2022年《经济数学基础》教案

1、 教学目标 1. 懂得矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念；2. 把握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算；3. 娴熟把握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法；4. 知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵；5. 把握用消元法求解线性方程组；6. 懂得线性方程组有解判定定理；明白线性方程组的特解、一般解等概念, 娴熟把握求线性方程组一般解的方法,会求线性方程组的特解； 重难点 矩阵运算,初等行变换,线性方程组解的争论与解法； 教学内容 矩阵 一、主要内容：（一）、概念矩阵定义：A mna ijmn是一张矩形阵表； （它 m行 n 列,其中ija 中 i 表示第 i

2、 行,j表示第 j 列）、零矩阵：o mnn0 mnmn、负矩阵：A ma ijb1、行矩阵和列矩阵：a 1,an,b m、方阵：A nna ijnn特别矩阵 、单位矩阵： I 、数量矩阵：、对角矩阵：、三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵）、对称矩阵：A T A阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数；逆矩阵定义：A1AAA1I,A ,1A为互逆矩阵；（二）、法就矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等；矩阵的加减法：ABa ijb ijmnA, B 满意 ABBA ,就称 A, B矩阵的数乘：kAka ijmnBA 一般不成立（如矩阵矩阵的乘法：CABAB矩阵乘法不满

3、意交换律,即为可交换的） 矩阵乘法不满意消去律,即由矩阵 ACaijBC 及矩阵 C0 ,不能推出 AB 但当C可逆时, AC矩阵 A 0 , B0BC A B,可能有 AB0 mn的转置；方阵的幂：AmAAA（m个相乘）矩阵的转置：T A aijnm称为A mn（三）、方法矩阵的初等行变换初等行变换化矩阵为阶梯形初等行变换求矩阵的秩初等行变换求逆矩阵二、实例分析：例 1 如 A,B是两个 阶方阵,就以下说法正确是（） A如 AB0,就 A0 或 B0 B A + B 2A 22 A B B 2 C如秩 A 0 , 秩 B 0 , 就秩 AB 0 D如秩 A n , 秩 B n , 就秩 AB

4、 n解 选项 A：A0 或 B0 只是 AB0 的充分条件,而不是必要条件,故 A错误；选项 B： A + B 2A 2A B B A B 2,矩阵乘法一般不满意交换律,即A B B A,故 B 错误；选项 C：由秩 A ,0 秩 B 0 , 说明 A,B 两个矩阵都不是 0 矩阵,但它们的乘0 1 1 1 0 0积有可能 0 矩阵,如 A , B,就 AB故秩 AB 0 不肯定成0 1 0 0 0 0立,即 C错误；例 2 解选项 D：两个满秩矩阵的乘积仍是满秩的,故D正确21设矩阵A120,B10,就 AB例 3 0121由于AB12010= 4 1 01所以,应当填写：4 1 13210

5、矩阵01100的秩是 0010001000 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解由于013210132101321011000110001100001000010000100010000010000000对应的阶梯形矩阵有3 个非 0 行,故该矩阵的秩为3正确选项是： C 例 4 设矩阵3 6 0 2 6A= 0 1 2,B 9 13 1 9 0 8就矩阵 A 与 B 的乘积 AB的第 3 行第 1 列的元素的值是解 依据乘法法就可知,矩阵 A 与 B的乘积 AB的第 3 行第 1 列的元素的值是 A 的第3 行元素与 B 的第 1 列元素的乘积之和,即 3 2（ 1） 9 9 0 -3

6、 应当填写： -3 例 5 设 A 是 m n 矩阵 , B是 s n 矩阵 , 就运算有意义的是 T它们 AABT B AB CATB DAT B解依据乘法法就可知,两矩阵相乘, 只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时,的乘积才有意义,故矩阵ABT有意义正确选项是 A例 6 设方程 XAB=X,假如 AI 可逆,就 X= 解 由 XAB = X,得 XAX = B,X AI = B故 X = B AI 1 1所以,应当填写：B AI 留意：矩阵乘法中要区分“ 左乘” 与“ 右乘”,如答案写成 AI 1 B,它是错误的1 3 21例 7 设矩阵 A 3 0 1,求矩阵 A1 1 11 3 2 1

7、 0 01解 由于 A I 3 0 1 0 1 01 1 1 0 0 11 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 00 9 7 3 1 0 0 1 1 1 1 20 4 3 1 0 1 0 4 3 1 0 11 0 1 2 3 6 1 0 0 1 1 30 1 1 1 1 2 0 1 0 2 3 70 0 1 3 4 9 0 0 1 3 4 91 1 3所以 A 2 3 73 4 9a 1 b 1 6 7例 8 已知矩阵 2,求常数 a,b a 0 0 b 6 3解 由于2a 1 b 1 ab a b 6 72a 0 0 b ab a 6 3所以 a ,3 ab 6,得 b = 2 1 2

8、3 0例 9设矩阵 A,B满意矩阵方程 AX B,其中 A,B , 求 X 1 0 0 2解法一：先求矩阵 A 的逆矩阵由于AI121000B121011002111210010211012所以A1B0133032001212且XA101121232102解法二：由于A21B100202132所以X02102320113211例 10 设矩阵01A31451004试运算 A-1B解10110000001由于AI3140101000011011001例 11 1 041101131000011010011 01001所以A141110100114且A1B41151310145设 A,B 均为 n

9、 阶对称矩阵,就ABBA也是对称矩阵证由于A,B 是对称矩阵,即且ATA,BTBAA2ABBA TAB TBA TBTATATBTBAABABBA依据对称矩阵的性质可知,ABBA是对称矩阵例 12 设 A是 n 阶矩阵,如3 A = 0 ,就IA 1I证由于IA IAA2 =IAA2AA2A 3 =IA 3= I所以IA 1IAA2线性方程组 一、主要内容： 一 、概念线性方程组的矩阵表示：AX = b齐次方程组Ax0b b0 非齐次方程组Ax其中： A为系数矩阵,Ab= A 为增广矩阵阶梯形方程组：简化阶梯形矩阵： （可用于直接读出方程组的解） 二 、方法 线性方程组 AX = b 的解的情

10、形归纳如下：AX = b 有唯独解的充分必要条件是秩 A = 秩 A = n ；AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩 A = 秩 A n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩 A 秩 A 齐次线性方程组 AX = 0 的解的情形为：AX = 0 只有零解的充分必要条件是 秩 A = n ；AX = 0 有非零解的充分必要条件是 秩 A n 矩阵消元法求线性方程组的一般解步骤：写出AAA,b初等行变换化阶梯形判定是否有解-如有解化简化阶梯形100写出对应的方程组用自由未知量表独立未知量101 *此解称为线性方程组的一般解；二、实例分析：例 1 线性方程组2x1x22的系数矩阵是 D2 阶

11、x2x30 A 2 3 矩阵B3 2 矩阵C3 阶矩阵矩阵解 此线性方程组有两个方程,有三个未知量,故它的系数矩阵是 2 3 矩阵正确的选项是 A例 2 线性方程组 AX = B 有唯独解,那么 AX = 0 A 可能有解 B有无穷多解 C无解 D有唯独解解 线性方程组 AX = B 有唯独解,说明秩 A n , 故 AX = 0 只有唯独解（零解） 正确的选项是 D1 2例 3 如线性方程组的增广矩阵为 A,就当（）时线性方程2 1 4组有无穷多解 A1 B4 C2 D1 22,即解将增广矩阵化为阶梯形矩阵,A11211222400此线性方程组未知量的个数是2,如它有无穷多解,就其增广矩阵的

12、秩应小于120,从而1 2正确的选项是D例 4 如非齐次线性方程组Am nX = B有唯独解 , 那么有 A秩 A,B nB秩 A r C 秩 A 秩 A,B D秩 A 秩 A,B n解依据非齐次线性方程组解的判肯定理可知选项D是正确例 5 求解线性方程组01113210 x13x22x3x4解x12x2x 32x4x12x23x32x 41将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即13210A1212101131123210113113210008301131010310020000100由于 ,秩 A = 秩 A = 3 ,所以,方程组有解一般解为例 6 x138x4 x4是自由未知量 x213x4x30 x31设线性方程