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文档简介
1、 32/32 1.4.2 空间向量应用(二)【题组一 空间向量求线线角】1(2020宜昌天问教育集团高二期末)如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作轴/,建立空间直角坐标系如图设,所以则所以所以故选:C2(2020湖北武汉。月考)如图,直四棱柱的底面是菱形,M是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】由题意可得, 故选:D3(2019绍兴鲁迅中学高二期中)如图,长方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的
2、余弦值是( )A0BCD【答案】A【解析】如图所以所以异面直线与所成角的余弦值故选:A4(2019浙江湖州.高二期中)在正方体中,异面直线与所成的角为( )ABCD【答案】D【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),(1,1,0),(1,1,1),设异面直线AC与B1D所成的角为,则cos0,.异面直线AC与B1D所成的角为.故选:D.5(2020武汉外国语学校高一月考)如图,正三棱锥的侧棱长为3,底面边长为2,则与所成角的余弦值为_.【答
3、案】【解析】设与的夹角为,则与的夹角也是则与所成角的余弦值为故答案为:【题组二 空间向量求线面角】1(2020江苏高二)如图,在三棱锥P-ABC中,ACBC,且,AC=BC=2,D,E分别为AB,PB中点,PD平面ABC,PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值;(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.【答案】(1);(2).【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,易知C(0,0,0),A(2,0,0),D(1,1,0),E(,),P(1,1,3),设直线CE与直线PA夹角为,则整理得;直线CE与直线PA夹角的余弦值;(2)设直线PC与平面DEC夹角为,设平面DEC的法向量为,因为,所
4、以有取,解得,即面DEC的一个法向量为,.直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.2(2020沙坪坝.重庆八中)如图,四棱台中,底面是菱形,底面,且60,是棱的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为底面,所以因为底面是菱形,所以又,所以平面又由四棱台知,四点共面所以(2)如图,设交于点,依题意,且,且,又由已知底面,得底面以为原点,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图 设交于点,依题意,且,所以则,由,得因为是棱中点,所以所以,设为平面的法向量则,取,得设直线与平面所成线面角为,则所以直线与平面所成线面角的正弦值
5、3(2020浙江金华.高二期末)在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,且平面平面,分别为线段、的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)作于,连接,如图所示:由平面平面,且平面平面,得平面,所以.因为,所以,.在直角三角形中,可得.又,为的中点,所以.(2)以为坐标原点,为轴,平行的直线为轴建系,.设是平面的一个法向量,则,取,设为直线与平面所成角,所以.4(2020浙江瓯海.温州中学高二期末)如图,已知三棱锥,是边长为2的正三角形,点F为线段AP的中点()证明:平面ABC;()求直线BF与平面PBC所成角的正弦值【答案】()证明见解
6、析;().【解析】()证明:在中,由余弦定理可得,因为,所以,又,所以面ABC()在平面ABC中,过点C作,以C为原点,的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则,所以,设平面PBC的法向量为,则取,则,即,所以sin,故直线BF与平面PBC所成角的正弦值5(2020甘肃城关.兰大附中)如图,在四棱锥中,底面,底面为直角梯形,分别为线段,的中点(1)证明:平面平面(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:连接,设与相交于点,如图,因为,且,所以四边形为矩形,所以为的中点,又因为为的中点,所以为的中位线,即,因为平面, 平面,所以平面,因为,分
7、别为线段,的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以平面平面.(2)因为底面,平面,平面,所以,因为,所以、 、两两互相垂直,以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则,所以,设平面的法向量为,则,所以,令,可得,所以,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.【题组三 空间向量求二面角】1(2020全国)如图,在四棱锥中,底面为边长为3的正方形,平面平面,为的中点,为的中点()求证:平面;()求二面角的余弦值【答案】()证明见解析;().【解析】()证明:如图,取的中点,连,且,且,四边形为平行四边形,得平面,平面,平面()如图,过点
8、作,垂足为,在中,可得,平面平面,平面平面,平面如图,以点为原点,与向量同向方向为轴,向量方向为轴,向量方向为轴,建立空间直角坐标系点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为设平面的法向量为,取,可得,设平面的法向量为,取,可得,有,故二面角的余弦值为2(2020全国)已知三棱柱中,侧面是矩形,是的菱形,且平面平面,分别是,的中点.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在三棱柱中连接,因为,分别是,的中点,所以,所以平面,因为是的中点,所以,所以四边形是平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.(2)由是矩形
9、,得,因为平面平面,平面平面,所以平面,因为四边形是的菱形,所以,以点为坐标原点,以过点与垂直的直线为轴,以所在直线为轴,以AD所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,可得,设平面的一个法向量为,则,令,得,又轴平面,所以平面的一个法向量为,所以.由图可知,所求二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.3(2020全国高三其他(理)如图1,平面四边形中,和均为边长为的等边三角形,现沿将折起,使,如图2.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)取的中点,连接,因为和均为边长为的等边三角形,所以,且,因为,所以,所以,又因为,平面,平面
10、,所以平面,又因为平面,所以平面平面.(2)以为坐标原点,以,为,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,即,令,则平面的一个法向量为,依题意,平面的一个法向量,所以,由图可得为锐二面角,故二面角的余弦值为.4(2020全国)如图1,等腰梯形中,为的中点,对角线平分,将沿折起到如图2中的位置.(1)求证:.(2)若二面角为直二面角,为线段上的点,且二面角与二面角大小相等,求出的值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:连接,设与交于点,如图1所示.四边形是等腰梯形,又平分,结合为的中点,易证得四边形为菱形,.如图2,且,平面,又平面,.(2)二面角为直
11、二面角,平面,易知,平面,二面角为直二面角,又二面角与二面角大小相等,二面角的平面角为,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图3所示的空间直角坐标系,如图1,在菱形中,易知,.,设,易知平面的一个法向量为,设为平面的法向量,则,即,取,则,得,解得,满足题意,故.【题组四 空间向量求距离】1已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()ABCD【答案】B【解析】建立如图所示空间直角坐标系,则(0,2,0),(0,1,2)cos.sin.故点A到直线BE的距离d|sin2.故答案为B2(2020全国高二课时练习)在直三
12、棱柱中,是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:连接交于点,连接,则点为中点,又是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面;(2)解:因为平面,所以到平面的距离就等于点到平面的距离.以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为,所以,即,即令,则.所求距离为.3(2020全国高二课时练习)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD;(2)求证
13、:平面EGF平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G.所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).所以=0+0+0=0,=0+4-4=0.所以,所以B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,所以B1D平面ABD.(2)证明:由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=(0,1,-1),所
14、以=2=2,所以.所以GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,所以平面EGF平面ABD.(3)解:由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d.因为=(0,0,3),=(0,2,2),所以d=.即两平面间的距离为.4(2020全国高二课时练习)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,分别为,的中点,如图所示.求点到平面的距离.【答案】【解析】取的中点,连接,.,.平面平面,平面平面,平面.又平面,.如图所示,分别以,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则,.,.设为平面的一个法向量,则取,则,
15、.点到平面的距离.5(2020江苏常熟.高二期中)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,是上一点,且.(1)求异面直线与所成角余弦的大小;(2)求点到平面的距离.【答案】(1);(2).【解析】(1)连交于,连,平面,所以,在中,又因为底面是矩形,所以为中点,所以,因为是上一点,且,所以为中点,所以(或补角)就为与所成的角,因为所以平面,所以异面直线与所成角余弦值为;(2)解1:过做于,平面,所以,所以平面,为点到平面的距离,在中,又是中点,所以点到平面的距离为解2:因为,平面,所以,在中,所以,设点到平面的距离为,则,由,得,所以又是中点,所以点到平面的距离为解法二:分别以,所在直线为轴,轴,
16、轴建立如图所示的空间直角坐标系,(1)则,设,则,所以,由,知,所以,为中点,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为(2),设平面的法向量为,由,得,所以,取,得,所以是平面的一个法向量所以点到平面的距离为6(2020安徽)如图,边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直,为线段的中点.(1)求证:平面平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)因为四边形为菱形,所以.又因为,所以,即为等边三角形.因为,为线段的中点,所以.因为,为线段的中点,所以.又因为,所以平面.又因为,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)因为平面平面,且,所以平面.以为原点,分别为,轴建立空间直角坐标系,如图所示:,则,设平面的法向量,则,令,则所以点到平面的距离.7.(2020福建)如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,点E在PA线段上,PC平面BDE(1)请确定点E的位置;并说明理由.(2
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