数据拟合建模

1、第五章 数据拟合一、拟合的概念二、调用MATLAB命令实现拟合三、范例1 在一项工程实践中，通过观测，得到了一个离散的函数关系(xi,yi) i=1,2,n。由于工程的需要，我们希望揭示出反映这组离散数据的一个解析的函数关系。 再用几何术语来表达：根据平面上的观测点,要求确定一个函数曲线y=f(x), 使曲线尽量接近这些点。实现这个愿望的方法简称为曲线拟合（fitting a curve). 在生产实践和科学实验中,经常会遇到大量的不同类型的数据(data).这些数据提供了有用的信息，可以帮助我们认识事物的内在规律等. 曲线拟合是根据实验获得的数据，建立自变量与因变量之间的函数关系，为进一步的

2、深入研究提供工具。一、拟合的概念2 引例：浓度变化规律 在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如表5.13表 5.1t 时间 1 2 3 4 5 6 7 8y浓度 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86t时间 9 10 11 12 13 14 15 16y浓度 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 表5.1中的数据反映了浓度随时间变化的函数关系,它是一种离散关系.若需要推断第20、40分钟的浓度值,就要用一个解析的函数y=f(t)来拟合表5.1中的离散数据,然后再算浓度f(20),f(40)。 首先

3、将这些离散数据描绘在直角坐标系下，得到散点图。然后观察浓度与时间之间呈现什么规律。 4 图5.1,浓度 y 随时间 t 呈“抛物线”(二次函数)状变化. 根据散点图,可以认为y与t的函数为y=a+bt+ct2,其中a,b,c为待定，称为参数。参数的选择需要科学的方法和实验修正。提示5 函数形式确定以后，关键是要确定函数中含有的待定参数a,b,c.常用的方法是最小二乘法（method of least squares),下面介绍该方法的基本原理。6最小二乘法 平面上的点 (xi,yi) i=1,2,n。揭示出一个离散的函数关系; 设有连续可微的函数y=f(x)很接近上述离散的函数关系。但一般来说

4、因此，我们的愿望降低为是：如何选取 f(x) 的参数使达到yi f(xi) i=1,2,n。 7对应的几何意义：诸点到曲线的距离平方和最小8二、曲线拟合的MATLAB实现多项式函数拟合： a=polyfit(xdata,ydata,n)其中(xdata,ydata)为观测数据，n为你认定的适合观测数据的多项式的次数。输出为 a =a1,an,an+1即与多项式f(x)=a1xn+anx+an+1对应9回到引例中的问题t=1:16;y=4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;a=polyf

5、it(t,y,2)a = -0.0445 1.0711 4.3252即拟合函数为f(t)=a(1)*t2+a(2)*t+a(3)10 对拟合函数的拟合效果如何检测？仍然以图形来检测，我们将客观的散点与主观的拟合曲线画在一个画面上即可看出。 xi=linspace(0,16,160); yi=polyval(a,xi); plot(x,y,o,xi,yi) %图略 右图是以8次多项式拟合的效果a=polyfit(t,y,8);xi=linspace(0,16,160);yi=polyval(a,xi);plot(t,y,o,xi,yi, g)11一般的曲线拟合：p=lsqcurvefit(Fun

6、,p0,xdata,ydata) (xdata,ydata)是观测数据。对于这组观测数据我们选择了自认为是拟合效果比较好的函数形式f(x),其中参数以字母表示，取值待定 .我们把这个函数形式写入名为Fun的M文件.例如：对于上述观测数据所选择的拟合函数为 y=ae-bx+ce-dx编写M文件ex.mfunction y=ex(p, x)y= p(1)*exp( -p(2)*x)+ p(3)*exp( -p(4)*x);12输入形参为x , 在 lsqcurvefit 命令中xdata为实参。待定参数写为 p(1) , p(2) , ，p(n) 此外，我们对待定参数应有一个大致的估计，体现在拟合

7、命令 lsqcurvefit 中的初始向量p0中。13调用后返回的p就是按照最小二乘原则求得的待定参数。这时再把p的分量对位代入函数形式的相应位置，就得到了完整的拟合函数。minp sum( fun(p,xdata) ydata ).2 lsqcurvefit()命令的求解原理是在所有可能的参数p中挑选使sum最小的函数法则待定参数p观测到的函数值序列观测到的自变量序列14例如：x=0:0.1:1;y= 4.0000 2.8297 2.0183 1.4524 1.0550 0.7739 0.5733 0.4290 0.3242 0.2473 0.1903;绘图认识观测数据体现的函数关系：plo

8、t(x,y) 15选择了拟合函数的形式为 y=ae-bx+ce-dx1、编写M文件ex.mfunction y=ex(p, x)y=p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x);2、调用p=lsqcurvefit(ex,1 2 1 4,x,y);拟合函数为 y= p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x)16注：若要求算点x处的函数值可用程序f=ex(p,x)计算。如 x=0:0.1:1; y=ex(p,x); plot(x,y)练习函数绘图3、评价拟合效果plot(x,y, o)hlod onxi=0:0.01:1;yi=ex(p,xi)

9、;plot(x,y)17x=0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416;y=0 1.6180 1.9021 0.6180 -1.1756 -2.0000 -1.1756 0.6180 1.9021 1.6180 0.0000;三、范例课堂练习：对下述观测数据，给出拟合函数提示：1.绘图估计解析关系2.建立解析关系的M文件3.调用lsqcurvefit命令4.针对解析关系绘图，与观测点对比，评价拟合函数优劣。18Malthus模型中的参数估计 为了让指数增长模型较好地拟合美国人口统计数据。我们来讨论公式中的参数2. 在工作区定义向量. t=0:1:21; Matlab的命令如下1. 建立M文件 function x = renkou(p,t) x =p(1)*exp(p(2)*t); 19x=3.9 5.3 7.2 9.6 281.4;203. 调用拟合函数. p=lsqcurvefit (renkou,p0,t,x) 结果为 p(1)=x0=14.9935 p(2)