圆锥曲线小题全归类

1、圆锥曲线小题全归类圆锥曲线一、选择题（本大题共45小题，共225.0分）1. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 2. 设，分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，若，则椭圆E的离心率为A. B. C. D. 3. 已知中，A、B的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于A、B两

2、点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 7. 以椭圆C：上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若，则椭圆C的离心率为A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D. 9. 已知椭圆在左焦点为，有顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线的垂线，垂足为T，若直线为坐标原点的斜率为，则该椭圆的离心率的值为A. B. C.

3、 D. 10. 已知是椭圆C：上的一点，是C的两个焦点，若，则的取值范围是A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，O为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为A. B. C. D. 12. 已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆：上的动点，则的最大值为A. 8 B. 12 C. 16 D. 2013. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是A. B. C. D. 14. 在平面直角坐标系xoy中，已知的对边分别为a，b，顶点和，顶点B在椭圆上，则A. B. C. D. 15. 已知，是椭圆的两个焦点，过原点的直线l交E于A，B两

4、点，且，则E的离心率为A. B. C. D. 16. 椭圆两焦点为，P在椭圆上，若，的面积为9，则该椭圆的标准方程为A. B. C. D. 17. 椭圆的左、右焦点分别为、，P是椭圆上任一点，则的取值范围是A. B. C. D. 18. 设椭圆E：的一个焦点为，点为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D. 19. 已知，是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为A. B. 4 C. D. 20. 点P是双曲线上一点，、是双曲线的左、右焦点，则双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.

5、 21. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积为，则双曲线的离心率是A. B. C. D. 22. 已知点F为双曲线C：的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 23. 已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为A. 2 B. C. D. 24. 已知F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 25. 已知双

6、曲线C：的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于A. B. C. D. 26. 已知，分别为双曲线的左右焦点，以为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线，则双曲线离心率为A. B. C. D. 27. 已知双曲线C：的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的上端点为B，线段AB与渐近线交于点M，若FM平分，则该双曲线的离心率A. B. C. D. 28. 在平面直角坐标系xOy中，设，分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是的中点，且，则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 29. 双曲线的右焦点为F，点P在双曲线的左支上，且PF与圆相切

7、于点M，若M恰为线段PF的中点，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 30. 若点P为抛物线C：上的动点，F为C的焦点，则的最小值为A. 1 B. C. D. 31. 过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点在B的上方，且l与准线交于点C，若，则A. B. C. 3 D. 232. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则的值为A. B. C. 1 D. 233. 已知抛物线C：，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点点A在第一象限，且交抛物线C的准线于点若，则直线l的斜率为A. 3 B. C. D. 134. 已知点P在以原点为

8、顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若，的面积为，则焦点F到准线l的距离为A. 1 B. C. D. 335. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则与的面积之比为A. B. C. D. 36. 已知过抛物线C：的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是A. B. C. D. 37. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为A. B. C. 4 D. 538. 已知点在抛物线

9、上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则的平分线所在的直线方程为A. B. C. D. 39. 已知抛物线C：，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为A. B. C. D. 40. A、B是抛物线上关于直线对称的两点，则A. B. C. 8 D. 1041. 已知点A是抛物线C：的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若的面积为4，则p的值为A. B. 1 C. D. 242. 已知抛物线关于y轴对称，它的顶点是坐标原点O，并且经过点若点M到该抛物线焦点的距离为，则A. B. C. 4 D. 43.

10、已知抛物线C：焦点为F，过F作直线l交抛物线l于A、B两点，若，则A. 1 B. C. 2 D. 44. 已知F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C相交于A，B两点，如，则A. B. C. D. 45. F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若，则A. B. 4 C. D. 3答案和解析【答案】1. A 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C8. B 9. C 10. A 11. C 12. B 13. D 14. A15. D 16. A 17. D 18. C 19. A 20. C 21. D22. D 23. A 24. C 25. A 26. A

11、27. A 28. B29. B 30. D 31. A 32. C 33. B 34. D 35. C36. D 37. B 38. D 39. C 40. B 41. D 42. A43. A 44. D 45. A 【解析】1. 解：过的直线l交椭圆于A，B两点，则当AB垂直x轴时最小，值最大，此时，则，解得，则椭圆的离心率，故选A由题意可知椭圆的焦点在x轴上，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于5，列式求b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径

12、公式，考查计算能力，属于中档题2. 解：设，则，在中，由余弦定理得，化简可得，而，故，是等腰直角三角形，椭圆的离心率，故选：D设，则，由，利用余弦定理，可得，从而是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 解：，三角形的周长为10，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，故椭圆的方程为，故选：B根据三角形的周长及，可得，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题4. 解：依题

13、意，作图如下，直线AB的方程为：，整理得：，设直线AB上的点则，令，则，由得：，于是，整理得：，又，又椭圆的离心率，椭圆的离心率为故选A由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题5. 解：如图，设，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，由椭圆的定义可得的周长为4a，即有，即，则，在直角三角形中，即，则，故选：D设，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答

14、案本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题6. 解：依题意，作图如下：由，可得直线AB的方程为：，整理得：，设直线AB上的点，则，由，令，则，由得：，于是，整理得：，又，又椭圆的离心率，可得，故选：D由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题7. 解：如图连接OA，OB，OM，则，又因为，椭圆C的离心率，故选：C连接OA

15、，OB，OM，则，由，得，即，即可得椭圆C的离心率e本题考查了椭圆的离心率，转化思想是解题的关键，属于中档题8. 解：，是椭圆的左右两个焦点，离心率，设点，由，得，化简得，联立方程组，整理，得，解得，又，故选：B解设点，由，得，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线垂直等知识点的灵活运用9. 解：椭圆，A、B和点坐标为：、，直线的方程是，OT的方程为，联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为，由得，解得故答案选：C由直线方程和直线OT方程联立求得T点坐标，求得直线AT的斜率，得：直线的斜率的乘积为，即可解得e

16、的值本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用方程的思想，考查运算能力，属于中档题10. 解：如图，设以O为原点、半焦距为半径的圆与椭圆交于A，B两点；由得，要使，则点P在A、B之间，的取值范围是故选：A设以O为原点、半焦距为半径的圆与椭圆交于A，B两点；由，可得的取值范围是本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题11. 解：由椭圆的定义可得，又，可得，即P为椭圆的短轴的端点，且，即有，即为，故选：C由椭圆的定义可得，又，可得，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得，计算即可得到椭圆的离心率本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及a，b，c的关系，

17、考查运算能力，属于基础题12. 解：依题意，椭圆的焦点为，分别是两圆和的圆心，所以，故选：B由题设知椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，运用椭圆的定义，由此能求出的最大值为本题考查椭圆的定义、方程和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和圆的性质的合理运用，属于中档题13. 解：根据题意，以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则有，即，则，则椭圆的离心率；故选：D根据题意，由椭圆的几何性质分析可得，进而计算可得，进而由椭圆的离心率公式计算可得答案本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆的图形的特点14. 解：的顶点，顶点B在椭圆椭圆上椭圆的焦距为，椭圆的长轴长为：10，即，由正弦定

18、理可知：，故选：A利用椭圆的性质以及正弦定理求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力15. 解：，是椭圆的两个焦点，过原点的直线l交E于A，B两点，可知三角形是直角三角形，并且，由椭圆的对称性可知：，且，可得：设，所以，可得：，可得故选：D利用已知条件推出三角形是直角三角形，利用椭圆的定义求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力16. 解：根据题意，椭圆两焦点为，则有，即，又由，则，即的为直角三角形，又由的面积为9，则有，即；又由，即；则，即，则，又由，则；故椭圆的标准方程为：；故选：A根据题意，分析可得，以及，即的为直角三角形，又由的面积为9，分析

19、可得，结合勾股定理分析可得，变形可得，即，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，计算可得答案本题考查椭圆的几何性质，关键是求出的值17. 解：因为椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任一点，所以，所以因为，所以的取值范围是：故选D根据椭圆方程设出P的坐标，求出、，坐标，然后表示出利用三角函数的有界性求出数量积的范围本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，向量的数量积的应用，三角函数的值域，考查计算能力18. 解：记椭圆的左焦点为，则，即；，即，故选：C通过记椭圆的左焦点为，则，利用可知；利用可知，进而可得结论本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，

20、属于中档题19. 解：因为为等边三角形，不妨设，A为双曲线上一点，B为双曲线上一点，则，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则故选：A由双曲线的定义，可得，再在中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题20. 解：根据题意，点P是双曲线上一点，则有，设，则有，又由，解可得：，又由，则有，则，又由，则双曲线的离心率；故选：C根据题意，由双曲线的定义可得，设，则有，与联立分析可得、的值，由勾股定理可得，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案本题考查双曲线的几何性质，涉及勾股定理的应用，注意利用双

21、曲线的定义求出、的关系21. 解：焦点，一条渐近线，则点F到此条渐近线的距离，即，在中，即，化为，此双曲线的离心率故选D利用已知条件和点到直线的距离公式可得点F到此条渐近线的距离为，结合渐近线的倾斜角利用解直角三角形求出的面积，从而建立等式，经过化简可得a、b的关系式，再利用离心率的计算公式即可得出熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键22. 解：设双曲线C：的右焦点，双曲线的渐近线方程为，由代入渐近线方程可得，则，可得AF的中点为，代入双曲线的方程可得，可得，由，可得，解得舍去，故选：D设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A的坐标，运用中点坐

22、标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题23. 解：由直径所对的圆周角为直角，可得，在中，可得，由AF为焦点到渐近线的距离，即为，即有，故选A由直径所对的圆周角为直角，可得，运用锐角三角函数的定义可得，再由焦点到渐近线的距离为b，结合离心率公式，即可得到所求值本题考查双曲线的离心率，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题24. 解：设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化

23、简可得，即有，解得故选：C设，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题25. 解：双曲线的焦点在x轴上，可得渐近线方程为，圆的圆心为，半径为1，由题意可得，化简可得，即：，则双曲线C的离心率：，故选：A双曲线的焦点在x轴上，求得渐近线方程，圆的圆心和半径，运用相切的条件：，由点到直线的距离公式化简可得离心率本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用分类讨论思想方法

24、，结合直线和圆相切的条件：，考查化简整理的运算能力，属于中档题26. 解：如图所示：为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，点N恰好平分线，设，则，在中，整理解得，在中，即，故选：A根据，以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于a，c的方程进行求解即可本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系建立方程组，求出a，c的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大27. 解：双曲线C：的渐近线方程为，由，可得直线AB的方程为，联立渐近线方程，解得，即有M为AB的中点，由FM平分，可得三角形ABF为等腰三角形，即有，即，又，可得，由，可得，解得故

25、选：A求出双曲线的渐近线方程，求得AB的方程，解得M的坐标，即为中点，运用等腰三角形的性质，可得，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，等腰三角形的性质，以及方程的思想，考查运算能力，属于中档题28. 解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，由，则，是的中点，且由为直角三角形，则1即有故选：B运用双曲线的定义和为直角三角形，则，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题29. 解：令左焦点为，由题意，为直角三角形，在直角中，故选：B设双曲线的左焦点为，

26、由题意，为直角三角形，利用勾股定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题30. 解：由，得，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，的最小值为故选：D由抛物线方程求得焦点坐标，再由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小得答案本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题31. 【分析】根据题意，设，作AM、BN垂直准线于点M、N，由分析可得，又由平行线的性质分析可得，即可得，变形可得，即可得答案本题考查抛物线的几何性质，注意利用平行线的性质得到【解答】解：根据题意，设，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有，若，

27、则有，即，又由，则有，即有，变形可得，即，故选A32. 解：抛物线C：的焦点为，过点F作斜率为1的直线l：，可得，消去y可得：，可得，则故选：C求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可本题考查直线与抛物线的简单性质位置关系，以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力33. 解：分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，由，则B为AE的中点，丨AB丨丨BE丨，则丨AD丨丨BC丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨丨AD丨，丨BF丨丨BC丨，丨AB丨丨BC丨，丨BE丨丨BC丨，则丨EC丨丨BC丨，直线l的斜率，故选：B由题意可知丨AB丨丨BE丨，利用中位线

28、定理及抛物线的定义，即可求得丨BE丨丨BC丨，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系，即可求得直线l的斜率本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查三角形的中位线定理的应用，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题34. 解：不妨以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例，如图，由题意，是等腰三角形，设，则，解得：，焦点F到准线l的距离为，故选：D由题意作出图形，设边长，由三角形面积列式求出a，则焦点F到准线l的距离可求题考查了抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题35. 解：设过P点的直线方程为：，代入可得，令可得，解得，PB的方程分别为，分别令可得，即，解方

29、程可得，直线AB方程为，原点O到直线AB的距离，与的面积之比为故选：C求出切线方程，得出A，B两点坐标，计算E，F坐标，再计算三角形面积得出结论本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题36. 解：抛物线C：的焦点，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，消去y，整理得：，设，则，则，则直线OS的方程为，解得：，由，则，故选：D设直线PQ的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得R点坐标，求得OR的方程，代入抛物线方程，即可求得S点坐标，由则，即可求得答案本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题37. 解：是抛物线的焦点准线方程，设解得，线段AB的中点横坐标为线段AB的中点到该抛物线准线的距离为故选B根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距