概率统计和随机过程课件122遍历过程与马尔科夫链

1、遍历过程 与 马尔科夫链1 内 容 复 习 严平稳过程一定义1 随机过程 ，如果对任意 维 分布函数,任意实数 ,满足: 则称 为严平稳过程,或称狭义平稳过程. 2广义平稳过程 (一) 广义平稳过程的定义定义2 设随机过程 ,对于任意 ,满足: (1) 存在且有限;(2) 是常数;(3) 仅依赖于 ,而与 无关,则称 为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程. 3严平稳过程与广义平稳过程的关系推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程4定义 如果随机过程 ,对任意正整数 , 服从正态分布则

2、称 为正态过程.正态平稳过程设 是正态过程, 服从正态分布,则 必存在,即二阶矩存在.5二. 正态平稳过程定义 如果正态过程 又是(广义)平稳过程,则 称 为正态平稳过程. 定理二：设 是正态过程.则 为严平稳过程 为广义平稳过程.6例2 设 是正态平稳过程,且 令 证明: 是平稳过程.7第四节 遍历过程(历经过程)一. 时间均值和时间相关函数函数 样本函数 在区间 设随机过程 任固定 样本上的函数平均值定义为 在 上的函数平均值定义为当 变化时, 8 定义6 称为随机过程 对于参数 的平均值,通常称为随机过程 的时间均值. 显然 是一个随机变量.在任意 处, 给任意实数 ，过程在 和 的两个

3、状态的乘积 在 上的平均值, 记为9定义7 称为随机过程 的时间相关函数. (显然它是一个随机过程. )对随机过程时间均值 定义, 10时间相关函数 例1 求随机相位正弦波的时间均 值和时间相关函数.(记住这个例题的结论,以后要用)1112二. 各态遍历性定义8 设 是一个平稳过程 或 即, 为常 数, 且 的均值具有各态遍历性;注： (1) 如果则称过程13 (2) 如果 则称过程 的自相关函数具有各态遍历性. (3) 均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或说,该平稳过程具有遍历性. (三) 遍历过程的例子例1 设，其中是实常数, 14不具各态遍历性的例子：例2 设 是一

4、个随机变量,且 则 (1) 是平稳过程;(2) 的均值不具有各态遍历性.服从区间 上的均匀分布,的各态遍历性.讨论 解及例1结论，由知X(t)具有遍历性15四. 平稳过程具有各态遍历性的判别定理引理 设 是一个平稳过程,则它的 时间均值的数学期望和方差分别为16定理三 (均值各态遍历定理)平稳过程 的均值具有各态遍历性的充要条件是近似计算 提供依据.五：引入遍历过程的目的,应用意义17例1 设 是以 为周期的随机相位周期 过程,即满足( 是周期函数)其中 是在 上服从均匀分布的随机变量.试证: (1) 是平稳过程; (2) 是遍历过程. 18192021例2 设平稳过程 的自相关函数以概率1成

5、立。 证明:对于任意t, 等式 是以T为周期的周期函数, 提示：22例3解：2324第十三章 马尔可夫链马尔可夫过程是一类特殊的随机过程, 最初是由俄国数学家马尔可夫1896年生物学,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性,25例：一维随机游动一个质点在直线上的五个位置:0, 1, 2, 3, 4做随机 游动.当它处在位置1或2或3时,以的1/3概率向左移动一步而以2/3的概率向右移动一步;当它到达位置0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停 留在该位置上(称位置0

6、为反射壁,称位置4为吸收壁).260123412/32/32/31/31/31/312728 第一节 马尔可夫链的定义一定义1 设随机过程 的状态空间 是 有限集或可列集, 对于 T 内任意n+1个参数 和 内任意 个状态 如果条件概率 (1) 29恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(1)称为马尔可夫性,或称无后效性.注：30系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化与系统的过去无关.我们称之为无后效性.许多实际问题都具有这种无后效性.例如 生物基因遗传从这一代到下一代的转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关.马氏性的直观含义可以解释如下:将 看作为现在时刻, 就是过去时 刻,而 则是将来时刻.于是, (1) 式是说,当已知31二 马尔可夫链的分类状态空间 是离散的(有限集或可列集), 参数集 可为离散或连续的两类.三 离散参数马尔可夫链（1）转移概率定义2 在离散参数马尔可夫链中,条件概率 称为 在 32时刻(参数) 由状态 一步转移到状态 的一步转移概率,简称转移概率.条件概