又知它与x轴的两个交点B、C间的距离为4, 求其解析式.(遂宁)如图，二次函数的图象经过点D(0, ；J3)，且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段 AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+ PD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 Q,使 QAB与 ABC相似被口果存在，求出点 Q的坐标；如 果不存在，请说明理由.15 m =,此时,1615,15,此时，y的图象与：16m=-竺时，y的图象与16(2)由根与系数的关系得 x+x2= 2m-1,x1x2= m2

52、 + 3m + 4,22xi +X2 = (xi + k)一2x1x2= (2m 1) 2(m + 3m + 4)= 2m 10m 7.x12+ x22= 5, 1- 2m2- 10m 7= 5,1. m25m 6= 0,解得：m1=6,15 , . m= - 1 . . y= x2 + 3x+ 2.令 x=0,16得y= 2,二次函数y的图象与又 y = x2 + 3x+ 2 = (x+一 ),.顶点 Mx轴的交点C坐标为(0, 2),的坐标为(，一一).24设过 C(0,2)与 M(-1)的直线解析式为42 =by=kx+bU13k b,4 23k = 解得r 2,b = 2【例2】(娄底

53、)已知关于x的二次函数y= x2- (2m - 1)x+ m2 + 3m + 4.(1)探究m满足什么条件时，二次函数 y的图象与x轴的交点的个数.(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A (x1, 0), B (x2, 0),且x；+ x22=5,与y轴的 交点为C,它的顶点为 M,求直线CM的解析式.【解法指导】解：(1)令 y=0,得：x2- (2m- 1)x+ m2 + 3m + 4=0. = (2m 1)2 4(m2+ 3m + 4) = 16m 15;15.当。时，方程有两个不相等的实数根，即一 16m 150. mv,此时,16的图象与x轴有两个交点;当= 0时，方程有两个相等的

54、实数根，即一 16m 15=0.的图象与x轴只有一个交点;当-轴没有交点.，当mv一” 时，y的图象与x轴有两个交点；当16x轴只有一个交点；当 m 15时，y的图象与x轴没有交点.16 一 3所求斛析式为y= x+2.2【变式题组】 j , 一 日、- 23.(新疆)已知x轴上有两点A(xi, 0),蜕X2, 0),在y轴上有一点C, xi, X2是万程x m2x5=0的两个根，且 xi2+ x22= 26, 4ABC的面积是9.(1)求A, B, C三点的坐标；(2)求过A, B, C三点的抛物线的解析式.【例3】(陕西)如图，在平面直角坐标系中，OB，OA,且OB= 2OA,点A的坐标是

55、(一2).求点B的坐标；(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式；(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得及ABP= 4 ABO.【解法指导】解：(1)过点A作AF，x轴，垂足为点F,过点B作BE，x轴，垂足为点 E,贝 UAF=2,OF= 1 .OA OB,/ AOF+ / BOE= 90.又. / BOE+ / OBE= 90，/AOFBEOEOB= /OBE.RtAAFO RtAOEB, .=2. . BE= 2, OE= 4. ，B(4,OFAFOAa - b c = 22(2)设过点 A(1,2), B(4, 2), O(0, 0)的抛物线为 y=ax + bx+ c. .

56、. 16a+4b + c = 2 ,c = 0，1a =2 TOC o 1-5 h z ,13 一 1 2 3解之，得 b = 3 , 所求抛物线的表达式为 y= 1 x2- 3 x. HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 222c = 0(3)由题意，知AB/x轴.设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d,则&abp= ABd=-ABAF. . . d= 2. .点P的纵坐标只能是 0或4.令y=0,得x?一gx= 0,解之， HYPERLINK l bookmark166 o Current Document 222得x=0,或x=3. 符合

57、条件的点 P(0, 0), F2(3, 0),令y=4,得工x23x= 4,解之， HYPERLINK l bookmark146 o Current Document 22得x= 3工严,符合条件的点P3(3- ,4), p/+f1 , 4).综上，符合题意 的点有四个 P1(0, 0), P2(3, 0), P3( 3-41，4), P4(3 +41 , 4).【变式题组】4.(孝感)已知抛物线y=x2+ kx- 3k2 (k为常数，且k0).4OM、ON,且ON(1)证明：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为 TOC o 1-5 h

58、z HYPERLINK l bookmark414 o Current Document 12-=2 ,求k的值.OM3【例4】二次函数y=- 1x2+ - x+ m 2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)， HYPERLINK l bookmark158 o Current Document 22与y轴交于C点，且/ ACB= 90.(1)求这个二次函数解析式；(2)设计两种方案：作一条与y轴不重合，与4ABC两边相交的直线，使截得的三角形与 ABC相似，并且面积为 BOC面积的-,写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注:设计的方案不必4证明).【解法指导】(1)A、B、C三点坐标可用

59、 m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含 m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案.解:(1) ./ACB= 90, CO AB,由射影定理得：OC2= AO OB,又 OC= m-2, A0= - xA, 0B= xB, (m-2)2= - xA xB, 1 (m - 2)2=2(m 2),解得，m=4 或 m=2(舍去).，此二 次函数的解析式为 y=- 1x2+ 3x+2.22(2)以下方案供参考：分别取BO、BC中点。1、G,作直线O1C,BO1C1符合.B(4,0)、O1 (2, 0)、C1 (2, 1).在 AB 上取 AB2 = AC= J5,在 AC

60、上取 AO2=AO=1 ,作直线 O2E2, B202A 符合 B2( J5-1,。)、。2 ( 1 +旁，0)、A(T, 0).【变式题组】5.(黔东南)已知二次函数 y=x2+ax+a 2.(1)求证:不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.(2)设a2)与x轴交于点 D.(1)求二次函数的解析式；（2）在直x=m（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以 A、O、C为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得四边形 ABEF为平行四边形请求出m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理