电路方程矩阵形式

1、关于电路方程的矩阵形式第一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月本章学时安排（12学时）序号教学内容学时115-1 割集 15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 15-3A、Bf、Qf之间的关系2215-4回路电流方程的矩阵形式2315-5结点电压方程的矩阵形式2415-6割集电压方程的矩阵形式2515-7列表法 15-8状态方程26习题课（3）电路方程的矩阵形式2第十五章 电路方程的矩阵形式第二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月目的：在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵重点：关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵难点：割集的理解作业： P362：15-1、15-3、15-4 11第十五

2、章 电路方程的矩阵形式（1）第三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象i = 0连接性质抽象电路图抽象图支路+-1、网络的图 15.1 割集第四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月一. 图的基本概念有向图无向图连通图图不连通图15.1 割集第五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月2.子图 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路径。3. 连通图图G的任意两节点间至少有一条路径时称G为连通图。4.有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。二 . 名词和定义G=支路，节点1. 图15

3、.1 割集第六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月三. 回路、树、割集1. 回路(1)连通；(2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127589回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质15.1 割集第七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月树不唯一树支：属于树的支路连支：属于G而不属于T的支路2 . 树 (Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：(1)连通；(2)包含G的所有节点；(3)不包含回路。16个15.1 割集第八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月树支数 bt= n-1连支数 bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）123456

4、7145树支数 4连支数 3单连支回路独立回路单连支回路独立回路15.1 割集第九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月三. 割集 (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。432156134256Q1: 2 , 5 , 4 , 6 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：15.1 割集第十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月432156432156432156Q4: 1 , 5 , 2 Q3: 1 , 5 , 4Q2: 2 , 3 , 6 单树支割集（基本割集）432156432156432156Q3: 1

5、 , 5 ,3 , 6 Q2: 3 , 5 , 4Q1: 2 , 3 , 6 15.1 割集第十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月单树支割集独立割集单树支割集独立割集12341，2，3，4 割集三个分离部分12341，2，3，4 割集4保留4支路，图不连通的。15.1 割集第十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月432156基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6基本回路和基本割集关系对同一个树1. 由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。15.1 割集第十三张，PPT共五十一页，

6、创作于2022年6月2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。432156基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6432156基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，615.1 割集第十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一.关联矩阵A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aijaij = 1 有向支路 j 背离 i 节点aij= -1 有向支路 j 指向 i 节点aij =0 i节点与 j 支路无关关联矩阵Aa=a

7、ijn b节点数支路数第十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设为参考节点-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ，表征独立节点与支路的关联性质15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集

8、矩阵第十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月设:645321-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路电压支路电流节点电压15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月矩阵形式的KCLAi =-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i = 015.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月矩阵形式KVL64532115.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第

9、十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二. 基本回路矩阵B2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1 支路j与回路i关联，方向一致-1 支路j 与回路i关联，方向相反0 支路j 不在回路i中bij=1约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B = b i j l b基本回路数支路数15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1 设 矩阵形式的KVL 0

10、 1 -1 0 0 1BtBlB u = 015.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月B u = 0 可写成 Bt ut + ul = 0ul = - Btut用树支电压表示连支电压连支电压树支电压矩阵形式的KVL的另一种形式15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1B= Bt 1 用连支电流表示树支电流BT il = i矩阵形式的KCLKCL的另一种形式15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月三. 基本割集矩阵Q约定 (1) 割集方向与树支方向相同。

11、(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。qij=1 j支路与割集i方向一致-1 j支路与割集i方向相反 0 j 支路不在割集i中 1用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q = q i j n-1 b基本割集数支路数15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月Q=4 5 6 1 2 3 支割集C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6设ut= u4 u5 u6 T矩阵形式的KCL：1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi =015.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第

12、二十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月回路矩阵表示时 用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi =0 可写成 回路矩阵和割集矩阵的关系15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月QQi=0QTut=u小结：ul = - BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第二十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1

13、5-3 结点电压方程的矩阵形式电路分析依据：KCL A i =0KVL u=ATun元件特性方程规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：k设标准支路为： 第二十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月k支路电压、电流关系：设Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y -1 15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月支路电压的矩阵方程 15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月由KCL A i =0由KVL u=ATun节点导纳阵得节点电压方程由此求得支路电压和电流15-3 结点电压方程的矩

14、阵形式第三十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234561. 画有向图2. 3. 15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234564. 5. 6.得 15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月12345例215-3 结点电压方程的矩阵形式第三十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月Y=Z-1其中15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月具有VCCS的节点分析+考虑

15、b条支路15-3 结点电压方程的矩阵形式第三十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月kjgkj第三十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1524310第三十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1524310其中-g节点方程第四十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月15-4 状态方程一、状态和状态变量Y(t) (t t0) 可以确定状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态：电路在任何时刻所必需的最少信息，它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。状态变量：描述电路的一

16、组最少数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t) t t0 已知第四十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月解例.输出: uL , iC , uR , iR 选状态量 uC ， iLuL(0)=7ViC(0)=1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V由推广至任一时刻 t1：uL(t1)iC(t1)iR(t1) uR(t1) 可由第四十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月可见当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问

17、题是t1时刻的状态量要求出来。二、状态方程：用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。选uC , iL 为状态变量列微分方程第四十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月整理得特点：(1) 联立一阶微分方程组；(2) 左端为状态变量的一阶导数；(3) 右端仅含状态变量和输入量；状态方程矩阵形式一般形式X=x1 x2 xnT式中nnnr第四十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月三、输出方程特点：(1) 代数方程； (2) 输出量用状态变量和输入量表示。一般形式Y=Cx+DV第四十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月(2)一般选择uC和 iL为状态变量，也常选 和 q为状态变量。(3) 状态变量的选择不唯一。上例中也可选uC和duC /dt为状态变量小结：(1) 状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数。第四十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月令 x1 =uC , x2 =duC /dt即则x1x2第四十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月特有树当电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路和仅由电感和电流源支路构成的割集时，特有树总是存在的。特有树法是利用树的概念建立状态方程的方法。步骤：1、根据电路图画拓扑图2、选特有