小学奥数几何五大模型(燕尾模型)

1、age of18燕尾定理貝tw归例题精讲燕尾定理：在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么，S:S=BD:DCABOACOA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S:S=S:S=BD:DC1423S2ES3S1S4D【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S:S=BD:DC

2、；TOC o 1-5 h z亠14三角形ABE与三角形EBD同高，s:S=ED:EA；_亠12三角形ACE与三角形CED同高，s:S=ED:EA，所以S:S=S:S；431423综上可得，S:S=S:S=BD:DC.1423【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC1：2，AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.33F1【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，SACF设S1份，则SBDFDCF5BDDC22份，ABFSCBF竺1,EC所以S丄SDCEF12ABC12SABF3份，S方法二：连接DE，由题目条件

3、可得到SSAEFEFC3份，如图所标1SABD3ABC3page #of181所以BFS1FES1ADE1S-S-X-SADE2ADC23ABC3S-XS-X-XS-X-X-XSDEF2DEB23BEC232ABC12而S-X-XSCDE32ABC1所以则四边形DFEC的面积等于丄.312【巩固】如图，已知BDDC,EC2AE,三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.page #of18page of18【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，

4、那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为BDDC,EC2AE，三角形ABC的面积是30,所以S1S10,SABE3ABCABDAE1根据燕尾定理，SSCBF所以S1S7.5，SABF4ABCBFDABFEC2S15-2ABCS/ABFSACFBDCD157.57.5，所以阴影部分面积是30-10-7.512.5.（法二）连接DE，由题目条件可得到S1S10,ABE3ABC112，所以AFS1SSXS10,所以ABE-BDE2BEC23ABCFDS1BDEpage of18S1xS1x-XS1x-X-XS2.5，DEF2DEA23ADC232ABC而S2x1xS10所以阴影部分的面积为1

5、2.5.CDE32ABC【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E在AC上，点D在BC上,且AE:EC=3:5,BD:DC=2:3，AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于page #of18page #of18【解析】连接CF,根据燕尾定理，SACFBDDC39设SABF6份，则S9份,SACFBCFABFSCBF10份，SAE36EC5109xEFC45份，sCDF10 x6份，2,3所以S4545DCFE200一(6,9,10)x(,6)8x(,6)=93(cm2)【巩固】如图，已知BD3DC,EC2AE,BE与CD相交于点O，则AABC被分成的4部分面积各占AABC面积的几

6、分之几？1912EO213.54.5CBD1C1份，则其他部分的面积如图所示，所以S1+2+9+1830份，所以四部ABC分按从小到大各占ABC面积的丄2+4513931359【解析】连接CO，设SAEO,-3030一6030一103020【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在AABC中,CP2CB，BQ与AP相交于点X，若ABC的面积为6，则AABX的面积等于【解析】方法一：连接PQ.由于CP1CB,CQ1CA，所以S23ABQ3ABC由蝴蝶定理知，AX:XPS:SA2S:1SABQBP當ABC6ABi1SBPQ2BCQ6ABC厶4：1，page of18page of18所以

7、s4s4x1S2s2x62.4.ABX5ABP52ABC5ABC5方法二：连接CX设sI份，根据燕尾定理标出其他部分面积，CPX所以S6,(1+1+4+4)x42.4ABX【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD2DC,的面积各是多少?CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分AEFBDCA61EF284DC【解析】连接CF，设SAEF1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以sAEF121sABF21BDF8c2+42，321FDCE217【巩固】如图，E在AC上,D在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1：2，AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2

8、，则三角形ABC的面积.EFFBBDCD1.6E2F2.412DCsBD1，sAE2ABF，ABF/sDC2sEC3ACFCBF2份/s2份，sDCFABF【解析】连接CF，根据燕尾定理，设s1份，则BDF4份，s4x-1.6AEF份,s4x2.4份，如图所标，所以s2+2.4=4.4份,s=2+3+4=9份EFCEFDCABC所以s22,4.4x945(cm2)ABC【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD=2，CB=3部分）的面积为多少？AMBM，那么三角形AMN（阴影【解析】连接BN.ABC的面积为3x2,23根据燕尾定理，ACN:ABNCD:BD=2:1；同理HCBNCANb

9、m:AM=1:1设HAMN面积为1份，则HMNB的面积也是1份，所以5ANB的面积是1+1=2份，而5ACN的面积就是2,24份，ACBN也是4份，这样ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以HAMN的面积为3十10，10.3.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE,平方厘米?F是DG的中点.阴影部分的面积是多少EBBxyGCG【解析】设SDEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S5S阴影12BCD5平方厘米.12【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB3BE,形BODC的面积为AD3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边E1O6【解析】连接AO,BD根据燕尾

10、定理S则其他图形面积，如图所标，所以S:SABOBDOAF:FD1:2,S2S2,1224.BODCAEOF:SAODBODAE:BE2:1，设S1,BEO例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、平方厘米F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是1份，根据燕尾定理得S1份，S1份，则S(1+1+1),26BGC正方形【解析】连接AC、GB，设SAGCAGB份，S3+14份，所以S122+6,496(cm2)ADCGADCG【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米【解析】连接BH，根据沙漏模

11、型得BG:GD1：2，设S=1份，根据燕尾定理S=2份，S=2份，BHCCHDBHD因此S(1+2+2),210份，S=-+-=7,所以S=120一10,-=14(平方厘米).正方形BFHG236BFHG6【例5】如图所示，在AABC中,BE:EC3:1，D是AE的中点，那么AF:FCBECBEC【解析】连接CD由于S:S1:1,S:S3:4，所以S:S3:4,ABDBEDBEDBCDABDBCD根据燕尾定理，AF:FCS:S3:4ABDBCD【巩固】在ABC中，BD:DC3:2,AE:EC=3:1，求OB:OE=?EOEOBDCBDC【解析】连接OC.3S因为BD:DC3:2，根据燕尾定理，

12、S:SBD:BC3:2，即SAOBAOCAOB2AOC又AE:EC3:1，所以s4S.则S334S，S2SfAOC3AOEAOB2AOC23AOEAOE所以OB:OES:S2:1.AOBAOE【巩固】在ABC中，BD:DC2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=?AEO解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC.连接OCAEOTOC o 1-5 h zBDC因为BD:DC2:1,根据燕

13、尾定理，S:SBD:BC=2:1,即S=2SAOBAOCAOBAOC又AE:EC1:3，所以S4S.则S2S2,4S=8S,NAOCAAOENAOBNAOCAAOENAOE所以OB:OES:S8:1.AAOBAAOE例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE1AB,CF1BC,AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120,则AAEG与ACGF的34page #of18page #of18解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB=CF:FB=1:3,所以AE1EB2EH,AG:GF=AE:EH=2，即AG=2G

14、F,2231,S109422231且EG-HF-,-EC-EC,故GE所以两三角形面积之和为10+515.所以SAAEG1,-,S33AABF，贝gS1,1,S5.ACGF2AAEG（法2）如上右图，连接AC、BG.根据燕尾定理，S:SBF:CF3:1AABGAACG而S1S60,AABC2ABCDABCG:SBE:AE2:1，AACGpage of18，S=x6020,ABCG3+2+1AABC3所以S-,S1,6030,SAABG32九1AABC2贝US1S10,S1S5,AAEG3AABGACFG4ABCG所以两个三角形的面积之和为15.【例7】如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9

15、,CE:EA=4:3,求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD4:912:27AOBAOCS:SAE:CE3:412:16AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S27:16AF:FBAOCBOC【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4,AE:CE=5:6，求AF:FB.FOTOC o 1-5 h zBDC【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD3:415:20AOBAOCS:SAE:CE5:61

16、5:18AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S20:1810:9AF:FBAOCBOC【巩固】如图，BD:DC2:3,AE:CE=5:3，则AF:BF=A【解析】根据燕尾定理有S:S2:310:15/S:S5:310:6，所以ABGACGABGBCGS:S15:65:2AF:BFACGBCG求AF:FB.【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3，EA:CE=5:4，FO【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD2:310:15AOBAOCS:SAE:CE5:410:8AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S15:8AF:FBAOCBOC

17、【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例8】（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为形GHI的面积为.，三角【分析】连接AH、BI、CG.=2S5AABC5由于CE:AE3:2，所以ae=2AC，故S根据燕尾定理，S:SCD:BD2:3AABGAACGS:S:S4:6:9,则SAACGAABGABCGAACG19,S:SCE:EA3:2,

18、所以ABCGAABG9SABCG19那么S2S_,；AAGE5AAGC519959，贝0EG:EHS19同样分析可得SAACH:S4:9，AACGAACHEG:EBS:S4:19，所以AACGAACB5AABEpage #of18EG:GH:HB4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4,所以S丄S丄,-1,S丄S,-ABIE10ABAE1055AGHI19ABIE19519【巩固】如右图，三角形ABC中,AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积CB【解析】连接BG,SAGC6份根据燕尾定理，S:SAGCBGC:S得S4（份）,SBGC

19、ABGAF:FB3:26:4，SABGAGCSBD:DC3:29:69（份），则S19（份），因此AGCABCSABC19同理连接A/、CH得SABC19-6-6-6119SBICSABC19SGHISABC三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19所以1919page of18【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）如图，ABC中BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍.page #of18page #of18【分析】如图，连接AI.根据燕尾定理，S:S=BD:AD=2:1,S:S=CF:AF=1:2,BCIACIBCIAB

20、I所以，S:S:S=1:2:4,ACIBCIABI那么,S=-S=-S-BCI1,2,4ABC7ABC同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于ABC面积7的1_23=丄，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍77【巩固】如图在ABC中,ABC的面积DCEAFB=1，求MH1的面积的值.DBECFA2CB【解析】连接BG,设S:SBGC=1份，根据燕尾定理SAGCBGC=AF:FB=2:1/S:S=BD:DC=2:1/ABGAGC得SAGC=2（份）,S=4（份），则S=7（份），因此$AGC=-，同理连接A/、CH得ABGABCS7ABCSABH=SABC所

21、以SABCSBIC=SABC72221page of18点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC中,匹=旦=FB=i，求严的面积的值DBECFA3ABC的面积HFIGHGDC【解析】连接BG,设S得SAGCAF:FB3:1,S:SBD:DCBGCAGCBGCABGAGC=3（份）,S=9（份），则S=13（份），因此agc伺理连接AI、CH得ABGABCS13ABC1份，根据燕尾定理SAGCBGC:S3:1,S“S3T

22、OC o 1-5 h zABH13BIC-/SS13ABCABC413所以13-3-3-3S13ABC【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DC=CE:AE=4:3,且三角形ABC的面积是74，求角形GHI的面积EFHIGBDACBEHGDC【解析】连接BG,S12份AGC根据燕尾定理，S:SAF:FB4:312:9，S:SBD:DC4:316:12AGCBGCABGAGC得S9（份），S16（份）,则S9,12,1637（份），因此Sagc=12,BGCABGABCS37同理连接AI、CH得SABC1237SBICSABC1237ABCpage of18所以SGHISABC例9】两

23、条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，则阴影四边形的面积是多少？三个三角形的面积分别是3，7，7，37-12-12-12丄37_37三角形ABC的面积是74，所以三角形GHI的面积是74x丄=237解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF=FE，再连结DE.所以三角形DEF的面积为3设三角形ADE的面积为x,则x:(3,3)=AD:DB=(x,10):10，所以x=15，四边形的面积为18.方法二：设S=x，根据燕尾定理S:S=S:S，得到S=

24、x,3，再根据向右下ADFABFBFCAFEEFCAEF飞的燕子，有(x,3,7):7=x:3，解得x=7.5四边形的面积为7.5,7.5,3=18巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.page #of18解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S=(1,3):4，解得S=2-阴影阴影方法二：回顾下燕尾定理，有2:(S,4)=1:3，解得S=2.阴影阴影【例10】如图，三角形ABC被分成

25、6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?A84OE354030【解析】设S=xBOFS:SABOACO，由题意知BD:DC=4:3根据燕尾定理，得=S:S=4:3，所以S=-(84+x)=63+-x，BDOCDOACO44再根据S:S=S:S，列方程(84+x):(40+30)=(63+-x-35):35解得x=56ABOBCOAOECOE4S:35=(56,84):(40,30)，所以S=70AOEAOE所以三角形ABC的面积是84,40,30,35,56,70=315【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的

26、面积page of18=AD:BD=1:1,【解析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN.在ABC中，根据燕尾定理，S:S=AE:CE=1:1,S:SABMBCMACMBCM所以SSS1SABMACMBCN3ABC由于S1S1Ss,所以BM:ME2:1AEM2AMC2ABM在HEBC中，根据燕尾定理，S:SBF:CF1:1S:S=ME:MB=1:2BENCENCENCBN设S1（份），则S1（份），S2（份），S4（份），所以S阴影CENBENBCNBCE-S-x1S丄SzS1S1x11S3BNE38ABC12ABCBFN2BNC248ABC所以S1S1S,S1S1S，

27、因为BM:ME=2:1,F为BC中点,BCN2BCE4ABCBNE4BCE8ABC所以SBMN丄1s（128丿ABC24bcx153425（平方厘米）【例12】如右图，AABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？AANGNGFC【解析】连接CM、CN根据燕尾定理，SABM:SCBMAG:GC1:1，S:SABMACMBD:CD1:3，所以s1SABM5ABC再根据燕尾定理，S:SAG:GC1:1，所以SABNCBNAN:NF4:3，那么-angx，所以S=S

28、2AFC根据题意，有1S-S5ABC28ABC437FCGNABN17丿:SFBN2）-SAFCSCBN5:SFBN1S74ABC4:3，所以S28ABC7.2，可得S336（平方厘米）ABCpage #of18page of18【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，AABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点,若AABC的面积为1，A那么四边形CDMF的面积是ADDMMNNBEFCBEFC【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.连接CM、CN.根

29、据燕尾定理，S:SBF:CF2:1，而S2S，所以S2S4S，那AABMAACMAACMAADMAABMAACMAADM么BM4DM，即BM=4BD.5那么SABMFBMBF4214xxS=xx,SBDBCabcd53215四边形cdmf471530另解：得出SABM=2SACM=4S后，可得SADMADMABD5210例13】=S四边形CDMFACF-SADM31030如图，三角形ABC的面积是1，BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?【解析】设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ

30、，CM，CN根据燕尾定理，S:S=AG:GC=1:2，ABPCBPS:SABPACP=BD:CD=I：2,设S=1（份），则ABPpage #of18=122=5（份），所以SABCABP5同理可得，S=-，S，而S1/所以S21=3/S121ABQ7ABN2ABG3APQ7535AQG3721同理，S=3S1，所以S1239:/BPM35BDM21四边形PQMN27357013951151。1115S=/S,S四边形MNED3357042四边形NFCE321426四边形GFNQ321642巩固】如图,ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH

31、的面积是多少？KI【解析】连接CK、CI、CJ.根据燕尾定理，S:SACKABK=CD:BD=1：2所以S:SACKABK:SCBK=124，那么SACKSABK1:SCBK1=AG:CG=1:2,1247，S=1SAGK3ACK21类似分析可得SAGI15又S:S=AF:CF=2:1ABJCBJ,S:S=BD:CD=2:1，可得SABJACJACJ那么，SCGKJ211784page #of18根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84page of18SX2,S,SCGKJAGIABE=14x2,il,1=6，所以四边形jkh的面积为16=7

32、【例14】如右图，面积为1的厶ABC中，BD:DE:EC=1:2:1,CF:FG:GA=1:2:1,AH:HI:IB=1:2:1,求阴影部分面积page #of18【解析】设IG交HF于M,IG交HD于N,DF交EI于P连接AM,IFAI:AB=3:4,AF:AC=3:4,S=2SAIF16ABCTS:S二IH:HA=2，S:S=FG:GA=2/FIMAMF=SFIMAIM3SS1S=1SAH:AI=1:3S=AIM4AIF64ABCAHM64ABCTAH:AB=1:4AF:AC=3:4S=3SSAHF16ABC同理S=S2sS二1SHM:HF_3:_1:4,CFDBDH16ABCFDH16A

33、BC_6416AI:AB=3:4,AF:AC=3:4,IFBC,又:IF:BC=3:4,DE:BC=1:2,DE:IF=2:3,DP:PF=2:3,同理HN:ND=2:3,THM:HF=1:4,HN:HD=2:5,SHMN10HDF160ABC160page of18同理6个小阴影三角形的面积均为Z160阴影部分面积x6=21.16080C【例15】如图，面积为1的三角形ABC中，D、影部分面积.E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求阴C解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为MAF与CD的交点为NBI与AF的交点为P,BI与CE

34、的交点为Q,连接AM、BN、CP求S:在ABC中，根据燕尾定理，四边形ADMIS:SAI:CI1:2S:SAD:BD1:2ABMCBMACMCBM设S1（份），则S2（份）,S1（份）,S4（份）,ABMCBMACMABC所以ss1$，所以s1s丄s/s丄sABMACM4ABCADM3ABM12ABCAIM12ABC所以s（丄+丄）s1s/四边形ADMI1212ABC6ABC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的16求s:在ABC中，根据燕尾定理五边形DNPQES:SBF:CF1:2S:SAD:BD1:2,ABNACNACNBCN所以S1S1,1Sis伺理SisADN3ABN37ABC21ABCBEQ21ABC在ABC中，根据燕尾定理s:s