专题导数及其应用

1、 导数及其应用1、(2019年江苏高考卷)在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线 经过点(-e, -1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .2、【2019年高考全国I卷文数】曲线 y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .x3、【2019年图考天津又数】曲线 y COSx -在点(0,1)处的切线方程为24、【2018年高考天津文数】已知函数f(x)=exlnx,f (x)为f(x)的导函数，则f (1)的值为.5、【2018年高考全国n卷文数】曲线 y 2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .21 . .、一6、【2017年局考全国I

2、卷又数】曲线 y x -在点(1,2)处的切线方程为 .7、【2017年高考天津文数】已知 a R ,设函数f (x) ax lnx的图象在点(1, f(1)处的切线为l , 则l在y轴上的截距为.一、常见函数的导数以及运算法则1、基本初等函数的导数公式(1)( x) = ax=1 ( a 为常数)；(2)( ax) = axln a( a0 且 a w 1)；11(log ax) =xiogae = xn-a ( a0,且 aw1)；(4)(e x) =ex;,1(5)(lnx)f =x(6)(sin x) = cos_x；(7)(cos x) = sin_ x.备注：求导之前，应利用代数、

3、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量,提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；2、常见函数的导数及导数的运算法则f(x)g(x) = f (x) 土 g (x)；f (x) - g(x) = f (x)g(x) +f (x)g (x);(3)g2Xg(x) W0).、导数几何意义的应用，需注意以下两点:1、函数f(x)在点x0处的导数f (x(0的几何意义是在曲线 y = f (x)上点(x0, f (x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y

4、f(x。)= f (xo)( xx。).2、函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数.(1)当曲线y = f(x)在点(x。，f(x。)处的切线垂直于 x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x=x。；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y = f(x)在点Rx。，f(x。)处的切线方程是yf (x。)=f (xo)( x x。)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解3、方法与技巧f (x。)代表函数f (x)在x =

5、 X0处的导数值；(f(x。)是函数值f(x。)的导数，而函数值 f(X0)是一 个常量，其导数一定为 。，即(f(x。)=。.(2)对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算 失误.三、利用导数研究函数的单调性(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3) f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f (x)。且在(a, b)内的任一非空子区间上 f(x) w。.应注意此时式子中的等号不能

6、省略，否则漏解 四、导数的极值(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y = f(x)在区间(a, b)内有极值，那么 y=f(x)在(a, b)内绝不是单调函数，即在某区间上单 调函数没有极值.五、利用导数研究函数的最值1、函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x)在a, b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a, b上单调递减，则f( a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f (x)在a

7、, b上连续，在(a, b)内可导，求f (x)在a, b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在区间(a, b)内的极值； TOC o 1-5 h z 将f(x)的各极值与f(a), f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2、求解函数的最值时，要先求函数y = f(x)在a, b内所有使f (x) = 0的点，再计算函数 y = f(x)在区间内所有使f (x) =0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.3、可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f (x)；第二步：求f(x)

8、在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值； TOC o 1-5 h z 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范4、方法与技巧(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.(2)求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小(3)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.5、失误与防范(1)注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点

9、必须在函数的定义域内进行(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论(3)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f (x) =0时的情况；区分极值点和导数为0的点.题型一、利用导数研究函数的切线问题导数的几何意义就是求在该点的切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要 是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。1 2例1、(2019苏锡常镇倜研)已知点 P在曲线C: y x2上，曲线C在点P处的切线为l ,过点P且与 2直线l垂直的直线与曲线 C的另一交点为 Q, O为坐标原点，若 OPL OQ则

10、点P的纵坐标为 .例2、(2018年泰州期末)若函数f(x) x3 ax2 bx为奇函数，其图象的一条切线方程为 y 3x 472, 则b的值为.题型二、利用导演研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性主要是通过多函数求导，研究导函数的正负的问题，这里要特别注意若函数/在给定区间为增函数(减函数)则对应的 f (x) 0( f (x) 0)。由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解.例3、(2019南京学情调研)已知函数 f(x) =lnx, g(x) =x2.(1)求过原点(0

11、, 0),且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程；(2)若 a0,求函数()(x) = |g(x) 2a2f(x)| 在区间题型三、利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值首先要求函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值。要特别注意函数/在x Yn与f (x) 0之间的关系，不是充要条件，解题时要注意验证。 x0例4、(2019南京学情调研)若函数f(x) =2ax2- ex+ 1在x= xi和x=2两处取到极值，且 2,则实数a的取值范围是.题型四 利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值是导数的一个最重要的应用，求函数的最值往往给出具体的区间，若是填空题要特别注意技巧，把端点

12、和在区间内的极值点代入即可。x例5、(2019扬州期末) 若存在正实数x, y, z满足3y2+3z2w 10yz ,且lnxlnz = ey,则j的最小值为例6、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a为常数，函数f(x)2的最小值为一.则a的所有值为 . 3一、填空1、(2019苏州期末)曲线y=x+2ex在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 .2、(2017苏州暑假测试)曲线 y = ex在x=0处的切线方程是 .兀3、(2017南通一调)已知两曲线f(x)=2sinx, g(x) = acosx, xC 0, 2相交于点P.右两曲线在点 P处的切线互相垂直，

13、则实数 a的值为.4、( 2017无锡期末)在曲线 y= x1(x0)上一点Rx。，y。)处的切线分别与 x轴，y轴交于点A, B, O xI _ .1是坐标原点，若 OAB勺面积为则x0 =35、 (2017南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2(x0)和y=x3(x0)均相切，切点.一一 . x1分别为A(x1, y1)和B(x2, y2),则一的值为 x26、(2017南京学情调研)已知函数f (x) =；x3+x22ax+1,若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数 a的3取值范围为7、(2018年高考江苏)若函数 ？?(?= 2?。- ?%+ 1(? CR)在(

14、0, +川内有且只有一个零点，则 ？?(?社-1,1上的最大值与最小值的和为8、(2017南京三模)若函数 f(x) = ex( -x2+2x+a)在区间a, a+1上单调递增，则实数 a的最大值9、(2017苏锡常镇调研)若函数x 1, f(x) =In xx2，1)则函数y=|f(x)| q的零点个数为 810、(2017苏州期末)已知函数f(x)x2-4, x 0,)若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为11、(2017年高考江苏)已知函数f(x) x3x2x e1,其中e是自然对数的底数.若 f(a 1) ef(2a12、(20

15、19南京、盐城二模)已知函数 f(x)=) 0,则实数a的取值范围是|x +3|2x -12x+3,x0.g(x)的图像经过四个象限，则实数 k的取值范围为、解答题13、(2018 扬州期末)已知函数 f(x) =ex, g(x) =ax+b, a, bCR.(1)若g( 1)=0,且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线，求实数 a的值；(2)若不等式f(x)x2+m对任意xC(0,)恒成立，求实数 m的取值范围；(3)若对任意实数a,函数F(x)=f(x) g(x)在(0 , +8)上总有零点，求实数 b的取值范围.14、(2018 苏北四市期末)已知函数 f(x) =x2+ ax

16、+1, g(x) =lnxa(aCR).(1)当a= 1时，求函数h( x) = f (x) g( x)的极值；(2)若存在与函数f(x) , g(x)的图像都相切的直线，求实数a的取值范围.15、(2018 南京学情调研)已知函数f(x) =2x33(a+1)x2+6ax, a C R.(1)曲线y=f(x)在x = 0处的切线的斜率为 3,求a的值；(2)若对于任意xC(0, +8), f(x) + f(-x)12lnx恒成立，求a的取值范围；(3)若a1,设函数f(x)在区间1 , 2上的最大值、最小值分别为 M a) , m a),记h(a) =M( a) m(a), 求h( a)的最

17、小值.16、(2019 苏州期末)已知函数f(x) =ax3+bx24a(a , b C R).当a=b=1时，求f(x)的单调增区间；b,(2)当aw。时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求 -的值； a(3)当a=0时，若f(x)0 且 a w 1)；(3)(logax) = -log ae = r ( a0,) x y xln a且 aw 1)；(4)(e x) =ex;(5)(ln(6)(sin(7)(cosx) = cos_x;x) = sin_ x.备注：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量,提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形

18、式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量;2、常见函数的导数及导数的运算法则f(x)g(x) = f，(x) g，(x)；f(x) - g(x) = f (x)g(x)+f(x)g (x)；xgxfxg xg2xg(x) wo).二、导数几何意义的应用，需注意以下两点：1、函数f (x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线 y = f(x)上点(xo, f(xo)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y-f(xo) = fz (xo)(x-xo).2、函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a, b)内任一

19、点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量 x的变化而变化，因而也是 自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数.(1)当曲线y = f(x)在点(xo, f(xo)处的切线垂直于 x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x=xo；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y = f(x)在点Rxo, f (xo)处的切线方程是yf ( xo) = f ( xo)( x xo)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解3、方法与技巧(1) f(xo)代表函数f(x)在X=XO处的导数值；(f(xo)是函数值f(xo)的导数，而函数值f(xo)是一个

20、常量，其导数一定为0,即(f(xo) =0.( 2 )对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则 . 求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 .三、利用导数研究函数的单调性利用导数的符号来判断函数的单调性；已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题； TOC o 1-5 h z f(x)为增函数的充要条件是对任意的xC(a,b)都有f (x) R0且在(a, b)内的任一非空子区间上f(x) w 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解四、导数的极值(1) 导函数的零点并不一定就是

21、函数的极值点 . 所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y = f(x)在区间(a, b)内有极值，那么 y=f(x)在(a, b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.五、利用导数研究函数的最值1、函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a, b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a, b上单调递减，则f( a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，求f(x)在a, b上的最

22、大值和最小值的步骤如下：求f(x)在区间(a, b)内的极值； TOC o 1-5 h z 将f(x) 的各极值与f(a) ， f(b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2、求解函数的最值时，要先求函数y = f(x)在a, b内所有使f (x) = 0的点，再计算函数y = f(x)在区间内所有使f (x) =0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.3、可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f (x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间

23、上的端点值；第四步：将f(x) 的各极值与f(x) 的端点值进行比较，确定f(x) 的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范. 【答案】3. TOC o 1-5 h z (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.(2)求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小(3)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.5、失误与防范(1)注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行(2)求函数最值时，不可想

24、当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论(3)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f (x) =0时的情况；区分极值点和导数为0的点.题型一、利用导数研究函数的切线问题导数的几何意义就是求在该点的切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要 是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。. 1c 例1、(2019苏锡常镇倜研)已知点P在曲线C: y x2上，曲线C在点P处的切线为l ,过点P且与2直线l垂直的直线与曲线 C的另一交点为 Q, O为坐标原点，若 OPL OQ则点P的纵坐标为【答案】1.设P(tJt2),因为y

25、2x,所以切线l的斜率k t,且t1 2PQ:y t21112一(xt),即 y-x t1tt21t221 21,消 y 得：tx2 2x t31 21y -x2又因为点Q在曲线C上，所以y1 1 x12 1( t22因为op oq ,所以OP OQ o,即t ( t2 r22t 0 ,设 Q(x1，必)，则 x t 一，即 x1t -,tt2 21 222 1 22一) t 2 ,故 Q( t , t 2 )t2 t2t 2 t221cle 2.2) 112 (-t2 2 -y) 0,化简得 t4 4,则 t2 2,t 22 t2所以点P的纵坐标为1.解后反思：本题利用导数的几何意义，两直线

26、垂直及向量垂直的条件将问题逐个用数学语言表示，通过 渐次推演，可以顺利解决例2、(2018年泰州期末)若函数f(x) x3 ax2 bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y 3x 472,则b的值为【解析】 因为f(x)是奇函数，所以a=0, f (x)=x3+bx.设f (x)在点(X0,y(0处的切线为：y 3x4J2,3.y 0 xo bxo得 3 3x2 b ,解得 b=- 3. yo 3x0 4 2题型二、利用导演研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性主要是通过多函数求导，研究导函数的正负的问题，这里要特别注意若函数 /在给定区间为增函数(减函数)则对应的f (x) 0( f (x)

27、 0)。由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识 得到函数f(x)的图像进行求解.例3、(2019南京学情调研)已知函数f(x) =lnx, g(x) =x2.(1)求过原点(0, 0),且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程；(2)若 a0,求函数()(x) = |g(x) 2a2f(x)| 在区间思路分析第(2)问，设 H(x) =g(x) 2a2f(x) = x2 2a2ln x,因为当x一十 0时，H(x) 一十巴 故函数H(x)的最小值为负数时，函数。(x)的最小值为0;当函数 H(x)的最小值为

28、非负数时，即为函数。(x)的最小值.规范解答(1)因为 f(x) =lnx,所以 f (x) = (x 0). x设直线l与函数f(x)的图像相切于点(x。，y。)，1则直线l的方程为y y0=一(x x。, xc即 y ln xq= (x xq). (3分)xo因为直线l经过点(0 , 0),所以 0ln xo=工(0 xo),即 lnxo=1,解得 xo=e. xo因此直线l的方程为y = -x,即xey=0. (6分) e(2)考察函数 H(x) = g(x) - 2a2f(x) =x2-2a2ln x.2a2 2 (x a) ( x+ a)H (x) =2x-r=x (x1).因为a0

29、,故由H (x) = 0,解得x=a.(8分)当 0vawi 时，H，(x) 0 在(11 分)当a1时，H(x)在区间上递减，在区间(16分)题型三、利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值首先要求函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值。要特别注意函数/在x x0与f （x） 0之间的关系，不是充要条件，解题时要注意验证。例4、（2019南京学情调研）若函数f（x） =?ax2ex+1在x= x1和x=先两处取到极值，且 2,则实2x1数a的取值范围是ln2,【解析】思路分析欲求实数a的取值范围,x2需要找自变量，我们可以把t=一作为自变量，也可以把x1x1作为自变量求解.解法1

30、t = *作为自变量fx1(x) = ax ex,当两函数y = ax与y = ex相切时，可得a=ex,即切点的横坐标为 x切=in a,由题意得函数y = ax 与y = ex有两个不同的交点，则aln aena,易知 ae,且 ax1 = ex1,ax2=ex2,取对数得 in a+inx1 = x1lna+lnx2=X2,两式作差得inX2Xi= x2 x1,令 t = - 2, x1代入上式得,in tx1 = fT 1令 g(t)in tt -r人1,令 e(t) =1 - - in t, (f)(t)0,故 e (t)，ex1又因为a =m(x) =, m (x)=ex (x1)

31、exim(in2) = jn-.解法2（x1作为自变量） f （x） = ax - ex,由解法1易知ae,f (1)00 x11x2, ax1 = ex1, ax2=ex2.ex1 ex2即a =x1x21 . . x21.当。xF时，符合L2；当5x12xi1,故有ex1ex2a= x1x2e2xi2x1.（由解法1知,函数 m（x） = e在区间1 , 十 ）上递增）即0 x1 in 2, xex12a=!n2.解法3（临界法）f (x) =axex,作函数y = ex, y= ax的图像如图,解题反思 本题作为填空题优选解法3临界法，找出 一=2时a的值就可以迅速求解了.X1如果作为解

32、答题，建议采用解法2 xi作为自变量，此时求出xi的取值范围成为了关键.先限制变量xi, X2的范围，即0 xi1X2,然后对变量 xi分类：02xi 1X2, 12xi2(分类的依据是 2xi, X2是否都在函 数m(x) =e的单调增区间1 , +8)的同侧)，进而用单调性处理即可.x题型四 利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值是导数的一个最重要的应用，求函数的最值往往给出具体的区间，若是填空题要特别注意技巧，把端点和在区间内的极值点代入即可。例5、(2019扬州期末) 若存在正实数x, y, z满足3y2+3z& 10yz ,且In xIn z = ,则y的最小值为【答案】e2【

33、解析】由 3y2+3z210yz,得(3y z)(y -3z)0,解得 z y3z,即wYw3. 33 Z由 Inxlnz = e, 得 In xIn y + In y In z = ey,即 In X= - In1+ey.令 = t , tej, 得 lnj=Int+ et =f(t)，则 f (t) =- ； + e= 0,得 t =1.当 t e 1, 1 时，f (t)0 , f(t)单调递增，所以当t =1时，f(t)有唯一的极小值，即最小值fmin=f 1=2,故1nx =eey min2= Ine2,所以X的最小值为e2.y例6、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二

34、调)已知a为常数，函数f(x)x0),则g(x)的最大值为2,由根号内的结构联想到勾股定理，从而构造 ABC|a 一 1|311)满足 AB=也，AC= 1, AD) BG ADx,贝U BA5x , DC=小-x ,贝U Saabc= 2BC AA2x(/a-x +寸1 -x )= ；AB- AC sin / BAGC 2AB AC= 1a,当且仅当/ BAO :时， ABC的面积最大，且最大值为 1a.从而g(x)x (a-x2+qi-x2) |a-1|Sa abccC|a -1|2 一 ,13,解付a=4或fUr所以及解法2(导数法，理科)由题意得函数f(x)为奇函数.因为函数f(x)所

35、以(x)=(门-尸)-x2tB7-2(4x2yix2)27a x2d 1 x22-xaw 1.令 f (x) = 0,得 x2= Ja-x2J1 -x2,则 x2 = a.a十1因为函数f(x)的最小值为I，且a0.3由 aja x271 x2 x20,得 a (a + 1)x 20.当0a1时，Ja x2 V1 x2o 得一ywx-ya-a-或台xw*；由f，(x)1 时，ja x2 1 x20,函数 f(x)的定义域为1, 1,由f (x)0a上为增函数，在由 f (x)0 得一1Wx /a0或、/，xW 1,函数 f(x)在 一京，1上为减函数.W10),则g(x)的最大值为I，设向量a

36、= (Ja-x2,声), 3b=(F，41x2) , 2与 b的夹角为 9 ,则有 a - b= | a| | b|cos 0 O)上一点P(x。，yo)处的切线分别与 x轴，y轴交于点A, B, O是 x4 , 1 坐标原点，若 OAB勺面积为则xo=. 3【答案】，5【解析】因为y = 1 +孑，切点Px?, xo g, xoO,所以切线斜率 k= y x=xo=1 +，所以切线方程是 y xo = 1 +(x xo).令 y = O得x= 2,即 A 2, O；令*=。得丫=,即xoxoxo+1xo+1xo2 112xo221 i -B(0,一京).所以 Sa3坪OB= 2xxklXxo

37、=xol=3,解信 xo = 5.解后反思本题根据导数的几何意义，利用切点横坐标表示切线方程，进而表示三角形的面积，渐次推演即可.5、 (2O17南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y = x2(xO)和y = x3(xO)均相切，切点.一一, x1分别为A(x1, y。和B(x2, y2),则T的值为4【答案】4 3在题目中已经设出两个切点坐标时，基本方【解析】 思路分析 本题考查的是两条曲线的公切线问题.y = 2x1 x-x2,曲线 y = x3在 Rx2, y2)处的切法是运用点斜式分别写出切线方程，由两条切线重合建立x1, x2的方程组求解.解法1由题设可知曲线 y=x2

38、在A(x1, y1)处的切线方程为2232x1= 3x2,线方程为y= 3 x2 x-2x2,所以23x1 = 2x2,解得x1 = 3|, x2=8,所以2 79x1x243.2x1= 3x2,解法2由题设得x2-x2=2x1,x2 x1328解得x1 = , x2=-所以2 79x1x243.6、(2O17南京学情调研)已知函数f(x)=1x3+x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数 a的取 3值范围为3【答案】2, 4【解析】因为函数f(x)在(1,2)上有极值，则需函数f(x)在(1,2)上有极值点.解法 1 令 f (x) = x2+2x2a= 0,得 xi =

39、 1 11 + 2a, X2= - 1+1 + 2a,因为 xi?(1,2),因此则需331x22,即 11 + 1 + 2a2,即 41+2a9,所以 2a4,故实数 a 的取值范围为 2, 4 .解法2 f (x) =x2+2x 2a的图像是开口向上的抛物线，且对称轴为x= 1,则f (x)在(1,2)上是单f (1) = 3-2a0,.一 3 3解得2a4,故实数a的取值范围为2, 4 .7、(2018年高考江苏)若函数？(?= 2?为+ 1(? CR)在(0, + 8)内有且只有一个零点，则？?(?社-1,1上的最大值与最小值的和为 【答案】-3【解析】由f x6x2 2ax 0得x

40、0或x -,3因为函数f x在0,上有且仅有一个零点且 f 0 =1, HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 所以 a 0, f a 0, 33 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 32因此 2 a 1 0,，在 0,1上单调递减，解得3.从而函数f1,0上单调递增所以f x maxf x min min则 f x max fminf 0 +f故答案为3.8、(2017南京三模)若函数f(x) = ex(1143.-x2+2x+a)在区间a, a+1上单调递增，则实数 a的最大值1+ ,52因为f x

41、 ex2 -x 2xx 2a 2x 2 e x a 2 ,且函数f x在区间a, a+1上单调递增，所以a 2 x2,在xaa+1上恒成立.即a 2215a 1 ，解得a2即a的最大值为-159、(2017苏锡常镇调研)若函数f(x) =x-.在同一平面直角坐标系中画出y=|f(x)|与y=g的图像可得，交点有2e 88+ 8)上的最大值为4个，即原函数零点有g( . e)4个.易错警示 答案中出现了 3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了 (1,+ 00)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴.x2-4,10、(2017苏州期末)已知函数x 0,)若关于x的方

42、程|f(x)|ax5=0恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于 x轴对称，其交点在x轴上.方程 |f(x)| ax 5= 0? f(x) = ax+5 或 f(x) = ax5.所以曲线 C： y=f(x)与两条直线 l： y=ax+ 5和mi y = ax5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线 l与曲线C总有两个交点，所以可有情况是:直线m与曲线C相切，直线m与曲线C相交两点但其中一点是 l , m的交点5a，0.由m与C相切，得当a TOC o 1-5 h z ,一,， 一 一,、一, ， ,一 ,a0

43、时，y= ax5 与 f (x)图像在 x0 的一侧相切.设切点为(x, y),则 f (xo)=2x0=a, x0= 2.a 22又切线方程为 yy0= a(xxo),得 y= ax+ax0+ y0=ax+a - + - 4= - ax4= - ax-5,244得a= 2.同理当a0时，交点位于f(x)图像在x0的一侧，此时有 f = e5 = 0,aa5前经判断，a的这四个值均满足要求.f=25 4=0, a=5；当 a0 时,a a25 5a一蒜,故由交点在C上将a = 2或ay=|f(x)|与动直线y=ax+b的公11、(2017年高考江苏)已知函数f(x)其中e是自然对数的底数.若

44、f(a 1)解后反思 先确定a的可能值，再检验，较易操作.也可考虑定曲线 共点的问题.f(2a2) 0,则实数a的取值范围是-1【答案】11 2【解析】因为f ( x)x3 2xf (x),所以函数f (x)是奇函数,因为 f(x) 3x22x e e2 ex ex所以函数f (x)在R上单调递增,2_2又 f(a 1) f(2a ) 0 ,即 f (2a )f(1 a),所以 2a2 1 a,即 2a2 a 11故实数a的取值范围为1,.212、(2019南京、盐城二模)已知函数f(x)|x +3| ,x212x+3x0.-g(x)的图像经过四个象限，则实数 k的取值范围为1【答案】一9,

45、3即转化为当x0时，函数y = f(x) g(x)【解析】思路分析函数y = f(x) g(x)的图像经过四个象限,的值有正有负；当x0时，y = x3-(k + 12)x + 2,当x=0时，y = 20,故它要经过第一象限和第四象限，则存在x0,使 y= x3(k + 12)x + 2x2+2,即 k+ 12 x2+ -.令 h(x) = x2+-(x0)xx minx2 (x31),当 x1 时，h (x)0 , h(x)在(1 ,+8)上递增；当 0vx1 时，h (x)3,即k9.当x0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x0,使 y= |x +3| (kx +1)0,则 k9二1

46、，即 km.令 j(x)=lx xx4,x x2, 3 x易知。(x)在(83上单调递增，在(一30)上单调递减，当x=3时取得极大值，也是最大值,(j) (x) max1k0 时,f(x) =x3-12x+3, f (x) =3x212=3(x+2)(x 2),可知f(x)在区间(0, 2)上单调递减，在区间(2, +8)上单调递增，且 f(2) = 130,当x0时，在(0 , +8)必有交点，在(8, 0)区间内，需满足1 0k_.3当k0)图像的切线即可，设切点为仅0 x312xo+3),由 k=3x0-12 =3xo 12x03 1Xo,解得X0=1,切线斜率k=9,所以 kC( 9

47、, 0).当k=0也符合题意.综上可知实数k的取值范围为二、解答题13、(2018 扬州期末)已知函数f(x) =ex, g(x) =ax+b, a, bCR.(1)若g( 1)=0,且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线，求实数 a的值；(2)若不等式f(x)x2+m对任意xC(0, +8)恒成立，求实数 m的取值范围；(3)若对任意实数a,函数F(x)=f(x) g(x)在(0 , +8)上总有零点，求实数 b的取值范围.思路分析 第(1)问研究函数的切线问题，通常通过设出切点坐标，应用导数求出切线的斜率，进而求得切线方程，根据切线方程满足的条件求解相关的问题；第 (2)问由恒成

48、立问题求参数的取值范围，其基本方法有两种，一是将所研究的参数分离出来，转化为研究一个已知函数的最值来解决问题；二是通过移项来构造一个含有参数的函数，然后通过研究该函数的最值来解决问题.第 (3)问研究函数的零点问题，主要是抓住两点，一是函数的单调性，二是寻找支撑点，要避免由“图”来直观地说明.规范解答(1)由g( 1) = 0知，g(x)的图像过点(一1, 0).设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像切于点T(x0,y).由f (x) = ex得切线方程是y ex= ex(x x),此直线过点(1, 0),故 0 ex0= ex0( 1 x。),解得 xq= 0,所以 a=f (0) = e

49、= 1.(3 分)(2)由题意得 mex-x2, x (0 , +8)恒成立.令 h(x) = ex x2, x (0 , 十),则 hz (x) = ex 2x,再令 n(x) = h (x) = ex 2x,则 n (x) = ex 2,故当 x(0, In 2)时，n (x)0 , n(x)单调递增，从而n(x)在(0, +8)上有最小值 n(|n 2) =2- 21n 20,即有h (x)0在(0 ,十8)上恒成立，所以 h(x)在(0, +8)上单调递增，故 h(x)h(0) =e 02 = 1, (6 分)所以1.(8分)(注：漏掉等号的扣2分.)(3)若 a0, F(x) =f(

50、x) - g(x) =exax b 在(0 , 十0)上单调递增，故 F(x) = f(x) - g(x)在(0 , +o)上总有零点的必要条件是F(0)1.(10分)以下证明当b1时，F(x) = f(x) g(x)在(0 , +)上总有零点.若a0.由于F(0) =1-b0,且F(x)在(0,十)上连续，由零点存在定理 a a aa可知F(x)在0,一-上必有零点.(12分) a若a0.由(2)知 exx2+ 1x2在 xC (0 , +oo)上恒成立.取 xc= a+ b,则 F(xc) = F(a + b) = ea b a(a + b) b(a + b)2 a2ab b= ab+ b

51、(b 1)0.由于F(0) =1-b0,且F(x)在(0 , +0o)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0 , a+b)上必有零点.综上得实数b的取值范围是(1, +8). (16分)解后反思 此题有三问，这三问都是常规问题.第 (1)问是切线问题，只要是切点不知道的，都采用“切 点待定法”；第(2)问是恒成立求参数范围，只要不是压轴题，首推“参数分离；第 (3)问是函数零点问 题，不能从粗糙的图像来确定，必须按零点存在定理来确定， 这是此题的难点所在，难在所谓的“支撑点”的寻找，这要在平时的解题中加以积累.此外第 (3)问的参数范围的确定，采用的是以证代求，这也是值得 关注的地方.14、

52、(2018 苏北四市期末)已知函数 f(x) =x2+ ax+1, g(x) =lnxa(aCR).(1)当a= 1时，求函数h(x) =f (x) g(x)的极值；(2)若存在与函数f(x) , g(x)的图像都相切的直线，求实数a的取值范围.规范解答(1)函数h(x)的定义域为(0 , +8).当 a= 1 时，h(x) = f(x) g(x) =x2 + xlnx + 2,所以 h (x) = 2x + 1 -12 21所以y=- 2x在(o , 1上单调递减，因此 a =2= 2xoC1,). = (2x-1) (x+1) .(2 分) xx，,11八令 h (x) = 0 得 x =

53、 2(x = 1 舍)，当x变化时，h (x) , h(x)的变化情况如下表：x10，2121-1-002，h (x)一0十h(x)极小值 TOC o 1-5 h z ，111 所以当x=2时，函数h(x)取得极小值 彳+ln2,无极大值.(4分)g(X2)处切线相同,则 f (X 1) =g(X 2)=(2)设函数 f(x)上点(xi, f(x i)与函数 g(x)上点(x 2,f(X1) g(X2)xi x22bw1X1 + ax1 + 1 - (lnx2a)八所以 2x1+a = =, (6 分)X2X1 X22(*)(8 分)所以 X1 =-,代入=X1 + ax1 +1 (lnx2-

54、 a)得二2一 I- InX2 + a- 2= 0.2X2 2X24X2 2X24设 F(x)2一丁+ In x+ :一a一 22x 41 a 1则 F (x)=-27+ 夕+厂2x2+ ax 127不妨设 2x2+axo1 = 0(xo0),则当 0 xxo时，F (x)xo时，F (x)0 ,所以F(x)在区间(0 , xo)上单调递减，在区间(xo, +)上单调递增，(10分) TOC o 1-5 h z 1-2x0121代入 a= 2xo可得 F(x) min = F(xo) = xo+2xo+ In xo2.设 G(x) = x2+2x1+In x 2, xXo XoXo则 G (x

55、) = 2x + 2+A+1。对 xo 恒成立，所以 G(x)在区间(o , +0o) X X上单调递增.又G(1) = o,所以当 oxwi 时，qx) wo,即当 oxoW 1 时，F(xo)。，所以当Xoa+2 一 .x= e 1 时，F(x)1 a , a+2a1 XXoXo所以实数a的取值范围是1, +8). (16分)解后反思 主要分析第(2)小题，消元后得到关于X2的方程后，需要两次构造新函数协助研究，并且第一次构造的函数F(x)的驻点存在X。但不是特殊点，这些问题的处理策略都是需要强化的；另外两个新函数 F(x),G(x)中的两个特殊值F(ea+2)o, G(1)=o也起着承上

56、启下的作用，所以本题既是对考生数学思维能力的考 查，又是对考生数学基本功的检验.15、(2018 南京学情调研)已知函数f(x) =2x3-3(a +1)x2+6ax, a C R.(1)曲线y=f (x)在x = 0处的切线的斜率为 3,求a的值；112=2a+4 t-a+2 + Ine一a 2 =二 -a+2 a o.(144e2e44 e分)因此当oxo 1时，函数F(x)必有零点，即当oxoW 1时，必存在X2使得(*)成立，即存在X1, X2使得函数f(x)上点(X1, f(x 1)与函数g(x)上点(X2, g(x 2)处切线相同.又由 y=L 2x, xC (o , 1得 y =

57、- 2212lnx恒成立，求a的取值范围；(3)若a1,设函数f (x)在区间1 , 2上的最大值、最小值分别为M(a),ma),记h(a) =Ma) m(a),求h( a)的最小值.思路分析 第(3)问，欲求函数f(x)在区间1 , 2上的最值M(a), m(a),可从函数f(x)在区间1 , 2上 的单调性入手，由于 f (x) = 6(x 1)(x a),且a 1,故只需分为两大类：a2, 1vav2.当1vav2 时，函数f(x)在区间1 , 2上先减后增，进而比较 f(1)和f(2)的大小确定函数最大值，由 f(1) =f(2)得 到分类的节点a=5.3规范解答(1) 因为 f(x)

58、 =2x3- 3(a + 1)x2+6ax,所以 f (x) = 6x2-6(a + 1)x + 6a,所以曲线 y = f(x). 一一 1.在x=0处的切线的斜率 k= f (0) = 6a,所以6a=3,所以a = 2.(2 分)f(x) +f( -x) =- 6(a + 1)x212ln x 对任意 xC(0, 十Oo)恒成立 所以 (a + 1) -2ln2.(4 分)x令 g(x)=2ln xx0,则 g (x)=2 (1 2lnx)令 g(x) = o,解得 x=qe.当xC(0, #)时，g (x) 0,所以g(x)在(0 ,次)上单调递增；当xC(qe, +8)时，g (x) 即 aw一 1 一 一ee所以a的取值范围为8) 1- .(8分)e因为 f(x) =2x33(a+1)x2+6ax,所以 f (x)