人教版七(下)第八章《二元一次方程组》教材分析及教学建议

1、人教版七（下）第八章二元一次方程组教材分析及教学建议一、本章主要内容本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例，利用二元一次方程组分析与解决实际问题。其中，以方程组为工具分析问题，解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点。本章的中心任务是：使学生经历建立二（三）元一次方程组这种数学模型并应用它们解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽

2、，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。特别要注意的是8.4三元一次方程组解法举例，在新课程标准（实验稿）中是没有要求的，但是在新课程标准（实验修订稿）中补充了这方面的教学要求，具体表述是“掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组和三元一次方程组”。二、教学课时安排本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）8.1二元一次方程组1课时8.2消元二元一次方程组的解法3课时8.3实际问题与二元一次方程组4课时*8.4三元一次方程组解法举例2课时数学活动及小结2课时课时安排与教师教学用书的安排有所调整，主要是把8.2的其中一个课时调整到8.3，目的是在8.2的教学中重

3、点解决方程组的解法，把实际应用的例题调整到8.3，以求把难点分散。三、教材特点和教学建议（一）注重解法背后的算理，强调消元思想方程组中含有多个未知数，消元思想是产生具体解法的重要基础(解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略)，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。本章在有关方程组解法的讨论中，注意了先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来。在提出消元思想后，教科书对一种具体的消元解法的过程进行了归纳，即对代入法的基本步骤进行概括。代入法通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”实现消元。教学中，应

4、注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性。类似地，教科书在两个简单例子之后，对另一种具体的消元解法加减法的过程进行了归纳。加减法通过“把两个方程相加减”实现消元，而加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反”。教科书还以框图形式表示了两种解法的程序，突出了它们是如何实现消元这一关键步骤的。加减法和代入法的共同点是，它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数；它们的不同点是，消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对一个方程组用哪个消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择

5、比较简便的方法。为使学生认识这些，可以引导他们用不同方法解同一方程组，然后对不同方法加以比较，逐步积累经验，提高选择能力。“8.4三元一次方程组解法举例”一节可以使学生更好地体会解三元以及多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组最终化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数。并根据三元一次方程组的形式，灵活选择不同的消元方法，但是在教学过程中应根据学生的实际，不宜盲目增大习题的难度。具体建议：1、在讲授代入消元法之前进行等式变形的训练。例：根据下列等式，用含x的代数式表示y(或用含y的代数式表示x)：(1)x-y=2(2)2x-y=一1(3)6x-1=

6、一2y(4)3x+2y=92x3y=12、利用一题多解，培养学生思维。例1：解下列二元一次方程组：4X:9y=8s5(x+y)=5；(3)3(x-2)=y+2x+yxy+=6234(x+y)5(xy)=22x3(x+y)=92(y+2)=x+3(4)2(x+y)3(xy)=3)4(x+y)+3(xy)=10分析：本例的题目主要有三种解法，一是化简后利用代入法求解；二是化简后利用加减法求解；三是利用整体的思想，整体代入达到简便运算的目的。例2：解下列二元一次方程组：1)x:y=3:4x3y=102)x=2:3Qy3xy=5分析：本例的题目可以利用小学学过的比例的性质找出x、y的关系后求解,也可以

7、向学生介绍参数法，设过渡参数k，然后利用含k的代数式表示x、y，代入方程求解。注意：例题1、2的教学必须根据学生的实际水平，不能提出过高的要求（二）注重知识的实际背景，突出建模思想同七年级上册“第3章一元一次方程”一样，在本章的各个阶段编者选择了一些比较典型的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料。实际问题始终贯穿全章，对二（三）元一次方程组及其相关概念的引入和对二（三）元一次方程组解法的讨论，是在建立和运用方程组这种数学模型的过程之中进行的。“83实际问题与二元一次方程组”的设计特点是：使学生在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并

8、解方程组、检验结果的合理性等能力，感受建立数学模型的作用。这一节共安排了三个实际问题，“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”。使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践。把全章强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到新的高度。为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较（探究1），开放地寻求设计方案（探究2），根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组（探究3）。安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学

9、数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。对于这些问题，教学中应发挥自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流。教学中还应该根据学生的实际，可以先选取学生更加熟悉、背景比较简单的例题，让学生体会数学建模的思想。1、让学生感受某些情况下，利用二元一次方程组解应用题比利用一元一次方程优越。例1：（2007湖南益阳课改，8分）某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分加价收费已知小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？例2：甲、乙两盒中

10、各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒中，则乙盒球数就是甲盒球数的6倍，如果从乙盒中拿出10个放入甲盒中，则乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲、乙两盒原来的球数各是多少？例3：甲、乙两人相距42千米，如果两人同时相对而行，2小时后相遇；如果同向而行，甲追乙则需要14小时才能追赶上，求甲乙两人的速度.2、加强对题型的归类，便于中下学生理解。以下是对常见几类问题进行归类：分配问题：例1：（2008山东省，8分）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运

11、会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？例2：用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，问需要多少张铁皮做桶身，多少张铁皮做桶底正好配套？例3：某车间每个工人能生产螺栓12个或螺母18个，每个螺栓要有两个螺母配套，现有工人28人，怎样分配生产螺栓和螺母的工人数，才能使每天的产量正好配套。行程问题：例1：（2007广东茂名课改，10分）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶.（1）若甲车的速

12、度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A,请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A,并求出甲车一共行驶了多少千米？例2：甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步,相向而行,每隔两分钟相遇一次,同向而行,每隔六分钟相遇一次,已知甲比乙跑得快,求甲乙每分钟跑多少圈？工程问题：例1：（2008湖南省长沙市，8分）“512”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线,工厂决定

13、转产,计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？例2：（2008湖南省益阳市，8分）512汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方134万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天

14、挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？增长率问题：例1：（2005长沙）某工厂第一季度生产甲，乙两种机器共480台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%该厂第一季度生产甲，乙两种机器各多少台？例2：某工厂去年总产值比总支出多200万元，今年的总产值比总支出多780万元，已知今年总产值比去年增加了20，总支出比去年减少了10，去年的总产值和总支出各是多少万元？销售问题：例1：（2

15、007广西贵港课改，10分）某商场在“五一”期间对A,B两种商品搞x6促销活动打折前，买6件A商品和3件B商品共用了108元，买5件A商品和1件B商品共用84元，打折后，买5件A商品和5件B商品共用了96元.问:打折后买5件A商品和5件B商品比打折前少花了多少钱？相等，求x，y的值.例2：（2006吉林课改）如图，在3x3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值;2）把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内.例3：一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍大1，如果把十位上的数和个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大45，求这个两位数.几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式。例1：（2007重庆，10分）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖地面结构如图所示.根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：1）用含x，y的代数式表示地面总面积；7卫2间L厨房y22）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元?例2：（2006泰州课改）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.例3：用8块相同的长方形地砖拼成一矩形地面，地