2020届全国各地高考试题分类汇编精讲版-统计和概率

1、2020届全国各地高考试题分类汇编统计和概率（2020北京卷）在（Jf 2的展开式中，的系数为（）.A. -5B. 5C. -10D. 10俗案C【规律方法】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定小的系数即可.【详细解答】（-2展开式的通项公式为：7；,（ = C； （V7）5 （-2/ = （-2/令? = 2可得：r = l，则/的系数为：（一2）七；=（2*5 = -10.故选：C【点拨】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出 的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和，的隐含 条件，即，均为非负整数，且力，如常数

2、项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步 是根据所求的指数，再求所求解的项.（2020北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、 方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100 A方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（HI）将该校学生支持方案的概率估计值记为外

3、，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为Pi,试比较Po与Pi的大小.（结论不要求证明）答案（I）该校男生支持方案一的概率为！，该校女生支持方案一的概率为3； 34（H） （III） PiP 3o【规律方法】（I）根据频率估计概率，即得结果：（II ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果：（III）先求外,再根据频率估计概率Pl,即得大小一9001【详细解答】（I）该校男生支持方案一的概率为;200+400 33003该校女生支持方案一的概率为=-： 300+100 4（II） 3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1

4、）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，31IQ 13所以3人中恰有2人支持方案一概率为：q）2（l -7）+ C（-）（l-）- = ;3433 4 36（HI） Pi，和温度x（单位:。C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（七,y,）a = L2,20）得 到下面的散点图：由此散点图，在10至40。（2之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx2C. y = a+beD y = a + bnx答案D【规律方法】根据散点图的分布可选择合适的函数

5、模型.【详细解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率 和温度x的回归方程类型的是y = a +0lnx.故选：D【点拨】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.24.（2020全国1卷）（x + L）（x+V），的展开式中一炉的系数为（） xA. 5B. 10C. 15D. 20答案C【规律方法】求得（x + y）5展开式的通项公式为（rwN且，45）,即可求2 得X + 与（x+y）s展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3, 1即可求得/），3的系数，问题得解.【详细解答】（x + y）5展开式的通项公式为（厂%且厂45） TOC o

6、 1-5 h z /2 所以1x + + 的各项与（x+y）展开式的通项的乘枳可表示为：尸咫/y=禺产丫和f a =廿禺产丫=禺尸产XX在中，令r=3,可得：x7；=C3）,3,该项中dy3的系数为0,在二&i=cqjy_2中，令=1,可得：7；=cy/,该项中丁,，3的系数为5 XX所以工，尸的系数为io+5 = 15.故选：C【点拨】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.125. （2020全国1卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者 被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进

7、行下一 场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直 至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束,经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场 比赛双方获胜的概率都为?，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.137r：J（1）77:（2） ： （3）.Io4Io【规律方法】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概 率：（3）列举出甲嬴的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲嬴的概率，由对称性 可知乙高的概率和

8、甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.（1Y 1【详细解答】（D记事件M:甲连胜四场，则尸（M）=-=： 0.95 ,犬之17.1,故需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.（2020全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区， 每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.答案36【规律方法】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列 组合和乘法计数原理得解.【详细解答】: 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一

9、组，选法有：C；=6 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A；=6根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6 = 36种故答案为：36.【点拨】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使 用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（2020全国2卷）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增 加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面枳相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据8,凹）（户1, 2,，20）,其中为和M分别表示第7个样区的植物覆盖而积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计

10、算得20202玉=60, ZV1200, （a;-J）21-120= 80, （-y）2 =9000, r-120Z（七一亍）（y y）= 800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）:（2）求样本3, MG=1, 2,，20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.Z（斗幻（一刃附：相关系数7=下 “72=1.414.一刃 ?答案（1）12000； （2） 0.94； （3

11、）详见解析【规律方法】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可;（2）利用公式=202（七一工）（,一亍） y-i202（）计算即可;20Z（不一天）（y-下） /=i20/=!（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1第 1【详细解答】（1）样区野生动物平均数为布=犷x 1200 = 60, 2U2U地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200 x60 = 12000（2）样本（a,凡）（户1, 2,，20）的相关系数为800272 ,= =% 0.94780 x90003(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量

12、与植物覆盖而积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖而积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数 学运算能力，是一道容易题.(2020全国3卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为小,小，4,且1-1则下而四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A. P = Pj = 0/,=Pw = 0.4B. Pi = Pa = 0.4, P2 = P3 = 0. 1C.

13、 P1 = Pj = 0.2, p2 = P3 = 0.3D. P = =0.3, Pi = Py = 0.2答案B【规律方法】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详细解答】对于A选项，该组数据的平均数为0=(1+4)x0.1+(2 + 3)x0.4 = 2.5, 方差为s：=(l 2.5)x0.1+(22.5)2 x0.4+(32.5f x0.4+(42.5)2x0.1 = 0.65： 对于B选项，该组数据的平均数为石= (1+4)x0.4+(2 + 3)x0.1=2.5,方差为,=(1 2.5x0.4 + (2 2.5)2 x0.1+(32.5)2 x0.

14、1 + (42.5)2x0.4 = 1.85： 对于C选项，该组数据的平均数为不= (1 + 4)x0.2 + (2 + 3)x0.3 = 2.5,方差为q=(1一2.5)2 x0.2+(2 2.5f x0.3 + (32.5)2 x0.3+(425)2x0.2 = 1.05： 对于D选项，该组数据的平均数为H = (1 + 4)x0.3 +(2 + 3)x0.2 = 2.5,方差为年=(1-2.5)2 x0.3+(22.5)2 x0.2 + (32.5f x0.2 + (425)2x0.3 = 1.45.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.【点拨】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的

15、应用，考查计算能力，属于基础题.(2020全国3卷)(+*)6的展开式中常数项是 (用数字作答).x答案240【规律方法】写出(/+2)二项式展开通项，即可求得常数项.【详细解答】其二项式展开通项：7；+1=Q-（x2）6-r-j = . x,2-2r（2）r . x-r = Crb（2）r . x,2-3r当 123r = 0,解得 =4（八6二x2+-的展开式中常数项是：C；24=C；J6 = 15xl6 = 240.故答案为：240.I X）【点拨】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（ + ）”的展开通项公式=c，7/ ,考查了分析能力和计算能力，属于

16、基础题.（2020全国3卷）某学生兴趣小组随机调查了某由100天中每天的空气质量等级和当天 到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0, 200(200, 400(400, 6001 （优）216252 （良）510123 （轻度污染）6784 （中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率：（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”：若某天的空气质量等级为3 或4,则称这天“空气质量不好;根据所给数据，完成下而的2x2列联

17、表，并根据列联表, 判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次*00人次400空气质量好空气质量不好(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)尸（蜉泌）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案（l）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27. 0.2 K 0.09：（2） 350：（3）有，理由见解析.【规律方法】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的 概率：（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果：（3）根据表格中的数据完善2x2列联

18、表，计算出K?的观测值，再结合临界值表可得结论.【详细解答】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2 + 16 + 23=0 43,等级为2的概率为5 + “）+12=。.27,等级为3的概率为1001006 + 7.8=021,等级为4的概率为上马匹=0.09；100100（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100 x20 + 300 x35 + 500 x45 = 350100(3) 2x2列联表如下：人次4400人次400空气质量不好3337空气质量好228K15.820 3,841，100 x(33x8 - 37x221 55x45x70 x3

19、0-因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点拨】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考 查数据处理能力，属于基础题.(2020江苏卷)已知一组数据4,2a,3-,5,6的平均数为4,则。的值是.答案2【规律方法】根据平均数的公式进行求解即可.【详细解答】数据4,客,3-。,5,6的平均数为44+攵+3-。+5+6 = 20,即。=2.故答案为：2.【点拨】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础.(2020江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.答案巧【规律方法】分别求出基本事

20、件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可.【详细解答】根据题意可得基本事件数总为6x6 = 36个.点数和为5的基本事件有(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)共4个.4 11出现向上的点数和为5的概率为尸=.故答案为：-.36 99【点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.(2020新全国1山东)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场 馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有() A. 120 种B. 90 种C. 60 种D 30 种答案C【规律方法】分别安排各场馆的志愿

21、者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详细解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C：；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C：C= 6x10 = 60种.故选：C【点拨】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.(2020新全国1山东)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或 游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生 数占该校学生总数的比例是()A. 62%B. 56%C. 46%D 42%答案C【规律方法】记“该中学学生喜欢足球”为事件4，“该中学学

22、生喜欢游泳”为事件8, 则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A + 8, “该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A 8 ,然后根据积事件的概率公式P(A B) = P(A) + P(3) - P(A + B)可得结果.【详细解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件4，“该中学学生喜欢游泳”为事件8, 则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A + 8, “该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为 事件48，则 P(A) = 0.6, P(B) = 0.82 ,尸(A+ 8) = 0.96,所以尸(A 8) = P(A) + P(8) 尸(A + B)= 0.6 + 0.82 - 0.96 = 0.46所以

23、该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点拨】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.(2020新全国1山东)信息端是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,且P(X=i) = pj0(i = 12定义X的信息燧1-1H(X) = pjGgi.()A,若=1,则(A)=0B.若=2,则(随着I4的增大而增大C,若月=12,)，则随着的增大而增大 nD.若=2加,随机变量丫所有可能的取值为1,2,?，且P(V = J) = Pj + P2m1-/(/ = 12，,则 H(X)10g2p.Pi +八、1由于Pi 0(i = l,2,2m),所

24、以一Pi Pi + P2m+l-i所以“（x）”（y）,所以d选项错误.故选:11i1所以 Pi 2 /乙Tog2 PiP, + 2-AC【点拨】本小题主要考查对新定义“信息病”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能 力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.（2020新全国1山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的PM2.5和SO?浓度（单位：Ng/n），得下表：so2PM 2.50,50(50 J 50(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中

25、PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：so2PM 2.50J50(150.4750.75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关？附：K2 =n(ad -be)2(a+b)(c + d)(a + c)(b + d)PK2k)0.0500.0100.001E3 8416.63510.828答案（1） 0.64：（2）答案见解析；（3）有.【规律方法】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果:（2）根据表格中数据可得2x2列联表：（3）计算出K?，结

26、合临界值表可得结论.【详细解答】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的天数有32+6+18+8 = 64天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率为=0.64 ：100（2）由所给数据，可得2x2列联表为:SO.PM 2.50,150(150,475合计0,75641680(75,115101020合计7426100(3)根据2x2列联表中的数据可得2n(ad-bc)2100 x(64x10 16x10)2 3600 7 71azM 八人”K =、/.4o44 O.OJ3 ,(a + Z?)(c

27、+ d)(a + c)(b + J)80 x20 x74x 26481因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该方一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关一【点拨】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列联表，考查了独立性检验， 属于中档题.(2020 天津卷)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9 组：5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方答案B【规律方法】根据直方图确定直径落在区间5.43,5.47)之间的零件频率，然后结合样本总 数计算其个数即可.【详细解答】根据直方图，直径落在区

28、间5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25 + 5.00)x0.02 = 0.225,则区间5.43,5.47)内零件的个数为：80 x0.225 = 18 .故选：B.【点拨】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.(2020天津卷)在(x + j)的展开式中，/的系数是.答案10【规律方法】写出二项展开式的通项公式，整理后令工的指数为2,即可求出.【详细解答】 因为 G+3的展开式的通项公式为 k厂7，2 丫=玛2丁-3(r = 0,1,2,3,4,5),令53 = 2,解得r=1.所以/ /的系数为C；x2 = 10.故答案为：10.【点拨】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.(2020天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为:和g.假定两球是否落入盒 子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为:甲、乙两球至少有一个落入盒 子的概率为.12答案.-(2).-【规律方法】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同 理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率