信号与系统第六章课件

1、第6章 离散信号与系统的域分析6.1 引言6.2 变换6.3 Z逆变换6.4 离散系统的Z域分析在连续系统的分析中，通过将输入信号f(t)分解成基本信号的线性组合办法，可以把时域中复杂的卷积积分运算，转化为频域、复频域中的简单乘法运算。与此对应，连续系统的数学模型也由时域中的微（积）分方程转化成频域、复频域中的代数方程。这个步骤可以用图6-1（a）来描述。离散系统的分析也是这样，通过求f(n)的Z变换转化为Z域、频域中的代数方程。图6-1（b）描述了这一过程。6.1 引言返回6.2.1 从拉普拉斯变换到变换离散时间信号的Z变换，可以由抽样信号的拉氏变换推导出来。设连续时间信号为f(t)，利用

2、函数的筛选特性，在， ，0， 瞬间抽样，则抽样函数 可表示为对抽样函数 取拉氏变换令复变函数 ，式中则6.2 变换下一页返回这是对抽样序列 的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)，其变换式定义为上式称双边Z变换。若f(n)是因果序列，则总会有一个起始时刻（设为n=0），若满足f(n)=0(n0)，则上式可写作上式称单边Z变换。在实际中，多数序列具有因果性，亦称为有起因序列，所以，这里主要讨论单边Z变换。6.2 变换下一页返回上一页Z变换可简单记作离散序列f(n)的变换是复变数 的幂级数，其系数是f(n)的样值。 f(n)的Z变换展开式6.2.2

3、 Z变换的收敛域Z变换的定义式是一个无穷级数，只有当级数收敛时，Z变换才有意义，因此研究Z变换的收敛域是非常重要的。所谓F(z)的收敛域是指使和式 存在的复变函数Z的集合。在Z平面（复平面）内6.2 变换下一页返回上一页式中，复数的幅值 ，幅角 。则和式为如果能找到三个正数M， ， 满足不等式并使和式 为有限值，其充分必要条件是 和即6.2 变换下一页返回上一页式中， 是由 的右边序列f(n)的形式确定， 是由n0，则 6.2 变换下一页返回上一页若m=0且n0，则6. 初值定理初值定理适用于右边序列，即适用于nM（M为整数时），f(n)=0的序列。如果序列在n0（M=0）时，f(n)=0，它

4、与象函数的关系为6.2 变换下一页返回上一页则序列的初值7. 终值定理终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得序列。若序列f(n)=0，nM（M为整数时），6.2 变换下一页返回上一页设 则 由于上式是取 的极限，因此，终值定理要求z=1在收敛域 内，这是 存在。以上七条性质在变换求解中是极为重要的，熟悉这七条性质，并灵活应用将对运算起到简化作用。6.2 变换返回上一页求F(z)的Z逆变换，就是由象函数F(z)求原序列f(n)的问题。一般而言，双边序列f(n)可分为因果序列 和反因果序列 ，即式中， 为因果序列； 为反因果序列。相应地，其Z变换也分为两部分其中6.3

5、Z逆变换下一页返回当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域可以求得 和 ，并分别求得它们所对应的原序列 和 ，然后按线性性质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(n)。6.3.1 部分分式展开法在离散系统中，经常遇到的象函数是Z的有理分式，它可以写为式中 ，A(z)、B(z)分别为F(z)的分母和分子多项式。6.3 Z逆变换下一页返回上一页根据代数学，只有真分式才能展开为部分分式。因此，当m=n时，还不能将F(z)直接展开，通常可以将 展开，然后再乘以z；或者先从F(z)分出常数项，再将余下的真分式展开为部分分式。将 展开，设F(z)极点 均单阶则其中 有 因此 6.3 Z逆变换下一页返

6、回上一页注意：若v有重根，可用部分分式法，但是，最好用留数法（反演积分法）。6.3.2 幂级数展开法（长除法）根据Z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 和z的幂级数。因此，按照给定的序列可将 和 展开为幂级数6.3.3 围线积分法围线积分法式根据复变函数的柯西定理，借助于留数定理，6.3 Z逆变换下一页返回上一页把Z逆变换的积分定义式表示为围线c内。由及 可得 其中，C是含F(z)极点的逆时针封闭线6.3 Z逆变换返回上一页6.4.1 差分方程的Z变换求解方法设LTI系统的激励与响应为f(n)，y(n)，描述N阶系统的后向差分方程的一般形式为其中， 设上式中n=0，则系统的初始状态

7、为y(-1)，y(-2)，令Zy(n)=Y(z)，Zf(n)=F(z)，根据单边Z变换的时移特性，右移i个单位。则Z变换为6.4 离散系统的Z域分析下一页返回那么在n0时f(n)=0，因此f(n-j)的Z变换为求解可得其中 6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页由上式可以看出，第一项与初始状态有关，而与输入状态无关，因而是零输入响应的象函数，设为 ；第二项仅与初始状态有关，因而是零状态响应的象函数，设为 。因此取上式的逆变换，得系统的全响应其中 6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页6.4.2 单位响应和系统函数描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，对于因果系统，当时

8、n0，有h(n)=0，故可以用迭代法求出h(0)，h(1)，h(n)。6.4.3 系统函数的零、极点与系统特性1. 系统函数的零、极点n阶LTI系统的系统函数的定义为 6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页其中， ， 均为实常数（i=0,1,2,，n；j=0,1,2,，m），其中 。A(s)和B(s)都是s的有理多项式，因而能求得多项式等于零的根。其中，A(s)的根 称为系统函数H(s)的极点；B(s)=0的 根称为系统函数H(s)的零点。于是将H(s)的零点、极点绘在z平面上，用“ ”表示零点，用“ ”表示极点，就得到系统的零极图。6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页对于高阶零、极

9、点，可在图的相应位置表明阶数。2. 系统函数的零、极点与时域响应若H(s)的极点均为一阶极点，H(s)可以部分分式展开，即则3. 系统函数的零、极点与频域响应如果系统函数H(z)的极点均在单位圆内，那么它在单位圆上也收敛，可知，系统的频率响应函数6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页式中， ， 为角频率， 为取样周期。在z平面上，复数可以用矢量表示，令式中 ， 分别为差矢量的模， ， 是它们的幅角，于是式中幅频响应为6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页相频响应为 当 从0变化到 时，即复变量z从z=1沿单位圆逆时针方向旋转一周时，各矢量的模和幅角也随之变化，因此，可以得到幅频和相频响应曲线。4. 系统函数的稳定性一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统，也就是说，设 、 为正实常数，如果系统对于所有的激励6.4 离散系统的Z域分析下一页返回上一页其零状态响应则成该系统是稳定的。对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数H(z)的极点都在z平面的单