2023届高三数学一轮复习课时过关检测(55)圆锥曲线中的定点、定值问题

1、课时过关检测(五十五) 圆锥曲线中的定点、定值问题1已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，若ABF1的面积是ABF2的面积的3倍，且eq o(F1A,sup7()eq o(F1B,sup7()3(1)求C的标准方程；(2)若过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，点P在直线x6上，且NP与x轴平行，求证：直线MP恒过定点解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，A(a,0)，B(0，

2、b)，则eq o(F1A,sup7()(ac,0)，eq o(F1B,sup7()(c，b)又ABF1的面积是ABF2的面积的3倍，且eq o(F1A,sup7()eq o(F1B,sup7()3，eq blcrc (avs4alco1(ac3ac，,cac3，)解得a2，c1，则beq r(a2c2)eq r(3)，C的标准方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(2)证明：设直线MN的方程为xmyeq f(2,3)，Meq blc(rc)(avs4alco1(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(6，y2)由eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)f(y2,3)1，,

3、xmyf(2,3)，)消去x，整理得(3m24)y24myeq f(32,3)0，0恒成立，由根与系数的关系得，y1y2eq f(4m,3m24)，y1y2eq f(f(32,3),3m24)，my1y2eq f(8,3)(y1y2)又直线MP的方程为yy2eq f(y1y2,x16)(x6)，令y0，得x6eq f(y2x16,y2y1)x1my1eq f(2,3)，x6eq f(y2blc(rc)(avs4alco1(my1f(16,3),y2y1)eq f(my1y2f(16,3)y2,y2y1)eq f(f(8,3)y1y2f(16,3)y2,y2y1)eq f(8,3)，则xeq f

4、(10,3)，故直线MP恒过定点eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,3)，0)2(2022洛阳统考)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点P(4，m)(m0)是抛物线C上一点，且|PF|5(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线 C上异于P的两点，且PAPB记点A，B到直线y4的距离分别为a，b，求证：ab为定值解：(1)由抛物线的定义知|PF|eq f(p,2)45，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x(2)证明：由P(4，m)(m0)是抛物线C上一点，得m4，易知直线PA斜率存在且不为0，设直线PA的方程为x4t(y4)(t0)，A(x1，y1)，B(x2，y

5、2)由eq blcrc (avs4alco1(x4ty4，,y24x，)消去x得y24ty16(t1)0，16(t2)20，所以t2，所以y14t4，所以a|y1(4)|4t|因为PAPB，所以用eq f(1,t)代替t(t0，t2，eq f(1,t)2)，得y2eq f(4,t)4，b|y2(4)|eq blc|rc|(avs4alco1(f(4,t)，所以abeq blc|rc|(avs4alco1(4tf(4,t)16，即ab为定值3ABC中，已知B(eq r(2)，0)，C(eq r(2)，0)，ADBC交BC于点D，H为AD中点，满足BHAC，点H的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；

6、(2)过点Meq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)作直线l交曲线C于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点解：(1)设H(x，y)，则A(x,2y)，eq o(BH,sup7()(xeq r(2)，y)，eq o(CA,sup7()(xeq r(2)，2y)，因为BHAC，所以eq o(BH,sup7()eq o(CA,sup7()0，即(xeq r(2)(xeq r(2)2y20，整理得x22y22，即eq f(x2,2)y21因为在ABC中，三顶点不可能共线，所以y0，故曲线C的方程为eq f(x2,2)y21(y0)(2)证明：若直线l斜率不存在，可得圆：x2y2

7、1，若直线l斜率为0，可得圆：x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,3)2eq f(16,9)两个圆的公共点为N(0，1)，若直线l斜率存在且不为0时，设其方程为ykxeq f(1,3)(k0)，由eq blcrc (avs4alco1(ykxf(1,3)，,f(x2,2)y21，)可得(2k21)x2eq f(4,3)kxeq f(16,9)0，0恒成立，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得eq blcrc (avs4alco1(x1x2f(4k,6k23)，,x1x2f(16,18k29)，)eq o(NP,sup7()eq o(NQ,sup7()(

8、x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2eq blc(rc)(avs4alco1(kx1f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(kx2f(4,3)(k21)x1x2eq f(4,3)k(x1x2)eq f(16,9)eq f(16k21,18k29)eq f(f(4,3)k4k,6k23)eq f(16,9)eq f(16k21616k2f(16,9)18k29,18k29)0，即NPNQ，所以以PQ为直径的圆经过定点N(0，1)综上所述，以PQ为直径的圆恒过定点N(0，1)4已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与

9、抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，eq o(QM,sup7()eq o(QO,sup7()，eq o(QN,sup7()eq o(QO,sup7()，求证：eq f(1,)eq f(1,)为定值解：(1)因为抛物线y22px过点P(1,2)，所以2p4，即p2故抛物线C的方程为y24x由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为ykx1(k0)，由eq blcrc (avs4alco1(y24x，,ykx1，)得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2eq f(2k4,k2)，x1x2eq f(1,k2)直线PA的方程为y2eq f(y12,x11)(x1)令x0，得点M的纵坐标为yMeq f(y12,x11)2eq f(kx11,x11)2同理得点N的纵坐标为yNeq f(kx21,x21)2由eq o(QM,sup7()eq o(QO,sup7()，eq o(QN,sup7()eq o(QO,sup7()，得1yM，1yN所以e