2023届高三数学一轮复习课时过关检测(59)随机事件的概率与古典概型

1、课时过关检测(五十九) 随机事件的概率与古典概型A级基础达标1某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的频数分布直方图若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，则在机器淘汰时备件有剩余的概率为()Aeq f(1,5)Beq f(7,10)Ceq f(4,5)Deq f(9,10)解析：B由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为eq f(6162424,100)

2、eq f(7,10)，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为eq f(7,10)故选B2如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”(如132)，现从集合1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()Aeq f(2,3)Beq f(1,12)Ceq f(1,6)Deq f(1,3)解析：D当十位上的数为4时，共有Aeq oal(2,3)6个；当十位上的数为3时，共有Aeq oal(2,2)2个，共8个故Peq f(8,Aoal(3,4)eq f(8,24)eq f(1,3)，故选D3已知大于3的素

3、数只分布在6n1和6n1两数列中(其中n为非零自然数)数列6n1中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列6n1中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是()Aeq f(1,2)Beq f(1,3)Ceq f(1,6)Deq f(3,4)解析：B30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，其中阴性素数有5,11,17,23,29，共5个，阳性素数有7,13,19，共3个因此，所求概率为Peq f(Coal(1,5)Coal(1,3),Coal(2,10)eq f(1,3)故选B4(多选

4、)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间(分钟)30405060线路一05020201线路二03050101则下列说法正确的是()A任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为004解析：BD对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为300540025

5、002600139分钟，线路二所需的平均时间为300340055001600140分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为07，线路二所需时间小于45分钟的概率为08，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为020101010101004，所以选项D正确故选B、D5已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)eq f(1,5)，事件B发生的概率P(B)eq f(1,3)，则事件A，B都不发生的概率是_解析：因为事

6、件A，B互斥，且P(A)eq f(1,5)，P(B)eq f(1,3)，则事件A，B至少一个发生的事件为AB，其概率为P(AB)P(A)P(B)eq f(1,5)eq f(1,3)eq f(8,15)，事件A，B都不发生的事件是AB的对立事件，则其概率为1P(AB)1eq f(8,15)eq f(7,15)所以事件A，B都不发生的概率是eq f(7,15)答案：eq f(7,15)6小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”(图案为大熊猫)的概率为_解析

7、：设冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚分别记为A(为“冰墩墩”)，B，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为a，b，从这4枚邮票中随机抽取2枚的样本空间(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)，共6个样本点，其中恰好有一张是“冰墩墩”的样本点有(A，B)，(A，a)，(A，b)，共3个，故所求概率为eq f(3,6)eq f(1,2)答案：eq f(1,2)7(2022天津一模)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为_；以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的内部的概

8、率为_解析：将一颗骰子先后抛掷2次，共有6236个样本点，记事件A：两次向上的点数中至少有一个奇数，则事件eq o(A,sup6()所包含的样本点有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，所以，P(A)1P(eq o(A,sup6()1eq f(9,36)eq f(3,4)；记事件B：点(x，y)在圆x2y215的内部，则事件B所包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，故P(B)eq f(8,36)eq f(2,9)答案：eq f(3,4

9、)eq f(2,9)8A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：A班6657758B班6789101112C班345675910512135(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率解：(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比keq f(20,100)eq f(1,5)，故C班有学生8eq f(1,5)40(人)(2)从A班和C班抽出的学生中，

10、各随机选取一个人，共有5840(种)情况，而且这些情况是等可能的当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为65小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为75小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率Peq f(23334,40)eq f(3,8)B级综合应用9三十六计是中华民族非物质文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书三十六计中，每六计为一套，共分

11、为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为()Aeq f(1,21)Beq f(1,14)Ceq f(1,7)Deq f(1,42)解析：C从36个计策中任取2个计策的样本空间中包含的样本点总数为Ceq oal(2,36)630，所选2个计策都来自同一套包含的样本点个数为6Ceq oal(2,6)90，则这2个计策都来自同一套的概率为Peq f(90,630)eq f(1,7)故选C10(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个

12、工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是()AP(B)eq f(7,10)BP(AB)eq f(9,10)CP(AB)0DP(AB)P(C)解析：ABC由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)eq f(7,10)，P(A)eq f(2,10)，P(C)eq f(1,10)，则P(AB)eq f(9,10)，故A、B、C正确；故D错误故选A、B、C11(2022福州模拟)已知方程eq f(x2,a)eq f(y2,b)1表示的曲线为C，任取a，b1,2,3,4,5，则曲线C表示

13、焦距等于2的椭圆的概率等于_解析：所有可能的(a，b)的组数为5525，又因为焦距2c2，所以c1，所以ab1，则满足条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，所以概率为Peq f(8,25)答案：eq f(8,25)12厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势，为了备战2023年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为_解析：从9名协会会员中随机

14、挑选3人参赛，所包含的总的样本点共有Ceq oal(3,9)84个；若A，B，C，D这4人中只参加一人，则需从剩下的5名会员中再选2人，所以对应的样本点有Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,5)40个；若A，B，C，D这4人中参加两人，则需从剩下的5名会员中再选1人，所以对应的样本点有Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,5)20个；因此事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为Peq f(4020,84)eq f(5,7)答案：eq f(5,7)13有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨

15、响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；(2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率解：(1)用A表示事件“一回合中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是：AAA，AAeq o(A,sup6()，Aeq o(A,

16、sup6()A，eq o(A,sup6()AA，eq o(A,sup6()eq o(A,sup6()A，eq o(A,sup6()Aeq o(A,sup6()，Aeq o(A,sup6()eq o(A,sup6()，eq o(A,sup6()eq o(A,sup6()eq o(A,sup6()，共8个，其中只有Aeq o(A,sup6()A，Aeq o(A,sup6()eq o(A,sup6()，eq o(A,sup6()AA三个结果，甲队得1分设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球甲队得1分”为事件B，则P(B)eq f(3,8)，所以，甲队得1分的概率为eq f(3,8)(2)打完四回合的所有可能结果是：Aeq o(A,sup6()AA，eq o(A,sup6()AAA，eq o(A,sup6()eq o(A,sup6()AA，eq o(A,sup6()Aeq o(A,sup6()A，eq o(A,sup6()AAeq o(A,sup6()，Aeq o(A,sup6()Aeq o(A,sup6()，Aeq o(A,sup6()eq o(A,sup6()