以圆或隐圆为背景的填空题

1、 专题一压轴填空题第五关以圆或隐圆为背景的填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值.类型一以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1已知圆0:x2y2=5,A,B为圆0上的两个动点，且AB=2,M为弦AB的中点，C(25/2,a)D(2A/2,a+2).当代B在圆O上运动时，始终有NCMD为锐角，贝U实数a的取值范围为【解析】由题意得=二点M在以。为圆心,半径为2的圆

2、上.设匸的中点为，则沖妊小且CD=2.T当在圆。上运动时，始终有为锐角，-以O为圆心，半径为2的圆与以卫十J対圆心半彳诙1的圆外离、/-2歼+(13,整理得(+1)11?解得X2或口A0+二实数a的取值范围为2)。(QW).【名师指点】解答本题时，要根据所给出的条件得到点M的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M在以CD为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键.22【举一反三】已知椭圆G:笃占=1ab0与圆C2：x2+y2=b2,若椭圆G上存在点P,由点P向abTOC o 1-5 h z圆C2所作的两条切线PA,PB且/APB=60，则椭圆Ci的离心率的

3、取值范围是 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 【解析】因为APB=60，所以.POB=30,在RT.=POB中，由OB二b得PO=2b，由点P在椭圆J7J3)上知，bcPO=2bEa，所以4b2=4(a2C2)兰a2，解得e，又知0ceci，故填|,1. HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 2-2类型二以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2已知ABC中，AB=ACf3,ABC所在平面内存在点P使得PB2PC2=3PA2=3,则MBC面积的最大值为【答案】口316【解折】设,以月C所在直线

4、为为轴、亘中垂线d所在直线为护轴建立直角坐标系(如图所示儿则号(仏山/),设尸(瓦刃，由尸耳+2=3岛工=3,得+二;:tf；=3,x1+y22-Jsy+3a2=I土2a-23二3a2y.3a21贝V23a212一3-a20),直线PA与BE交于C,则当“1时，CM+CN为定值.【答案】8(1【解析】题意可得B(3,0),M(1,0)N(1,0)，设P(xo,y。)，则点EI心y0，故PA的方程为I1+九丿x3,be的方程为1y1x-3x-3，联立方程组可得y22y。222x把y=9-2代入化简可得92y91=1,故点C在以AB为长轴的椭圆上,当M、N为此椭圆的焦点时,CM+CN为定值2a=6

5、，此时a=3,c=1,b=119，由a2-b2=c2可得99=1，求得11，故填丄883在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x1$+(y26)2=1和两点A(a,2a),B(a,a2),且a1，若圆C上存在两个不同的点P,Q，使得NAPB=NAQB=90，则实数a的取值范围为【答案】1乞a1一17【解桁】原问题等佑-干讽为圜心的園与圜c有两个交点，AB中点坐标为(0.0),展虫丄為圜心的圆的半径駕=,且S1C的同心为(匕2虫)，半径为码=ir的圆的圆心距为:dJ1+24=5结合口A1可得关干实数。的不等式组：Ja2+(a_2丫_1兰5Ja2十(a_2$十1启5求解关于实数a的不等式组可得实数

6、a的取值范围为1.17._2224在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),B(1,0)均在圆C:(x3)+(y4)=r外,且圆C上存在唯一一点P满足AP丄BP，则半径r的值为【答案】4【解析】根据题意，点A(-1,0),B(1,0)，若点P满足APBP，则点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M,则M的坐标为(0,0),|AB|=2，则圆M的方程为x2y1,若圆C上存在唯一一点P满足AP_BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+仁|MC|=32425，解可得r=4.5已知等边：ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PA?PB二，的点P有两个，则实数的1取值范围是.【

7、答案】K0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆TOC o 1-5 h z心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为.【答案】3【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含.贝UdMNwdoN1,即1WdON1.所以doN2恒成立.因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM1,即卩d。12,所以a2+(3a)23,解得a3,所以a的最小值为3.已知线段AB的长为2，动点C满足CA-CB=入(入为常数)，且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，则实数入的最大值是.【答案】-3【解析】建立平面直甬坐标系，B(Q,0),A0),TgCte,y),则臣-CB=x(x-

8、2)+y=X,贝!比7+y=+1SV(x-1)4-y3=7X+l?点C的轨迹是臥0)为圆咽人+1为半径的圆且与xa+ya=卜离或相切所蚊Rw右入的最大值为一_一、222在平面直角坐标系xOy中，设直线y=x+2与圆x+y=r(r0)交于A,B两点.若圆上存在一点C,满足0C=|OA+4qb则r的值为.【答案】屮0【解析】OC=5t+24A-4。肝225215292，即r=r+rcos/AOBr，整理化简得32321cos/A0B=三，过点0作AB的垂线交AB于D,贝Ucos/AOB=2cos/A0D-1=，得cos/AOD-.又圆5551OD2心到直线的距离为OD=.=：2,所以cos/AOD

9、=2=，所以5rr已知圆M(x1)+(y1)=4，直线I:x+y6=0,A为直线使得/BAC=60,则点A横坐标的取值范围是.【答案】=10,r=10.l1上一点.若圆M上存在两点B,C,516816【解析】圆M:(x1)+(y1)=4上存在两点B,C,使得/BAC=60,说明点A(x,y)到M(1,1)的距离小于等于4,即(x1)2+(y1)216,而y=6x，得x26x+50,即卩Kx0)外一点，圆M上存在点T使得/MA=45,则实数a的取值范围是.【答案】Kav1【解析】点A(0,2)在圆M：x+y2ax2ay=0(a0)夕卜，得44a0,贝Uav1.圆M上存在点T使得/MATAML22

10、2L=45,yWr=；2a,g卩AMc2a,(a2)+a0)，解得,31a.综上，实数a的取值范围是、.；31cav1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆。，圆O2均与x轴相切且圆心O,Q与原点O共线，O,Q两点的横坐标之积为6，设圆0与圆Q相交于P,Q两点，直线I:2xy8=0,则点P与直线I上任意一点M之间的距离的最小值为.【答案】芈6弩，-.3l【解析】设圆Ol的方程为(X3+(yka)2=k2a2，圆0；的方程九(荔目*一牛)=-|g1.2!36ig彳导+2kyky+aa=07口卩2x+2ya一=0-设P羽),JJJJ:a)+(更一1:韵=疋,鼻吉也，也g即Xb+y5=2axa+2ayf

11、l又2x+2yta=0,可得2axc+2aycaa=6,故总+云=E,即点P的轨迹是以原点为園心,半径为诟的圆，则点P与直线1上任意一点M之间的距离的最小值为芈-已知直线I过点P(1,2)且与圆C:x2+y2=2相交于A,B两点，ABC的面积为1,则直线I的方程为.【答案】x1=0,3x4y+5=01【解析】由abc=22xsin/ACB=1,sin/ACB=1，/ACB=90，则点C(0,0)到直线I的距离为1,设直线I的方程为y2=k(x1)，利用距离公式可得k=4,此时直线I的方程为3x4y+5=0,当k不存在时，x1=0满足题意.22在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x+(y1)=5

12、,A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M若0A=0M则直线AB的斜率为.【答案】2【解析】设点B(xo,yo)，则M2号，圆x2+(y1)2=5与x轴负半轴的交点A(2,0),0A=0M=2，即+2=4.又x2+(y01)2=5,两式相减得y=2x0+4.而A(2,0)也满足y0=2x0+4,即直线AB的方程为y=2x+4,则直线AB的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+(y3)2=2，点A是x轴上的一个动点,APAQ分别切圆C于P、Q两点，则线段PQ长的取值范围为.【答案】导,解桁】AF艸I=2PA雪*C=x9,+),刚=2莅a_/工丘务十

13、8PA且PA是所有位置中最小，AB即满足题意，19.若斜率互为相反数且相交于点P(1,1)的两条直线被圆Ox+y2=4所截得的弦长之比为，则这两条2222218.在平面直角坐标系xOy中，圆C:(x+1)+(y6)=25，圆G:(x17)+(y30)=r.若圆C上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C依次交于点A、B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是.【答案】5,55【解析】在圆C上任取一点P,过点P可作一条射线与圆Ci依次交于点A、B,当AB过圆心时，此时PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下pA最小，当P,A,B三点共线时，如图1,2,PA为所有位置最小，PAGC

14、5rTOC o 1-5 h zAB=10yj(17+1)2+(306)25r厂10W25r1PArCG5Ab=10r(17+1)2+(306)25X2X1Xo1yo0X1+X22y1+y2，当X0=1时,y2y1=0kM=0,则PQ的斜率不存在，则xp=xq,不符合题意;1直线的斜率之积为.【答案】一9或一-【解析】谡一条直线Li的斜牽为k,异肓1二斜率去Ik.L:yl=k(x1)即丘一yH(丄一k)=0,圖亠ll-kl亠|l+k|ffca-|-iTOC o 1-5 h z心0(60)到11的距码山=jj同理可得圆心0(00)到1的距圏山=j则=罗.解得或*改商直线的斜率之积为k-(-t?)-

15、kJ=-S或一吉22在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)+(y1)=9,直线I:y=kx+3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，贝U实数k的取值范围为.73、【答案】一4,+m；【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，贝yC点到直线I的距离小于1,即d=k：21w1，解得kw=10W2rw55wrw55.Qk2+1422在平面直角坐标系xOy中，过点P(5,a)作圆x+y2ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M(X1,V2y1X1+X22V1),N(X2,y2),且一-+-一=0,则实数a的值为.【答案】3或一2X2X1y

16、1+y2222【解析】记圆心为Q,MN的中点为A(xo,yo)，圆Q的方程为(xa)+(y+1)=a+2,由MNLPQX011y001厶八、e、，1a当X。工1时，kMN=7kpQ=-=,则PQ的直线方程为y+1=(xa).因为(1,y0KpqX01a十5a十520)在PQ上，则有aa6=0a=2或3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(xa)2+(ya+2)2=1,点A(0,2)，若圆C上存在点M,满足mA+mO=10,则实数a的取值范围是.【答案】0,3【解析】设M(x,y)，由mA+mO=10,A(0,2)，得x2+(y1)2=4，而(xa)2+(ya+2)2=1，它们有公共点，则1w

17、a2+(a3)2w9，解得实数a的取值范围是0,3.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m-1=0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】(X1)2+y2=2【解析】mxy21=0直线过定点(2,1)，由图形知：圆过点(2,1)时，半径最大，此时半径为-J2,圆的标准方程为(x1)2+y2=2.在直角坐标系xOy中，已知A(1,0)、B(0,1)，则满足PA2P=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为【答案】2【解析】设Pgy),由Prf*Ptf=4知仗+疔+旳一曲+&讪=整理，得z+y-2=0.又圆心40)到直线x+y-2-0距离戶阜二/2,因此直线

18、与圆有两个交点，故符合条件的点P有2个.V2TOC o 1-5 h z在平面直角坐标系xOy中，过点P(5,3)作直线I与圆x2+y2=4相交于A、B两点.若OALOB则直线I的斜率为.【答案】1或7【解析】设直线方程y=k(x5)+3,由OALOB知圆心到直线的距离d=rsin=2x=2，从而242*寸1+k=,2，解得k=1或23.222在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C:x+y2mx4y+m28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为.【答案】3+23,3+27)U(327,323【解析】圆C的方程为(xm)2+(y2)2=32.圆心C(m,2)，半径r=32=42.12.,Saabc=26sin/ACBC16,故当sin/ACB=1即/ACB=90时，Sabc取得最大值.即当ACB为等腰直角三角时，面积取到最大值.故此时圆心到动直线的距离d=rx-2=4,从而dwPCXr，即16(m3)2+4v32，解得m3+23,3+27)U(327,323.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M过P作圆M的两条切线PAPB,切点分别为A、B,当P在圆C上运动时，使得/APB恒为60,则圆M的方程为【答案】(x1)2+