随机信号与系统随机信号与系统特征函数课件

1、第一章 概率论基础1.1 概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望1.5 特征函数1.6 典型分布1.7 随机变量的仿真与实验11.5 特征函数 (Characteristic Function)特征函数、矩发生函数和概率发生函数在分析随机变量和向量的各种问题中有着非常重要的意义，特别是在分析独立随机变量、向量和的概率与矩特性时，应用它们是十分方便的。在分析特征函数、矩发生函数和概率发生函数时，我们特别强调了变换分析技术。由此建立了傅立叶变换、Z变换等分析随机信号与系统的概率、矩特性的关系式，从而形成随机信号概率与矩特性的变换分析理

2、论与技术。2一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换 定义1.2 随机变量 ，其特征函数 定义为 式中，v为确定的实变量。1.5 特征函数31.5 特征函数若随机变量 的概率密度函数为 ，则其特征函数为:c.r.v.d.r.v. 4 定理1.4 随机变量X的概率密度函数与其特征函数之间是一对傅立叶变换， 或 式中， 表示傅立叶变换对。 5随机变量概率密度函数与特征函数关系傅立叶变 换将 换为 -v将x 换为-x 傅立叶反变换6举例例 : 随机变量 的特征函数为 ,求其概率密度函数 。解法1：7举例-续解法2：q p0 18例1.20求二项分布Binomial 的特征函数。解：首先令 ，其中 是独

3、立同分布的，服从01分布，且 所以： 其中q=1-p。故9例1.21例 : 随机变量X为参数是的指数分布Exponential， 求其特征函数。 解： 10举例例 : 若r.v. X1, X2互相独立,并且有X1 N(0,1), X2 N(0,1), 求随机变量Y= X1+X2的概率密度函数 f(x)。解：方法一：用二维变换法求解方法二：特征函数法11举例4.3续12特征函数的基本性质性质1: 独立随机变量和的特征函数若 是彼此独立的随机变量，其概率密度函数记为 ，特征函数记为 ，随机变量之和 的概率密度函数记为 ，特征函数记为 ，则有关系式而且 13特征函数的基本性质图4-214特征函数的基

4、本性质性质2: 随机信号经过线性变换随机变量X 经常需要线性变换得到随机变量Y，即15特征函数的基本性质假定变换前随机变量X 的特征函数为 , 概率密度函数为 ；变换后Y 的特征函数 ，概率密度函数 。 则有： 16举例例 随机信号X是均匀分布的，其概率密度函数 ，若要将此概率密度函数中心移至x=10，图形展开为原来的2倍，试求线性变换函数的特性及变换后的概率密度函数。17举例解： 显然，根据性质2， 有图形移动b10，a=2（伸缩因子）， 因此 变换后的概率密度函数为18特征函数的基本性质性质3 若随机变量X满足 ，则 证明：19举例随机变量X是拉普拉斯Laplacian的，其概率密度函数 求随机变量X的 和方差。 20举例解:21举例221.5 特征函数231.5 特征函数随机变量的特征函数和矩函数之间唯一确定。所以特征函数也称为矩生成函数。241.5 特征函数251.5 特征函数261.5 特征函数271.5 特征函数28解：29第一章 概率论基础1.1 概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望1.5 特征函数1.6 典型分布（自学）1.7 随机变量