2021-2022学年广东省深圳市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析

1、第 PAGE 19 页 共 15 页2021-2022 学年广东省深圳市高一下期末考试数学模拟试卷一选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3，则 z 的共轭复数是（）32i3+2iC32iD3+2i解 ： = 2+3 = (2+3)() = 3 2，2 = 3 + 2故选：B2设向量 =（1，2）， =（x，1），且 ，则（）（3 +2）（）A5B10C15D20解：向量 =（1，2）， =（x，1），由，得 =x20，解得 x2； =（2，1）， =（1，3），3 +2 =（7，4），（ ）（ 3 +2）17+345故选：A3线段 = 3 +

2、2( 0， 2 3)绕坐标原点旋转一周，该线段所扫过区域的面积为（）8A4B3C33解：线段 = 3 + 2( 0， 23)的点当 x0 时，到原点最远的距离为 2，2当 x= 3时，到原点最近的距离为 1，4D 3故线段绕坐标原点旋转一周后扫过区域为一个外半径为2，内半径为 1 的圆环故 S（2212）3故选：B某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40）， 40，60），60，80），80，100），若低于 60 分的人数是 30 人，则该班的学生人数是（）A45B50C75D100解：由频率分布直方图得低于 60 分的频率为：（0.005+0.010

3、）200.3，低于 60 分的人数是 30 人，30该班的学生人数是：0.3=100故选：D一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为 0.16，中鼓励奖的概率为 0.40，则不中奖的概率为（）A0.55B0.39C0.68D0.61解：中奖的概率为 0.05+0.16+0.400.61， 中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为 10.610.39， 故选：B魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：

4、4，若“牟合方盖”的体积为 18，则正方体的棱长为（ ）A18B6C3D2解：正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4，“牟合方盖”的体积为 18，正方体的内切球的体积 V= 18 = 9 ，球 42439设正方体内切球半径为 r，则3= 2 ，2解得 r= 3，正方体的棱长为 2r3 故选：C在天气预报中，有“降水概率预报”例如，预报“明天降水概率为 85%”，这是指（）明天该地区有 85%的地区降水，其他 15%地区不降水明天该地区约有 85%的时间降水，其他时间不降水C气象台的专家中，有 85%的人认为会降水，另外 15%的专家认为不降水D明天该地区降水的可能性为85%解：在

5、天气预报中预报“明天降水概率为85%”，对于 A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%， 并不是说其他 15%地区不降水，故 A 错误；对于 B，明天该地的每个地区都有 85%的降水的可能性， 并不是说其他时间不降水，故 B 错误；对于 C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说有 85%的人认为会降水，另外 15%的专家认为不降水，故 C 错误； 对于 D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故 D 正确故选：D我国古代数学名著九章算术商功中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图为一个堑堵 ABCDFE，ABBC，AB6，其体积为 120，若将该“

6、堑堵”放入一个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（ ）A100B108C116D120解：设 BCa，BFb，则该“堑堵”的体积 VS ABCBF= 1 6 =120，2整理，得 ab40，要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径， 设其外接球的半径为 R，在堑堵 ABCDFE 中，BA，BC，BF 两两垂直，堑堵 ABCDFE 外接球的一条直径是以 BA，BC，BF 为相邻三条棱的长方体的体对角线，即 2R= 2 + 2 + 2 = 36 + 2 + 2，a2+b22ab80，（当且仅当 ab 时，取等号），外接球的表面积 S4R2116，球形容器的表面积最小值

7、为 116 故选：C二多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）设 i 为虚数单位，复数 z（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）若 z 为纯虚数，则实数 a 的值为 22若 z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是( 1 ，2)2C实数 = 1是 z= （为 z 的共轭复数）的充要条件D若 z+|z|x+5i（xR），则实数 a 的值为 2解：复数 z（a+i）（1+2i）（a2）+（2a+1）i；对于 A：当 a2 时，z 为纯虚数，故 A 正确；对于 B：z 在复平面内对应的点在第三象限，可得 20 ，解得 a 1；故 B 不对；2 + 1022对于 C

8、：共轭复数，需满足 2a+12a1，可得 a= 1，故 C 正确； 对于 D：由 z+|z|x+5i，即 2a+15，可得 a2，故 D 正确；故选：ACD下列说法正确的是（）1 1 在ABC 中，若= +，则点 D 是边 BC 的中点22 =已知（1，2）， =（x，x1），若（ 2），则 x1已知 A，B，C 三点不共线，B，C，M 三点共线，若= + (2 1)，则 = 1M2已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 M 满足= 1 M，则 = 4M2M31 1解：对于 A，取 BC 中点 E 则 +1 =( + ) = = ，则 E 点与点 D222重合，所以 D 是边 BC 的中点所以

9、 A 正确 2 =（x+2，x5） = 2），所以 x= 1所以 B 不正对于 B，确（1，2），（3.对于 C，若 x= 1则 = + (2 1) = 1 ，所以 M 为AB 的中点但条件没有所2以 C 不正确M2对 于D，M = ( + M)( + ) = 2 + + M + M =1+ 1 = 4所以 D 正确故选：AD33在某次高中学科知识竞赛中，对 4000 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）， 90，100，60 分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下

10、列说法中正确的是（ ）成绩在70，80）的考生人数最多B不及格的考生人数为 1000 C考生竞赛成绩的平均分约为 72.5 分D考生竞赛成绩的中位数为 75 分解：对于 A，由频率分布直方图得成绩在70，80）的小矩形最高，成绩在70，80）的考生人数最多，故 A 正确； 对于 B，由频率分布直方图得不及格的频率为：（0.005+0.015）100.2，不及格的考生人数为 40000.2800，故 B 错误； 对于 C，考生竞赛成绩的平均分约为： =450.00510+550.01510+650.02010+750.03010+850.02010+950.0101072.5 分，故 C 正确；

11、对于 D，40，70）的频率为：（0.005+0.015+0.020）100.4，70，80）的频率为：0.030100.3，0.3考生竞赛成绩的中位数为：70+ 0.50.4 10 73.3 分，故 D 错误故选：AC12如图，在直三棱柱ABCA B C 中，CC = 6， = = 2， = 22，点 M 是棱1 111AA1 的中点，则下列说法正确的是（）异面直线 BC 与 B1M 所成的角为 90在 B1C 上存在点 D，使 MD平面 ABC二面角 B1ACB 的大小为 60DB1MCM解：选项 A，连接 MC1，由三棱柱的性质可知，BCB1C1，MB1C1 即为异面直线 BC 与 B1

12、MABBC2，AC= 22，ABCA1B1C190，即 A1B1B1C1， 由直三棱柱的性质可知，BB1平面 A1B1C1，B1C1平面 A1B1C1，BB1B1C1，又 A1B1BB1B1，A1B1、BB1平面 ABB1A1，B1C1平面 ABB1A1，B1C1MB1，即MB1C190，选项 A 正确；选项 B，连接BC1，交 B1C 于点 D，连接MD，再取 BC 的中点 E，连接DE、AE，则DEAM，DEAM，四边形 AMDE 为平行四边形，MDAE，MD平面 ABC，AE平面 ABC，MD平面 ABC，即选项 B 正确； 选项 C，取 AC 的中点 N，连接 BN、B1N，BB1平面

13、 ABC，BNB1 即为二面角 B1ACB 的平面角在RtBNB中，BB= 6，BN= 2AB= 2，tanBNB= 1 = 3，BNB60，112即选项 C 正确；11选项 D，在CMB中，CM2AC2+AM2= 19，M2= 2 + M2 = 11，2 = 2 +12 =10，211112111显然M2 + M2 12，即 B1M 与 CM 不垂直，选项 D 错误故选：ABC三填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）5=13已知复数 z 满足 z（12i）5（i 为虚数单位），则|z| 5解：（12i）z5，z=5125(1+2)(12)(1+2)= 5(1+2) =1+2i，

14、故|z|= 1 + 4 = 5， 故答案为：514数据 5，7，7，8，10，11 的平均数是 8，标准差是 26解：根据题意，对于数据 5，7，7，8，10，11， 其平均数 = 1（5+7+7+8+10+11）8，6方 差 S2= 1（58）2+（78）2+（78）2+（88）2+（108）2+（118）24， 则标准差 s2；故答案为：8，2一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3，则该圆锥的表面积为 12解：根据题意，作出如下所示的图形：设圆锥的底面半径为 R2，内接圆柱的底面半径为 r1，内接圆柱的体积为3，Vr2BCBC= 3，BC

15、= 3，= ， 31= 2，解得 AB= 3，AC= 23，圆锥的母线长 AD= 22 = (23)222 =4该圆锥的表面积 SR2+RAD4+812 故答案为：121袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为 ，45得到黑球或黄球概率是11，得到黄球或绿球概率是 ，则任取一球得到黄球的概率为 1226解：袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，15得到红球概率为 ，得到黑球或黄球概率是1，得到黄球或绿球概率是 ，41224袋中有红球：12 1 =3 个，12有黑球或黄球：12 5 =5 个，2有黄球或绿球：12 1 =6 个，

16、黄球个数为：（5+6）（123）2，=126任取一球得到黄球的概率为 P= 211故答案为： 6四解答题（共 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题每题 12 分，共 70 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 = (4， 3)， =（3，1）（1）求 与 夹角的余弦值；（2）设 = ，若 BPAC，求实数 的值解：（1）由 = (4， 3)， = (3，1)得， = (4，3)，| = 5，| = 10， = 12 + 3 = 15，=；， =|=1551031010（2） = + = (1， 2)， = = (， 2)， = + = (4 ，3 2)，BPAC， = (

17、4 ) 2(3 2) = 0，解得2某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20 道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了 12 个，乙同学答对了 16 个假设答对每道题都是等可能的，试求：任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；任选一道题目，恰有一人答对的概率解：（1）设 A“任选一道题目，甲答对”，B“任选一道题目，乙答对”，根据古典概型概率计算公式，得：205205P（A）= 12 = 3，P（B）= 16 = 4，P（）= 2，P（）= 1，55任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为：P（）P（）P（）= 2 1 = 2 5525（2）任选一道题目，恰有

18、一人答对的概率为：P（ ）P（）+P（A）P（）P（B）+P（A）P（）= 2 4 + 3 15555=1125在z0，z 为虚数，z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 已知复数：z（m22m8）+（m24）i若，求实数 m 的值；若复数 zm2（1+i）+8 的模为 25，求 m 的值 解：（1）选择z0，则2 2 8 0，解得 m22 4 = 0选择z 为虚数，则 m240，解得 m2选择z 为纯虚数，则 m22m80，m240，解得 m4（2）z（m22m8）+（m24）i 可知复数 zm2（1+i）+8（m22m8）+（m24）im2（1+i）+82m4i， 依题意(2

19、)2 + 16 =25，解得 m1，此时 m1工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一共抽取了 36 件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 Y 有关，具体见表质量指标 Y 频数年内所需维护次数9.8，10.2） 620.2，10.6） 1800.6，11.0 121每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（ 保留两位小数）；用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标至少有一个在10.2，10.6）内的概率；已知该厂产品的维护费用

20、为 200 元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 50 元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这 36 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？解：（1）该厂产品的质量指标 Y 的平均值为：36 = 106+10.418+10.812 10.47由分层抽样方法知：先抽取的 6 件产品中，指标 Y 在9.8，10.2）的有 1 件，记为 A，在10.2，10.6）的有 3 件，记为 B1，B2，B3

21、，在10.6，11.0的有 2 件，记为 C1，C2， 从 6 件中随机抽取 2 件，共有 15 个基本事件分别为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（C1，C2），其中满足条件的基本事件有 12 个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），这 2 件产品的指标至少有一个在10.2，10.6）内的

22、概率为：155P= 12 = 4设每件产品的售价为 x 元，假设这 36 件产品每件都不购买服务， 则平均每件产品的消费费用为：1400s= 36（36x+6400+12200）x+3 （元），假设这 36 件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：1250s= 3636（x+50）+6200 x+3 （元），该服务值得消费者购买如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC4，ACM90，以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA证明：平面 ACD平面 ABC；4DA，求三棱锥 Q设 Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ= 1

23、ABP 的体积证明：平行四边形 ABCM，ABCM，BACACM90，即 ABAC，ABDA，ACADA，AC、AD平面 ACD，AB平面 ACD，AB平面 ABC，平面 ACD平面 ABC解：过点 Q 作 QEAC 于点 E，则 QEDC，4DQ= 1E= = 3DA，4，DCCMAB4，QE3，ACM90，ACD 由ACM 翻折而来，DCCA，由（1）知，平面 ACD平面 ABC，且平面 ACD平面 ABCAC，DC平面 ABC，QE平面 ABC，即点 Q 到平面 ABC 的距离为 QE，4BP= 1BC，ABAC4，且 ABAC，S= 1S= 1 1= 1 1 442，ABP4 ABC42ABAC42三棱锥 QABP 的体积 V= 1SQE= 1 232QABP3ABP3某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：6273819295857464537678869566977888827689B 地区：7383625191465373648293486581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出