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文档简介

1、二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列 为单调增加数列.常数项级数的审敛法证明即部分和数列有界3.比较审敛法常数项级数的审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数. 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法解由图可知常数项级数的审敛法重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.常数项级数的审敛法证明常数项级数的审敛法4.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1) 当时

2、,二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛,则收敛; (3) 当时, 若=1nnv发散,则=1nnu发散;常数项级数的审敛法证明由比较审敛法的推论, 得证.常数项级数的审敛法解根据比较审敛法的极限形式知原级数发散.常数项级数的审敛法故原级数收敛.常数项级数的审敛法证明常数项级数的审敛法收敛发散常数项级数的审敛法比值审敛法的优点:不必找参考级数. 两点注意:常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法解常数项级数的审敛法比值审敛法失效, 改用比较审敛法常数项级数的审敛法例. 讨论级数的敛散性 .解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;常数项级数的审敛法级数收敛.解级数收敛.常数项级数的审敛法常

3、数项级数的审敛法解根据极限审敛法知根据极限审敛法知 收敛. 常数项级数的审敛法二、交错级数及其审敛法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.常数项级数的审敛法证明常数项级数的审敛法满足收敛的两个条件,定理证毕.常数项级数的审敛法解:常数项级数的审敛法(2)原级数收敛.常数项级数的审敛法三、绝对收敛与条件收敛定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.常数项级数的审敛法上定理的作用：任意项级数正项级数证明常数项级数的审敛法例9. 证明下列级数绝对收敛 :证: (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .常数项级数的审敛法(2) 令因此收敛,绝对收敛.常数项级数的审敛法解故知原级数发散.例10.判定

4、级数的收敛性 :常数项级数的审敛法其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.常数项级数的审敛法四、小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;常数项级数的审敛法思考题常数项级数的审敛法思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.常数项级数的审敛法练 习 题常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法练习题答案常数项级数的审

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