沈阳工业大学《固体物理》(李新)第三章

1、第三章 晶格振动和晶体的热学性质 掌握一维晶格的振动、长波近似、声子，了解三维晶格振动、晶格振动热容理论。教学目的：本章重点内容 一维单原子/双原子链模型及其色散关系晶格振动的量子化-声子晶体的比热非简谐效应1 一维原子链的振动相对位移后，两个原子间相互作用势能：在平衡位置，势能最小为零。振动很微弱时，a恢复力常数:简谐近似1.1 运动方程1 一维原子链的振动 只考虑临近原子相互作用，第n个原子所受的总作用力：第n个原子的运动方程:xnxn-1xn+1设 的试解具有波动形式：为波矢， 格波频率1.1 运动方程1.2 格波频率-波矢关系代入运动方程：1 一维原子链的振动1.2 格波频率-波矢关系

2、依据：一维晶格色散关系振动频谱一维单原子晶格振动谱色散关系 格波色散关系是周期函数因此，q可限制在简约布里渊区1 一维原子链的振动1.3周期性边界条件-玻恩-卡门边界条件q限制在简约布里渊区l 为整数 l只能取N个不同值，q也只能取N个不同值，N是原胞数。 晶格振动波矢数 晶格原胞数 N1 一维原子链的振动1.4 格波格波： 晶格中存在着角频率为 的平面波。格波的波矢：格波的传播方向：波速：格波 当q-0时，此时，格波的振动可以看作弹性波。当q = 时，格波的群速：驻波长波近似2n2n-12n+22n+12aMm2.一维双原子链试探解：2.1 格波频谱分支运动方程2.一维双原子链A,B有非零解

3、光学波声学波折合质量声频支格波2.一维双原子链2.2 两支格波的特征声频波依据：相邻原子振动方向相同，波长相当长时，代表原胞质心的振动。光频波依据：相邻原子振动方向相反。当q很小时：光频支格波2.一维双原子链原胞质心不动，原胞中2原子相对运动。2.2 两支格波的特征2.3周期性边界条件第一布里渊区内波数 q 的总数就是晶体链原胞的数目N。每个 q 值对应着两个频率，所以2.一维双原子链q限制在简约布里渊区=整数， N为晶体链的原胞数。以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定。3. 三维晶格N个原胞每个原胞有n个原子的三维晶体晶格振动的波矢数 晶体的原胞数 N晶格振动的模式数 晶体的自由度数 3

4、nN晶体中格波的支数 原胞内的自由度数：3n其中 3 支为声学支（1支纵波、2支横波） 3n3支为光学支（也有纵波、横波之分）金刚石晶格振动沿110方向传播的格波频率与波矢关系4.晶格振动的量子化4.1格波的量子理论（单原子为例）第n个原子在t时刻位移：系统的总能量： 式中有（xn+1xn）交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来困难，用坐标变换的方法消去交叉项。参见方俊鑫-固体物理学。谐振子能量：三维晶格振动的总能量：代表零振动能量。格波的角频率声子的能量4.晶格振动的量子化4.2声子-晶格振动的能量量子。 声子只反映晶体原子集体运动状态的激发单元，不能脱离固体而单独存在，不是一种真实的粒

5、子，声子是一种准粒子。声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以 湮灭。 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为单元交换能量，若电子交给晶格 的能量，称为发射一个声子；若电子从晶格获得 的能量，则称为吸收一个声子。声子具有能量 ，也具有准动量 声子气体不受 Pauli 不相容原理的限制，粒子数目不守恒，属于波色子系统，服从玻耳兹曼统计。令： 系统处于热平衡状态时，频率为i 的格波的平均声子数：频率为i的声子平均声子数4.晶格振动的量子化平均声子数5 确定晶格振动谱(q)的实验方法-格波的色散关系。重要的实验方法：（1）中子的非弹性散射（3）光的散射（2）X射线衍射中子的非弹性散射实验原理中子

6、与晶格的相互作用中子与晶体中声子的相互作用中子吸收或发射声子非弹性散射吸收一声子发射一声子能量守恒动量守恒6 晶体的比热6.1杜隆珀替定律 经典模型及能量均分定理 晶体的定容比热： 表明定容比热与温度无关。在高温时，这条定律和实验符合得很好，但在低温时，实验表明绝缘体的比热随温度T三次方衰减，导体比热按T趋近于零 。 焦尔/（开摩尔）6.2比热的量子理论 频率为的谐振子，其能量：晶体有N个原子，能量：6.2比热的量子理论 表示角频率在到+d之间的格波数 频率函数用积分表示：晶体有N个原子，能量：晶体的定容比热： 关键：求角频率分布函数。 爱因斯坦模型假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动。爱

7、因斯坦模型称为爱因斯坦比热函数。爱因斯坦温度： 选合适的爱因斯坦温度，理论曲线和实验曲线较好符合。高温时：与杜隆珀替定律 一致温度非常低时：爱因斯坦模型比热指数地趋于零，相当好地符合实验数据；定量上，与实验的T3趋于零不符合。 金刚石热容量的实验数据Einstein模型波矢的取值密度0波矢的取值密度倒格子原胞体积正格子原胞体积晶体体积德拜模型假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看成连续介质的弹性波。并假定横波和纵波的传播速度相同。qq+dq对于每支振动，波矢数值在q到q+dq的振动方式数目：角频率在到+d之间的格波数： 计及三种弹性波，得出在到+d之间的格波数： 依据德拜模型令：式中：

8、德拜温度德拜模型德拜比热函数当与经典理论一致当在极低温下，比热和温度的立方成正比，叫德拜定律 几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较德拜模型7非简谐效应原子运动方程不是线性微分方程；原子状态的通解不再是特解的线性叠加；交叉项不能消除；格波间有互作用；声子相互作用（碰撞、产生、湮灭）。-服从能量和动量守恒7.1声子的碰撞Normal process 正常过程（N过程）Umklapp process 倒逆过程（U过程）7.1声子的碰撞 N过程只改变动量的分布，而不改变热流的方向，不影响声子的平均自由程，这种过程不产生热阻。 在U过程中，声子的准动量发生了很大变化，从而破坏了热流的方向，限制了声子的

9、平均自由程，所以U过程会产生热阻。7.2热传导对绝缘体，晶体中的热导主要由声子来完成。 热端冷端（K为热导率）热能流密度距离相差l的两区域： 7.2热传导为声子两次碰撞间的相隔时间。 是对所有声子的平均值，由能量均分定理可知 决定热导率K的三要素：单位体积热容、声子平均速率、 平均自由程声子散射机制：（1）声子之间的碰撞（高温时特别重要）高温时平均声子数：碰撞几率与声子数成正比，平均自由程与温度成反比。7.2热传导（2）声子和晶体中的缺陷碰撞杂质和缺陷也散射声子，部分破坏理想的周期性，散射越强，l 越短。（3）声子和样品外部边界发生碰撞。 低温下，1、2变得无效。3起作用，激发声子波长可与样品

10、大小比拟，与温度无关。低温：热导率由比热决定高温：热导率决定于l高纯度NaF晶体热导率曲线ttt1t27.3热膨胀线膨胀系数：=(1/L)(L/ t)体积膨胀系数：=(1/V)*(V/ t)取 ,省略高次项：按波尔兹曼统计：简谐近似时，没有热膨胀现象。7.3热膨胀计入非对称项同理线膨胀系数与温度无关。若计入更高次项，线膨胀系数与温度有关。由统计物理可知，F2=kBTlnZF = F1+F2 F1=U(V)只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格振动）无关， U(V)实际上是T=0时晶体的内能。 F2与晶格振动有关，即与温度有关。Z：晶格振动的配分函数 7.4晶格自由能对于频率为j的格波，其配分函数为晶格自由能为：系统的总配分函数：7.4晶格自由能7.4晶格自由能其中晶格状态方程：格林爱森常数.与晶格振动的非简谐性有关。7.4晶格自由能对于大多数固体，温度变化时，其体积变化不大。只保留V的一次项，有：当P=0时,体积为V0时的体积弹性模量. 格林爱森定律 对许多固体材料的测量结果证实了格林爱森定律， 的值一般在13之间。7.4晶格自由能与晶格振动的非简谐性有关。1）设线性原子链上最近邻原子间恢复力常数交替等于和2，且令原子质量均为m，最近邻原子间距为a, 试求晶格色散关系及频带宽。2）