新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.3.1 平面向量基本定理

1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理基础过关练 题组一对平面向量基本定理的理解1.下面三种说法中正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;零向量不可作为基底中的向量.A.B.C.D.2.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,其中可作为基底的一对向量是() A.OA,BCB.OA,CDC.AB,CFD.AB,DE3.设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:e1与e1+e2;e1-2e2与e2-2e1;e1-2e2与4e2-2e1;e1+e2与e1-e2.其中不能作为平面

2、内所有向量的一组基底的序号是.4.已知向量e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使向量a,b能作为平面内的一组基底,则实数的取值范围为.题组二用基底表示向量5.在ABC中,AB=c,AC=b,点D满足BD=2DC,若将b与c作为一组基底,则AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c6.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b7.(2020山东淄博高一期中)设ABC中BC边上的中线为AD,点O满足AO=2OD,则OC=()A.-1

3、3AB+23ACB.23AB-13ACC.13AB-23ACD.-23AB+13AC8.(2020山东泰安高一月考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,若用向量a和b表示c,则c=.题组三平面向量基本定理的应用9.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知点M是ABC的边BC的中点,N在线段AM上,且AN=xAB+yAC(x,yR),若x+y=12,则NBC的面积与ABC面积的比值是()A.14B.13C.12D.2310.(2020安徽六安第一中学高一上期末)在ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足BD=-3DE,若AE

4、=AB+AC,则2+=()A.1B.12C.13D.1411.(2020山东日照高一上期末)已知3OA=OB+OC,若A,B,C三点共线,则实数=.12.在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,AP=yAD,AQ=xAB,其中x,yR,且均不为0.若PQBE,则xy=.13.(2020辽宁锦州高一上期末)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若AB=a,AD=b.(1)试以a,b为基底表示BE,DF;(2)求证:A,G,C三点共线.能力提升练题组一对平面向量基本定理的理解1.(多选)()如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是

5、()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若存在实数,使得e1+e2=0,则=0题组二平面向量基本定理的应用 2.(2020河南商丘名校高二期中联考,)如图,已知ABC与AMN有一个公共顶点A,且MN与BC的交点O平分BC,若AB=mAM,AC=nAN,则1m+2n的最小值为()A.4B.3+22C.32+2D.63.(2020中国人民大学附属中学高三上期中,)正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,BP=2PC

6、,Q是AC上一点,BQ=13BP+BM,则QBC的面积为()A.149B.79C.1439D.7394.(多选)(2020山东济南高一下期末,)设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC,则点M是BC边的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在线段BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则MBC的面积是ABC面积的125.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)如图,在平行四边形ABCD中,AE=12ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若AF=AG,则实数=.6.(2020辽宁本溪高

7、一上期末,)如图,已知|OA|=1,|OB|=2,|OC|=3,OCOB,AOC=30,若OC=xOA+yOB,则x+y=.7.()如图,在ABC中,AD,BE,CF为ABC的三条中线,BE,CF交于点O.求证:A,O,D三点共线.深度解析8.(2020福建泉州一中高一期中,)如图所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M.设OA=a,OB=b.(1)试用向量a,b表示OM;(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE=OA,OF=OB,R且均不为0,求证:1+3=7.答案全解全析基础过关练1.B由于同一个平面内任意两个不共线的向量都可以作

8、为表示这个平面内所有向量的基底,故是错的,是对的,故选B.2.B由基底的概念可知,作为基底的一组向量不能共线.由题图可知,OA与BC共线,AB与CF共线,AB与DE共线,均不能作为基底向量,OA与CD不共线,可作为基底向量,故选B.3.答案解析设e1+e2=e1(R),则=1,1=0,无解,e1+e2与e1不共线,即e1,e1+e2能作为一个基底.设e1-2e2=(e2-2e1)(R),则(1+2)e1-(2+)e2=0,1+2=0,2+=0,无解,e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2,e2-2e1能作为一个基底.e1-2e2=-12(4e2-2e1),e1-2e2与4e2-2e1

9、共线,即e1-2e2,4e2-2e1不能作为一个基底.设e1+e2=(e1-e2)(R),则(1-)e1+(1+)e2=0,1=0,1+=0,无解,e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2,e1-e2能作为一个基底.4.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,即akb(kR),又a=e1+2e2,b=2e1+e2,4,实数的取值范围为(-,4)(4,+).5.ABD=2DC,AD-AB=2(AC-AD),AD-c=2(b-AD),AD=13c+23b,故选A.6.D连接OC,OD,CD,如图,由点C,D是半圆弧的两个三等分点,可得AOC=COD=BOD=6

10、0,且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故选D.7.A如图所示:D为BC的中点,AD=12AB+12AC.AO=2OD,AO=23AD=13AB+13AC,OC=AC-AO=AC-13AB+13AC=-13AB+23AC.故选A.8.答案a-2b解析易知a,b不共线,所以设c=xa+yb(x,yR),则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,所以3x-2y=7,-2x+y=4,解得x=1,y=2,所以c=a-2

11、b.9.C如图.设D、E分别为AB、AC的中点,则AB=2AD,AC=2AE,AN=xAB+yAC=2xAD+2yAE,x+y=12,2x+2y=1,N、D、E三点共线,SNBCSABC=12,故选C.10.B如图所示,AE=AD+DE=12AC-13BD=12AC-13(AD-AB)=12AC-1312AC+13AB=13AB+13AC.AE=AB+AC,=13,=13,2+=12.11.答案2解析由3OA=OB+OC,得OA=13OB+3OC,A,B,C三点共线,13+3=1,=2.12.答案12解析PQ=AQ-AP=xAB-yAD.由PQBE,可设PQ=BE(R),所以xAB-yAD=B

12、E=(CE-CB)=-12AB+AD=-2AB+AD,所以x=12,y=,则xy=12.13.解析(1)BE=AE-AB=12AD-AB=12b-a,DF=AF-AD=12AB-AD=12a-b.(2)证明:D,G,F三点共线,DG=DF,(0,1),AG=AD+DG=AD+DF=b+12a-b=12a+(1-)b.B,G,E三点共线,BG=BE,(0,1),AG=AB+BG=AB+BE=a+12b-a=(1-)a+12b.由平面向量基本定理知12=1,1=12,解得=23,AG=13(a+b)=13AC,A,G,C三点共线.能力提升练1.AD由平面向量基本定理可知A、D正确;对于B,由平面向

13、量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于C,当满足1=2=1=2=0时,这样的有无数个.故选AD.2.C因为O为BC的中点,所以AO=12(AB+AC),又AB=mAM,AC=nAN,所以AO=m2AM+n2AN.因为M,O,N三点共线,所以m2+n2=1,即m+n=2,易知m0,n0,所以1m+2n=1m+2nm2+n2=12+n2m+mn+1=32+n2m+mn32+2n2mmn=32+2,当且仅当n2m=mn,m+n=2,即m=22-2,n=422时取等号.故1m+2n的最小值为32+2.故选C.3.DBQ=13BP+BM=1323BC+2

14、BA,由A,Q,C三点共线,得29+2=1=149,即BQ=29BC+79BA,即BC+CQ=29BC+79(BC+CA)CQ=79CA,故SQBC=79SABC=793422=739.故选D.4.ACD选项A,AM=12AB+12AC12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,则点M是BC边的中点.选项B,AM=2AB-ACAM-AB=AB-AC,BM=CB,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误.选项C,设BC的中点为D,则AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性质可知C成立.选项D,AM=xAB+yAC,且x+y=122AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,设AD

15、=2AM,则AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以MBC的面积是ABC面积的12.故选ACD.5.答案154解析取AB=a,AD=b为平行四边形所在平面的一组基向量.由题知AG=1AF=1AD+34AB=134a+b=34a+1b.因为E,G,B三点共线,所以可设EG=EB,(0,1),则AG=AE+EG=AE+(AB-AE)=a+13b.所以34=且1=13,解得=154.6.答案52解析过点C作OA的平行线,交OB于点D.AOC=30,OCD=30.在RtOCD中,COD=90,|OC|=3,|CD|=2,|OD|=1,又|OA|=1,|OB|=2,DC=2

16、OA,OD=12OB,OC=OD+DC=12OB+2OA.又OC=xOA+yOB,x=2,y=12.x+y=2+12=52.7.证明AD是ABC的中线,AD=12(AB+AC).设EO=EB,FO=FC,其中,R,则AO=AE+EO=AE+EB=AE+(AB-AE)=AB+12-12AC,AO=AF+FO=AF+FC=AF+(AC-AF)=12-12AB+AC,=12-12,12-12=,解得=13,AO=13(AB+AC)=23AD.AOAD.AD与AO有公共点A,A,O,D三点共线.关键思想由平面向量基本定理可知,平面中任意向量都可以用某一个基底表示出来,从而减少了未知向量的个数,这实质上应用了消元的思想.8.解析(1)不妨设OM=ma+nb(m,nR).由于A,D,M三点共线,所以存在实数(-1)使得AM=MD,所以AO+OM=(MO+OD),于是OM=OA+OD1+.又OD=12OB,所以OM=OA+2OB1+=11+a+2(1+)b,所以m=11+,n=2(1+),即m+2n=1.由于B,C,M三点共线,所以存在实数(-1)