高中数学选修第一册：1.2 空间向量的基本定理（精讲）（解析版）

1、 1.2 空间向量的基本定理思维导图常见考法考点一 基底的判断【例1】（2020全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）ABCD【答案】C【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底【一隅三反】1（2020全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.项，空间基底

2、有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.2（2018全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()ABCD【答案】C【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D中，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3（2018开平市忠源纪念中学高二期末（理）若a,b,c构成空间的一组基底，则( )Ab+c,b-c,a不共面Bb+c,b-c,2b不共面Cb+c,a,a+b+c不共面Da+c,a-2c,c不共面【答案】A【解析】2b=b+c+b-c，b+c,b-c,

3、2b共面a+b+c=b+c+a，b+c,a,a+b+c共面a+c=a-2c+3c，a+c,a-2c,c共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2019佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体中，为的中点，则（ ） ABCD【答案】B【解析】为的中点， 故选：【一隅三反】1（2019甘肃靖远。高二期末（理）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】连接分别为中点 故选：2（2019中央民族大学附属中学高二月考）在平行六面体ABCD中，用向量来表示向量（ ）ABCD【答案】B【解析】因为， 故选B3（2020江西吉安。高二期末（理）在四面体中，空间的一点满足，若共面

4、，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由共面知，故选：考点三 基本定理的运用【例3】2020绵竹市南轩中学高二月考（理）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）连接,，如图：，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形 且 又为线段中点 在中 （2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是由（1）可知平行四边形中故： 故：对角线的长为：.（3），又【一隅三反】1（2019济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设（1）试用表示出向量；（2）求的长【答案】（1）（2）【解析】（1）是PC的中点，（2） .2（2017陕西新城。西安中学高二期中（理）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】（1），同理可得， （2）因为，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为3（2020安徽宿州.高二期末（理）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1