量子力学基础

1、 第二章 量子力学基础 早期量子理论虽然能解释黑体辐射、光电效应、康普顿效应、氢原子光谱等实验事实，但理论发展却遇到了困难（仅限于解释那几个事实）。如果没有新的理论，要对微观世界做深入研究已不太可能。玻尔理论只能解释氢原子光谱，其它光谱不能解释。原因是，早期量子理论没能完全摆脱经典物理框架，没有一套完整的理论体系和方法。 直到1924年，法国徳布罗意提出实物粒子具有波动性，新的微观理论量子力学有了开端。1928年，奥地利的薛定谔、德国海森伯在实物粒子波动性基础上建立了量子力学理论体系，以后又得到迅速发展。量子力学是建立在物质波基础上的描述微观粒子运动的理论。量子力学的建立使人们对物质世界的认识

2、带来了革命性的变化。爱因斯坦（德） 1879-1955 波尔（丹麦） 1885-19621922年获诺贝尔物理学奖1921年获诺贝尔物理学奖 普朗克（德） 1858-19471918年获诺贝尔物理学奖19001926年是量子力学的酝酿时期，此时的量子力学是半经典半量子的学说，称为旧量子论。 L.V.德布罗意 电子波动性的理论研究1929诺贝尔物理学奖 整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？ 德布罗意L.V.de Broglie1892 19871926年，海森

3、堡和薛定谔从不同出发点建立了量子力学。1928年，狄拉克统一相对论和量子论的成就。 海森堡（德） 1901-19761932年获诺贝尔物理学奖 薛定谔（奥地利） 188719611933年获诺贝尔物理学奖 狄拉克（英） 190219841933年获诺贝尔物理学奖 2-1 实物粒子的波动性一、徳布罗意假设 徳布罗意在爱因斯坦波粒二象性的启发下，认为自然界在许多方面有对称性，宇宙是由实物粒子和光构成，实物粒子也应具有波粒二象性。以往，只注意光的波动性，而没有注意其粒子性，以至于黑体辐射、光电效应等不能解释。相反，以往对实物粒子只强调它的粒子性，而忽视了其波动性，以至于除氢原子外的复杂原子光谱（氢原

4、子光谱的一些现象也不能完全解释）及一些更复杂的微观问题不能解释。 由此，徳布罗意首先提出了实物粒子的波动性。实物粒子 称徳布罗意假设 实物 注意：光 与实物粒子相联系的波叫做徳布罗意波或物质波 实物的粒子性都易接受，波动性如何表现，有实验验证吗？二、戴维逊-革末实验（电子衍射） 1927年，美国戴维逊和革末用实验证实，电子象x射线一样能产生晶体衍射。而且满足布拉格方程： 还有许多电子衍射实验证实电子波动性（电子单缝、双缝衍射等实验），另外，中子、质子、原子波动性也有实验验证。5102015250I电子双缝与多缝衍射1936年: 中子束衍射单晶的劳厄相多晶的德拜相 晶体电子衍射图汤姆生实验X射线

5、衍射单晶多晶单晶多晶单晶劳埃斑点多晶粉末德拜环三、物质波的统计解释 经典：机械波、电磁波与粒子是完全不同的概念。量子力学认为，实物粒子有波动性，粒子性与波动性属于同一客体。如何理解？ 量子力学用一种新的观点统计观点对同一客体既是波又是粒子给出了圆满解释。 首先，看光的波粒二象性理解。光的衍射强度分布已经用电磁波理论解释，也可以用光子概念和统计观点解释： 光子是一个个集中的粒子，有能量、动量、质量。光子通过狭缝落在屏上哪一点是随机的，大量光子落在屏上表现出规律性。所以，光波强度（ ）决定于光子到达屏上各点的几率，光强分布是光子堆积曲线或落点的几率分布曲线。光波是一种几率波。随机单个光子随机大量光

6、子有规律光子落点几率分布曲线 实物粒子波动性同样解释：物质波是一种几率波 物质波在某时刻、空间某点的强度（ ） 实物粒子在该点出现的几率。 单个粒子在空间出现的位置不确定，大量粒子呈现统计规律。统计观点将实物粒子的波动性和粒子性紧密相联。 电子通过单缝，随机分布。大量电子落在屏幕上呈现有规律的衍射强度分布。 电子单缝衍射实验 宏观物体如子弹，有波动性吗？ 宏观物体动量大，徳布罗意波长太小，无法观察波动性，粒子性为主。用经典理论（轨道）处理。四、测不准关系（不确定关系） 经典：宏观物体波动性不明显，遵守牛顿决定性规律，轨道描述物体运动位置，可以预知任一时刻物体的位置与动量。 微观粒子波动性明显。

7、按波的统计解释，粒子的位置和动量不确定（随机），轨道描述失效。以下用电子单缝衍射为例粗略说明这种不确定性。测不准关系 如图，电子单缝衍射。平行电子束通过狭缝，落在屏幕上，形成衍射条纹。 通过前： 通过缝宽 狭缝，动量不确定。只考虑中央明纹考虑次极大：更严格证明：有时用粗估还可证明：测不准关系的理解（1）不能同时准确地确定粒子位置与动量（普遍关系，不限于单缝衍射）即粒子状态不确定，偶然，几率性。若位置确定，动量则非常不确定，反之亦然。 某时刻t，位置、动量偶然，能量也是偶然的。（2）实质是粒子波动性（几率波）的深刻反映，“轨道”概念失效，牛顿决定性规律失效。 （3）关于普朗克常数 宏观： 视为0

8、， ，动量和位置可以同时确定，轨道概念可用。如激光制导、发射火箭精确。 微观： 不可忽略，考虑波动性，牛顿力学和轨道概念失效。如原子内电子没有确定轨道，位置和动量不确定，用“电子云”概念描述位置几率分布。 五、例题例题1： 证明玻尔电子轨道长度为电子徳布罗意波长整数倍。证明：例题2：计算下述徳布罗意波长（1）m=0.5kg , 子弹解：（1）（2）相当于x射线波长，显波动性（3）相当于x射线波长，显波动性例题3：用测不准关系估计（1）氢原子基态能量；（2）粒子束缚在 内的动能。解：（1）(2) 例题4：用测不准关系估计谐振子基态能量例题5： 氢原子基态电子速度约 ，电子位置不确定量按原子大小估

9、计即 ，估计电子速度不确定量的数量级。结果说明什么问题？解： 说明用经典轨道概念描述氢原子中电子的运动已经不适应，必须用量子物理处理。例题6：处理方法阴极射线电子经典处理考虑波动性（原子中电子）经典处理。如果原子中电子，要考虑波动性思考. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中确定粒子动量精确度最高的是哪一个？ 2-2 波函数 量子力学基本方程 在经典力学中， 描述粒子运动状态。基本方程是对于微观粒子，有波动性，牛顿定律、轨道概念失效，不可用 描述状态。微观粒子运动情况要用几率波描述。某时刻系统处于何状态，必须用统计性的波函数表征。求解波函数的基本方程就是量子力学基本方程。一、波函数 最简单

10、的是自由粒子波函数。由于自由粒子 不变， 所以，自由粒子波是单色平面波。仿经典波函数：一般波函数 粒子在空间某点出现的几率 波强度 可见， 即几率密度，表示粒子在t时刻、 处单位体积内出现的几率。 的物理意义波函数标准条件：单值粒子在某点几率唯一有限几率连续几率不随点跃变归一化条件：注意：本质上是由微观粒子波动性引入的物理量，它只给出粒子在空间各点的几率信息，不给出粒子何时出现在何地。经典波是实在的振动传播， 有意义；物质波是抽象的几率波， 本身无意义。二、薛定谔方程量子力学基本方程1、一般形式 牛顿力学基本方程 基于微观粒子波动性的理论体系量子力学，其基本方程如何？ 波函数是描述微观粒子状态

11、的基本物理量，求解波函数的基本方程薛定谔方程。 薛定谔方程一般形式： 为简便起见，令 上述方程，本质上是实验规律。实验证明，方程解出的结果正确。2、定态形式 一般 ，各点 随 变化。如果 与 无关，则称为定态什么情况下出现定态？ 可以证明，当 与 无关时，可得定态 代入方程一般形式得：两边同除以能量量纲定态 2-3 一维无限深势阱 以下用薛定谔方程处理一些简单的量子力学问题。最简单的是一维势阱。一、一维势阱 在许多情况下，如金属中自由电子，原子中电子、核内质子、中子等都有一个共同特点：粒子被限制在一个很小空间范围内运动，称粒子处于束缚态。 为了分析束缚态粒子的共同特征，提出一个理想模型势阱。进

12、一步简化：一维无限深势阱 可见，阱外粒子出现的几率为0，粒子被限制在阱内运动。如金属中自由电子。 原子中电子，就其运动被限制（束缚态）而言，与势阱粒子有共同之处，但实际情况与势阱差别大。 实际上，金属中自由电子也处于原子实（离子）的周期性势场中，只是与势阱比较接近而已。单个钠离子两个靠近的钠离子多个钠离子(一维)抽象成势阱再简化是无限深势阱 一维无限深势阱只是抽象出来的用以讨论束缚态共同特征（能量量子化）的一个简化了的理想模型而已。二、一维无限深势阱的薛定谔方程及其解显然是定态阱外 阱内 （典型的简谐振动微分方程） 现用边界条件确定常数A、B否则 只有 驻波解三、重要结论1、能量量子化 所以，

13、粒子能量只能取分立值（不连续），称为能量量子化。 所以，能量量子化是微观粒子处于束缚态时的一个共同特征（尽管 具体表达式不同）。是解薛定谔方程自然得出的结果，而且基态能量不为0（与经典物理结果有别）2、粒子在势阱中的几率分布几率密度极大值点： 可见，粒子在阱内出现的几率并非均匀，而是有起伏。与经典不同（在阱内粒子出现的几率各处相同）。 时，过渡到经典。或3、驻波解 无限深势阱中波函数可以视为自由粒子平面波来回反射叠加形成驻波。驻波段数=波腹数=几率极大位置数（同前） 2-4 氢原子量子力学处理 四个量子数 势阱模型用于原子核外电子运动，显然不行。因为核外电子在核的库仑场中运动，势能函数复杂。本

14、节仅讨论最简单的原子系统氢原子的量子力学处理。 前一章已经用玻尔理论求解了氢原子能级。现在用量子力学处理氢原子，不仅可以得到能级公式，而且可以得到玻尔理论得不到的其它结果。一、氢原子的量子力学处理求解定态薛定谔方程得三个关于 的常微分方程（过程略）：其中， 为常数。分别解出最后得到氢原子电子波函数的解为：具体形式复杂二、重要结论1、核外电子几率分布 电子云同玻尔理论结果与玻尔理论结果不同（1）与玻尔理论对照 玻尔轨道是电子出现的几率极大点的轨迹但对 ，极大点不在 处，且有多个极大点。 （2）“电子云” 核外电子无确定轨道，只有几率分布，“电子云”描述 电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学

15、不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出电子在核外各处出现的概率，其形象描述“电子云”每瞬间氢原子核外电子照片的叠加电子出现概率小处：雾点密度小电子出现概率大处：雾点密度大但不是电子象云一样散布在核外，而是几率分布 2、能量量子化 由薛定谔方程可以解得：经典物理说法： 代表电子运动轨道大小 3、角动量量子化 由薛定谔方程可以解得：经典物理说法： 代表电子椭圆运动轨道不同形状波尔理论 4、角动量空间取向量子化 角动量 的空间取向不连续， 在外磁场方向的投影： 经典物理说法： 代表同一电子椭圆运动轨道不同取向或角动量的不同取向。 共 个可能取向（某 ）例如： 3个取向 5个取向zzz0000

16、=0z空间取向量子化示意图塞曼效应实验证实了空间取向量子化 原子光谱在外磁场中，一条谱线分裂成 条。塞曼效应由空间取向量子化可以解释该效应：电子轨道运动磁矩所以一条谱线分裂成 条某 能级 个不同“轨道”总之：总状态数例如： 在塞曼效应中，仔细观察，光谱还有更精细的结构。 原因：电子自旋磁矩引起附加能量三、电子自旋 1921年，斯特恩、盖拉赫为了证实角动量空间取向量子化，设计了一个实验：银原子束非均匀磁场无磁场有磁场底片SNPPPS1S2 原子有磁矩（电子运动），在非均匀磁场中受力偏转，磁矩空间量子化，底片上沉积分立条纹。（如果没有空间量子化，各种取向连续，将沉积一片）。 实验结果：分立沉积，说

17、明存在空间量子化。但却只有上下两条沉积线（ 空间量子化，应 条）什么原因？ 为了解释上述实验结果，1925年，乌仑贝克提出了电子自旋的概念。 电子除轨道运动外，还有自旋运动（好比地球绕太阳轨道运动外，还有自转）。电子自旋有两个可能取向： 电子自旋角动量为自旋量子数 自旋角动量在 方向投影分量：自旋磁量子数 四、四个量子数 总而言之，描述核外电子运动状态由四个量子数决定： 1、主量子数 大体上决定原子系统的能量。 对氢原子，准确，2、角量子数 ，决定电子角动量对能量有小的影响（氢原子除外） 3、磁量子数 ，决定 空间取向（在 磁场中使能级分裂）4、自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的 空间取向。

18、例如：2个可能状态2个8个10个 2-5 原子壳层结构 氢原子只一个电子，其余元素原子核外有多个电子，电子之间有相互作用，影响电子运动状态，薛定谔方程复杂，求解困难。用近似方法可以证明，复杂原子核外电子状态仍然由四个量子数决定。 某 能级， 个可能状态，电子会处于同一状态吗？一、泡利不相容原理 原子壳层模型 1925年，泡利指出：原子中电子状态由 四个量子数决定，且在一个原子中不可能有两个或两个以上电子处于同一状态，即不可能具有完全相同的四个量子数 泡利不相容原理 （好比“一个萝卜一个孔”）如：可能的状态数 用壳层模型可以形象地说明核外电子状态：（1） 相同的电子组成一个主壳层，（2） 相同的

19、电子组成次壳层， 不同主壳层， 小，E小（能级低）；同一主壳层，一般 小，能量低（但有可能重叠）。 核外电子有许多可能的状态，这些电子状态如何，它们将占据什么状态？二、能量最小原理 原子处于正常状态时，电子优先占据最低能级。一般按 n 从小到大填充状态。（n小，E小）能量最小原理 但能量也与 有关，有时n较小的壳层尚未填满，n较大的壳层就有电子填充了。n=1n=2n=3n=1n=2n=3n=43d4s4916E同上2个同上6个三、原子的电子组态过渡金属元素 2-6 一维势垒 一维谐振子*一、一维势垒 隧道效应IIIIIIIIIIII入射波反射波透射波沿 负方向平面波沿 正方向平面波讨论：（1）

20、粒子有一定几率穿过势垒（尽管 ），与经典不同。（隧道效应）（2）透射系数（穿过势垒几率）O（3）隧道效应应用广泛扫描隧道显微镜STM (Scanning tunneling microscopy)原理： 电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流隧道电流I与样品和针尖间距离a的关系样品表面隧道电流扫描探针计算机放大器样品探针运动控制系统显示器扫描隧道显微镜示意图48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.二、一维谐振子粒子的势能函数薛定谔方程求解结果：讨论：（1）能量量子化且最小能量为 不为0 （零点能）。绝对零度T=0，振子能量也不为0.与经典能量连续、最小能量为0的结果不同。零点能（2）

21、与 普朗克假设不同：（3）量子数n很小时，量子效应明显；n很大时， 相对很小（微不足道），经典与量子力学一致。（4）用测不准关系估计谐振子基态能量 2-7 力学量的算符表示* 在量子力学和理论物理研究中，算符占有重要地位，有时能给运算或数学表达带来方便。 什么是算符？算符就是一种运算符号。例如 等。对量子力学中的力学量，常用 加 在字母上表示。如 动量算符， 动能算符，等。 一、力学量算符表示 1、算符本征值和本征函数 如果某算符作用在一个函数 上，其结果=常数 该函数即则称 为算符 的本征值， 为 的本征函数。如：对薛定谔方程，可以写作： 通常， 含有导数，故表征方程为微分方程。求解微分方程需要边界条件。当满足一定边界条件时， 只能取一些特定值（ ） 对某特定值 ，有对应的 。称 是属于 的本征函数。例如： 2、对应原理 现介绍量子力学中力学量算符表示 动量算符 以一维自由粒子波函数为例引进动量算符：（时间因子部分略去）显然， 是算符 的本征值，本征函数为同理：故动量算符： 坐标算符即坐标本身 任何力学量算符其它力学量均为 的函数其对应的算符为：力学量与算符