高中数学选修第一册：1.1 空间向量及其运算（精炼）（解析版）

1、空间向量及其运算（精炼）【题组一 概念的辨析】1（2020辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面，故错综上，选A2（201

2、9全国高二）下列说法中正确的是（）A若，则，的长度相等，方向相同或相反B若向量是向量的相反向量，则C空间向量的减法满足结合律D在四边形中，一定有【答案】B【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.综上可知,正确的为B，故选:B3（2020陕西新城.西安中学高二期末（理）给出下列命题：若空间向量满足，则；

3、空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量，由，则；在向量的数量积运算中.其中假命题的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】对于，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故错误；对于，单位向量的方向不一定相同，故错误；对于，取，满足，且，但是，故错误；对于，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同则和不相等，故错误.故选：D.4（2019长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：空间任意两个共起点的向量是共面的；两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；空间向量的加法满足结合律：； 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号

4、填在横线上：_.【答案】【解析】中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，正确；中，两个相等向量需大小相等，方向相同，错误；中，空间向量加法满足结合律，正确；中，由向量加法的三角形法则可知正确.故答案为：【题组二 空间向量的线性运算】1（2020辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=（ ）ABCD【答案】D【解析】根据向量的线性运算 所以选D2（2020全国高二）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）A BC D【答案】B【解析】.故选：B3（2020山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，

5、点在上，且为中点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：.故选：B4（2020山东德州.高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，则下列选项中与向量相等的是（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示，故选：5（2020陕西王益.高二期末（理）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】是边的中点，；故选：6（2019江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，则实数x，y，z的值分别为( )ABCD【答案】C【解析】,.故选:C.7（2020湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形，其对角线为

6、，分别是对边的中点，点在线段上，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）ABCD【答案】D【解析】，故选：8（2020全国高二课时练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()1；()；()；().其中运算的结果为的有_个.【答案】4【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.故答案为：4.9（2020江苏省如东高级中学高一月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，则_.【答案】【解析】在四面体中，、分别是、的中点，则.故答案为：.10（2020全国高二课时练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧

7、面CD1的中心，且则m，n的值分别为()A，B，C，D，【答案】A【解析】由于，所以.故选：A【题组三 空间向量的共面问题】1（2020涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：； ； ，能使四点一定共面的条件是_【答案】【解析】对于，由空间向量共面定理可知四点一定共面，不满足共面定理的条件.故答案为：2（2019江苏海安高级中学高二期中（理）设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则_【答案】【解析】因为四点共面，三点不共线，所以因为，因为是任意一点，故可不共面，所以，故.故答案为：13（2020全国高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ）

8、A四点，必共面B四点，必共面C四点，必共面D五点，必共面【答案】B【解析】因为，所以，即，根据共面向量基本定理，可得，共面，所以，四点共面故选：B4（2020宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）A四点O，A，B，C必共面 B四点P，A，B，C必共面C四点O，P，B，C必共面 D五点O，P，A，B，C必共面【答案】B【解析】由已知得，而，四点、共面故选：5（2020四川阆中中学高二月考（理）为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）A一定不共面B不一定共面C一定共面D无法判断【答案】C【解析】因为=，且，所以四点共面.6（2019建瓯市第

9、二中学高二月考）已知、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、一定共面的是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，故可得即，则，故整理得又因为共面，故可得共面，而其它选项不符合，即可得四点共面.故选：B.7（2020西夏.宁夏育才中学高二期末（理）已知为空间任意一点，若，则四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断【答案】B【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面 ，而 故 四点共面，故选B【题组四 空间向量的数量积】1（2020山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体中，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，,.故选：D2（2020四川遂宁.高三三模（理）如图，平行六

10、面体中，则的长为_【答案】【解析】平行六面体中， ，故答案为：3（2020全国高二课时练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（1）用向量 ，表示和（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值【答案】（1）,（2）.【解析】（1），（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，4.（2020全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1），又，同理可得， 则（2）因为，所以，因为，所以则异面直线与所成角的余弦值为5（2020全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底

11、面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，设棱长为1，则，.又，所以而，所以.故答案为：.6.如图3122所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图3122【答案】eq r(2)【解析】eq o(EF,sup7()eq o(EA,sup7()eq o(AF,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,

12、2)(eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()(eq o(OC,sup7()eq o(OA,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,2)eq o(OB,sup7()eq f(1,2)eq o(OC,sup7()，所以eq o(EF2,sup7()eq f(1,4)eq o(OA,sup7()2eq f(1,4)eq o(OB,sup7()2eq f(1,4)eq o(OC,sup7()22eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()2eq blc(rc)(avs4

13、alco1(f(1,2)eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()2eq f(1,2)eq f(1,2)eq o(OB,sup7()eq o(OC,sup7()2.|eq o(EF,sup7()|eq r(2)，即E，F间的距离为eq r(2).7.如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离【答案】2eq r(2)【解析】eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()，|eq o(AD,sup6()|2(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2|eq o