习题圆中的全等与相似

1、圆中的全等和相似一、二、圆中的全等圆中的相似一、圆中的全等1.【易】（西城二模）如图，等腰ABC 中， AC BC ，O 为ABC 的外接圆， D为 BC 上一点， CE AD 于 E 求证： AE BD DE CDOEAB【证明】如图，在 AE 上截取 AF BD ，连结CF、CD CDOFEAB在CF、CD ACF 和BCD 中， AC BCCAF CBD AF BD ACF BCD CF CD CE AD 于 E ， EF DE AE AF EF BD DE 2.【易】已知点 A 、 B 、C 、 D 顺次在O 上， AB BD ， BM AC 于点 M ，求证：AM DC CM 【】证

2、法一：如图a ，作 BN DC 交 D 延长线于 N ，1/41BNCOMDAa先证Rt ABM Rt DBN ，得 AM DN ， BM BN 再由Rt BMC Rt BNC ，得CM CN ，故 AM MC CD证法二：如图b ，延长 AC 至 N ，使 MN MA ，BNCOMADb而 BM AC ，则 BN BA BD ，得BDN BND ，且BAM BNM ，而BAC BDC ，故CDN CND ，则CD CN ，最后可证得： AM MC CD 证法三：如图c ，利用对称性把条件转移，仍用”接”的办法证明在 AB 上取一点C ，使 AC CD 则 AC CD 过 B 作 BN AC

3、交 AC 延长线于 N ，BNCCOMADc先证明Rt ABM Rt ABN ，则 AM AN ，且 BM BN 再证明Rt BMC Rt BNC ，则C N CM ，故有 AM MC CD证法四：上截取 AE DC ，如图d ，在 AM2/41BCOMEDAd则易证BAE BDC ，得 BC BE ，故BEC BCE ，又 BM AC 于 M ，得CM EM ，即 AM MC CD【易】如图，过O 的直径 AB 上两点 M ，N ，分别作弦CD ，EF ，若CDEF ，AC BF 求证： BEC ADF ； AM BN EC3.NABMOFD】 AC BF ， AC BF ， AB 是直径，

4、 AEB ADB ， AEB AC ADB BF ，即 BEC ADF 可知CAM FBN ， CD EF ， CMA DMB FNB ，又 AC BF ， ACM BFN ， AM BN 【4.【易】如图，已知 AB 是半圆O 的直径， C 为半圆周上一点， M 是 AC 的中点，MN AB 于 N ，则 MN 与 AC 的关系是CCMMDB ABANNOO】连结OM ，交 AC 于 D【 M 是 AC 的中点， OM AC ，即ADO 90 ， AD 1 AC ，2 OA OM ，AOD MON ， AOD MON ， AD MN ， MN 1 AC 2【中】如图， ABC 是O 的内接三

5、角形， AC BC ， D 为O 中 AB 上一点，延长5.DA 至点 E ，使CE、CD 是关于 x 的方程 1 x2 2m 3 x 4m2 12m 9 0 的两根4求证： AE BD ；若 AC BC ，求证： AD BD 2CD 3/41CEOBAD【】 AC BC ， AC BC ， BAC ABC ADC CDB ， CE、CD 是关于 x 的方程 1 x2 2m 3 x 4m2 12m 9 0 的两根，4又此方程 2m 32 4 1 4m2 12m 9 0 ，4 CE CD ， E CDE ，等腰CDE 和等腰ABC 的底角相等，则它们的顶角DCE ACB ， ECA DCB ，

6、ACE BCD ， AE BD AC BC ， ACB 90 ，由可知ECD 90 ，又由 AE BD 可知： DE AD BD ，在CDE 中， DCE 90 ，CE CD ， DE 2CD ，即 AD BD 2CD 【中】在ABC 中， AC BC ， M 是它的外接圆上包含点C 的弧 AB 的中点， AC 上的点 X 使得 MX AC ，求证： AX XC CB 6.【】解法一：如图，在 XA 上取一点 D ，使得 XD XC ，连接MA、MB、MC、MD ，ADXOMCB由 XC XD ， XM CD MD MC ，又 M 是圆上包含点C 的弧 AB 的中点， MA MB ，又 MBC

7、 MAD ， MAD MBC ， AD BC ， AX AD DX ， AX XC BC 解法二：如图，过 M 点作 ME BC 交 BC 延长线于 E ，连结 MA、MB、MC ，4/41AOXMECB M 是圆上包含点C 的弧 AB 的中点， MA MB ， MX AC ，ME BC ， AXM BEM 90 ，又 MAX MBE ， AMX BME ， MX ME ，AX BE MCE MAB MBA MCA ， MCX MCE ， CX CE ， AX BE BC CE BC CX （类似此方法还可以”延长 BC 到 E ，使CE CX ，连结 ME “）解法三：如图，延长 AC 到

8、F ，使 FX AX ，连结 MA、MB、MC、MF ，AOXMCBF M 是圆上包含点C 的弧 AB 的中点， MA MB ， MAB MBA ， MX AC ，AX FX ， MA MF ， MB MF ， MAF MFA ， MAC MBC ， MBC MFC ， MCA MFC CMF ， MCA MBA MAB ， MAB MFC CMF ， BAC BMC ，CBM CAM ， MAB BAC CAM BMC CBM ， MFC CMF BMC CBM ， BMC CMF ， MBC MFC ， CF BC ， AX FX XC CF XC BC 7.【中】如图，四边形 ABCD

9、为正方形， O 过正方形的顶点 A 和对角线的交点 P ，分别交 AB ，AD 于点 F ，E （1）求证： DE AFAE2 1 ，求的值3 ， AB （2）若 O 的半径为ED25/41AEDFBC】（1）如图，连接 PE，PF ，EF 【AEDFCB因为EAF 90 ，所以 EF 为 O 的直径于是， FPE 90 又APD 90 ，所以， EPD APF 显然， PD PA ，PAF PDE 45 因此， PDE PAF 故 DE AF （2）因为 DE AF ，所以 AE AF AD 2 1又 AE2 AF 2 EF2 ，即 AE AF 2 2AE AF 3故 AE AF 2 于是

10、AE ，AF 是一元二次方程x2 2 1x 2 0 的两个根解得 AE 2 ， AF 1或 AE 1，AE2 所以 2 或2 2AF ED【中】如图， O 外接于正方形 ABCD ， P 为 AD 上一点，且 AP 1 ， PB 2PC 的长8.2 ，求DCPBA延长 PC 到 P，使CP AP ，连接 BPP【】CDPAB圆内接四边形 PABC 对角互补，则PAB PCB 180又PCB PCB 180则PAB PCB容易证明CBP ABP， PC PA 1 ， PB PB 2 PP 2PB 4 PC 32 ， PBP 906/41OPOP【中】如图，四边形 ABCD 内接于圆， AB AD

11、 ，且其对角线交于点 E ，点 F9.段AC 上，使得BFC BAD 若BAD 2DFC ，求 BE 的值DEAFEBDC】由 AB AD ，知ABD ADB 由等弧对等圆周角知ACD ACB 令DFC 则BAD BFC 2 故ABD ADB BAD 2 180 于是， 90 ， CDF 90 另一方面，由FBC 180 2 FCB FB FC ，设边 BC 的中点为 M ，联结 FM A【FCD FCM ，FEBDMCBEBC由角平分线定理得 2 DECD10.【中】圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半DCAOFB【】证法一：如图，设四边形 ABCD 内接于圆O

12、，且 AC BD ， OF 为 AB 之弦心距作CD 的弦心距OE ，连接OB 、OC 7/41DECAOFB显然OCE 90 EOC 90 1 DC 的度数2 AC BD ， AB DC 180 ， OCE 1 AB 2又BOF 1 AB ，2 OCE BOF OC BO ， RtOCE RtBOF CE OF ，即OF 1 DC 2证法二：如图，作直径 AE ，连接 BE 、CE DACEOFB O 、 F 为中点， BE 2OF CE AC ， BD AC ， CE BD ， BE DC ， BE DC 即 2OF DC ， OF 1 DC 2证法三：如图，设 AC 、 BD 交于 P

13、， E 为 DC 之中点连接 EP 延长垂直AB 于G 连接 FP 延长必垂直 DC 于 H 连接OE DHEPCAGOFB OE DC ， FH DC ， FH OE ，同理 EGOF PFOE 为平行四边形， OF EP 8/41而 EP 1 DC （ EP 是RtCDP 斜边上的中线），2 OF 1 DC 2【中】当 AB ，CD 是OE PA DO 的直径，弦CF AP ， BF ，PD 相交于点 E ，求证：11.OABECPF】连接 PB ，OP ，【DOABECPF PACF ， AC PF ， AOC BOD ， BD AC ， PF BD ， PBE BPE ， BE PE

14、又 OB OP ，OE OE ， BOE POE BOE POE 1 BOP ， A 1 BOP ，2 BOE A ， OE PA 2【中】（1）如图 1，圆内接ABC 中， AB BC CA ， OD 、OE 为O 的半径，OD BC 于点 F ， OE AC 于点G ，12.求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC 的面积的 1 3（2）如图 2，若DOE 保持120角度不变，求证：当DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC 的面积的 3 1AAEEGOGOBCFBCFDD【】（1）如图 1，连结OA，OC ，9/41AEGOBC

15、FD因为点O 是等边三角形 ABC 的外心，所以RtOFC RtOGC RtOGA SOFCG 2SOFC SOAC ， 1 S 1 S因为 S，所以 SOAC ABCOFCG ABC33（2）解法一：连结OA，OB 和OC ，则AOC COBBOA ， 1 2不妨设OD 交 BC 于点 F ， OE 交 AC 于点G ，AE23OG45 1FBCDAOC 3 4 120，DOE 5 4 120， 3 5 在OAG 和OCF 中，1 2，OA OC，3 5， OAG OCF ， SOAG SOCF 1 S SSOFCC ABC3解法二：不妨设OD 交 BC 于点 F ， OE 交 AC 于点G

16、 ，作OH BC，OK AC ，垂足分别为 H、KAEGK32O1HBCFD在四边形 HOKC 中， OHC OKC 90，C 60 ， HOK 360 90 90 60 12010/41即1 2 120又 GOF 2 3 120， 1 3 AC BC ， OH OK ， OGK OFH ， S 1 S SOFCGOHCKABC313. 【中】（顺义 2011）已知：如图， ABC 内接于 O ， AB 为 O 的直径，2 ，点 D 是 AC 上一个动点，连结 AD 、CD 和 BD ， BD 与 AC 相交于点AC BC=5E ，过点C 作 PC CD 于C ， PC 与 BD 相交于点 P

17、 ，连结OP 和 AP （1）求证： AD BP ；（2）如图 1，若 tan ACD 1 ，求证： DC AP ；2（3）如图 2，设 AD x ，四边形 APCD 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的关系式CCDDEEPPBABAOO图1图2】（1） PC CD ， AB 为 O 的直径 DCP ACB ADB 90 DCP ACD ACP ， ACB ACP BCP ACD BCP AC BC ABC 是等腰直角三角形 BAC 45 BDC BAC 45 DCP 是等腰直角三角形 DC PC ADC BPC AD BP（2）证明： ABD ACD【 tan ABD tan ACD 12

18、AD1BD2PB1BD2 P 是 BD 的中点B PD是等腰直角三角形 APD 45 APD BDC DC AP= 25 1 x2 （ 0 x 5（3） y SS SS SS2 ）ACPACDACPBCPABCABP211/4114.【中】（2011 年广州中考）如图 1，O 中， AB 是直径， C 是O 上一点，ABC 45 ，等腰RtDCE 中DCE 是直角，点 D证明： B、C、E 三点共线；段 AC 上若 M 是线段 BE 的中点， N 是线段 AD 的中点，证明： MN 2OM ；将DCE 绕点C 逆时针旋转 0 90 后，记为D1CE1 （图 2），若 M1 是线段 BE1 的中

19、点， N1 是线段 AD1 的中点， M1N1 2OM1 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由图 1】 AB 是直径 ACB 90又 DCE 90 BCE 180即 B、C、E 三点共线图 2【，连接ON 、 AE ，连接 BD 并延长交 AE 于点 F AC BC ， CD CE ， DCB ECA 90 DCB ECA AE BD ， DBC DAE又 DAE AEC 90 DBC AEC 90 BFE 90 ，即 BF AE O 为 AB 的中点， N 为 AD 的中点 ON 为ABD 的中位线，所以ON BD ，且ON 1 BD2 ON AE同理OM AE ，且OM 1 AE2 O

20、M ON ， ON OM OMN 是等腰直角三角形 MN 2OM成立，连接ON1 ，连接 AE1 并延长交 BC 的延长线于点G ，连接 BD1 并延长交 AE1 于点 F 12/41 D1CE1 BCA 90 BCD1 ACE1 AC BC ， CD1 CE1 ， BCD1 ACE1 BCD1 ACE1 AE1 BD1 ， D1BC CAE1又 CAE1 G 90 D1BC G 90 BFG 90 ，即 BF AG O 为 AB 的中点， N1 为 AD1 的中点 1 BD ON 为ABD 的中位线，所以ON BD ，且ON1111112 ON1 AG 1 AE同理OM AG ，且OM111

21、2 OM1 ON1 ， OM1 ON1 OM1N1 是等腰直角三角形 M1N1 2OM1 ， MN 2OM15.【中】如图，已知 AB 是O 的直径， BC 是和O 相切于点 B 的切线，O 的弦 AD平行于OC ，若OA 2 ，且 AD OC 6 ，求CD 的长CDBAO【】连结OD、BD CDABO BC 是O 的切线， AB 是直径， AB BC ，ADB 90 OA OD ， OAD ODA ， AD OC ， OAD BOC ，ODA COD ， BOC COD ， COB CODSAS ，13/41 ODC OBC 90 ， OD CD CD 与O 相切 CD BC又OAD BOC

22、 ，ODC OBC 90 ， ABD OCB AD AD 2，OC 4 AB ，即 AD OC OB AB 2 4 8OBOC在 Rt BOC 中， OBC 90 ， BC CD 的长为2 3 OC2 OB2 2 316.【中】如图，已知以直角梯形 ABCD 中，以 AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD为直径的圆与 AB 相切DAOBC【】设 O 切 CD 于O ，由切线的性质及平行线等分线段定理可知O 为CD 中点，过O 作OE AB 于 E ，A DE13OO2BC由弦切角定理可知1 2 ，同时在Rt AOB 中， OE AB ，易证得2 3 1 3AOE ，于是可证得 OE OD

23、， CD 为直径的圆与 AB 相切在Rt ABC 中， B 90 ， A 的平分线交 BC 于 D ， E 为 AB 上一点，17.【中】DE DC ，以 D 为圆心，以 DB 的长为半径画圆求证：（1） AC 是D 的切线；（2） AB EB AC AEBDC，过点 D 作 DF AC 于 F 【】（1）14/41AEFBDC AB 为D 的切线， AD 平分BAC ， BD DF AC 是D 的切线；（2）在Rt BDE 和Rt DCF 中， BD DF ， DE DC ， BDE FDC EB FC又 AB AF AB EB AC 18.【中】两个圆相交于点 A 和 B ，由点 A 作两

24、个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N 直线 BM 和 BN 分别与两个圆交于另外两点 P 和Q （ P 在 BM 上， Q 在 BN上）求证： MP NQ APQBMN】连结 AP 和 AQ ，【APNQBM为证 MP NQ ，只要证APM ANQ APB ANB ， AQB AMB ， APM ANQ ，且 PM 与 NQ 为对应边连结 PN ，并设 A 、 P 、 N 所在圆的圆心为O ，可证直线 AO 垂直平分 PN ，这表明 AP AN APQBMN综上可知， APM ANQ 于是有 PM NQ 15/41【难】如图， O 为ABC 外接圆， BAC 60 ， H 为边 AC、AB

25、 上高 BD、CE 的交19.点，在 BD 上取点 M ，使 BM CH 求 MH 的值OHAEOHDMBC【】 A 60 BOC 120又 AB、AC 的高 BD、CE 交于 H BHC 120 B、O、H、C 四点共圆 OBM OCH(另：若不用四点共圆的方法，此处可作如下证明：由BOC 120 ，则OBC OCB 30，OBC OCB 60 ，由BHC 120 ，则HBC HCB 60 ， OBC OCB HBC HCB ， OBC HBC HCB OCB ，即OBM OCH ) BOM COH SAS OM OH ， BOM COH MOH BOC 120 MOH 是顶角为120的等腰

26、三角形MHOH3 20. 【难】在等腰ABC 中， AB BC ， BH 是高，点 M 是边 AB 的中点，而经过点 B ，M 于C 的圆同 BH 的交点是 K ，求证 BK 3 R ，其中 R 是ABC 的外接圆半径2BMOKHAC【】设过点 M ，B ，C 的圆的圆心是O ， ABC 的外接圆为BM 的中点是 N ，O1 ，半径为 R ，连接OB ，ON ，OO1 ，O1M ，OK ，O1C ， ON 与 BH 交于 L BNLMOO 1KHAC16/41 O1M AB ， ON BM ， BN MN BL LO 1 O B 1 R ，1122OO1B O1BC 90 OO1 BC ， O

27、LO1 O1BN BLN O1BN 90 ， O1BC O1BN ， OO1B OLO1 ，又OB OK ，OBO1 OKL ， OBO OLK ， BO LK R ，从而得知， O K BL 1 R1112故 BK 3 R 221.【难】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点 A 、与大圆相交于点 B 小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D ，且CO 平分ACB 试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段 AC、AD、BC 之间的数量关系，并说明理由；若 AB 8cm，BC 10cm ，求大圆与小圆围成的圆环的面积CDABO】 BC 与小

28、圆相切过O 点作OE BC 于 E ，C【DEABO AC 与O 相切， OA AC ， CO 平分ACB ， OA OE ， BC 与O 相切于 E 点 AC AD BC连结 DO ，由 OA OE 可知 AC CE ，又 DO BO， BEO 90 ， RtAOD RtEOB ， AD BE ， AC AD CE BE BC BAC 90 ， AC BC2 AB2 6cm ，由可知CE 6cm ，则 BE 4cm ，设大圆与小圆围成的圆环的面积为 S ，则 S R2 r2 OD2 OA2 AD2 BE2=16cm2 17/4122.【难】半径为 R 的两圆之一过平行四边形 ABCD 的顶点

29、 A 和 B ，而另一圆过顶点 D 和C ，点 M 是两圆除 B 外的另一个交点，求证： AMD 的外接圆半径长也为 R MO 2O 1CBAD】设两圆分别为 O1 、 O2 ，又设 P 为 BM 的中点， K 是C 关于点 P 的对称点，【MKO 2O 1PCBAD显然 K 在 O1 上，且 KM BC AD ， KM BC AD ，四边形 AKMD 为平行四边形， AMD MAK ， AMD 的外接圆半径等于MAK 的外接圆半径，即 O1 的半径 R 二、 圆中的相似【易】（市第十三中学 2010-2011 九年级数学期中）如图，已知 BC 为求证： AE AB AC AF A23.O 的

30、直径，EFBCO】连结 BF、CE【AEFBCO BC 是直径， BEC BFC 90 ， AEC AFB ， ABF ACE ， AE AB AC AF 18/41【易】如图，半圆的直径 AB 10 ，点C 在半圆上， BC 6 求弦 AC 的长；若 P 为 AB 的中点， PE AB 交 AC 于点 E ，求 PE 的长CE24.ABP】 AB 是直径， C 在半圆上， ACB 90 ， AB 10 ，BC 6 ， AC 8 【 PE AB ， PAE CAB ， 90 ，ACB ，10 1APPE，即2PE ，ACBC86 PE 15 4【易】如图， AB 为 O 的直径， AC 交 O

31、 于 E 点， BC 交 O 于 D 点， CD BD ，C 70 现给出以下四个结论：25. A 45 ； AC AB ；AE BE ； CE AB 2BD2 CEDABO其中正确结论的序号是（）A【】CBCD【易】如图，在 O 的内接ABC 中， AB AC 12 ， AD BC 于 D ，且 AD 3 ，设 O 的半径为 y ， AB 的长为 x 求 y 与 x 的函数关系式当 AB 的长为多少时， O 的面积最大？并求出 O 最大面积26.ABCDO【】（1）作直径 AE ，连 BE ，19/41ABCDOE由ABE ADC ，得 ABAE，即 x 2 y， y 1 x2 2x ；31

32、2 xADAC6（2）当 x 6 时， y 的最大值为 6， O 的最大面积为36 27.【中】（2010 年二中分初三期中上）如图 AB 是 O 的直径， M 是 O 上一点，MN AB ，垂足为 N ，P、Q 分别是 AM、BMMNP MNQ ，下面结论： ANP BNQ ； P Q 180 ； Q PMN ； PM QM ；上一点（不与端点重合），如果MN 2 PN QN ，其中正确的是（）MQP ABNOA【】BBCD28.【中】（市宣武区 2009-2010 学年度第二学期第二次质量检测）已知：如图， BD为 O 的直径， AB AC ， AD 交 BC 于 E ， AE 2 ， E

33、D 4 求证： ABE ADB ；求 AB 的长；（3）延长 DB 到 F ，使 BF BO ，连接 FA ，试判断直线 FA 与O 的位置关系，并说明理由AFCBEOD【】（1）证明： AB AC ，ABC C ，C D ，ABC D 又BAE DAB ， ABE ADB AB AE ADAB AB2 AD AE AE ED AE 2 4 2 12 AB 23 （2）直线 FA 与 O 相切，理由如下：20/41连接OA AFCBEOD BD 为 O 的直径，BAD 9012 2 42 BD AB2 AD2 48 4 3 BF BO 1 BD 1 43 23 223 ， BF BO AB O

34、AF 90 AB 2直线 FA 与 O 相切29. 【中】如图， ABC 内接于O1 ， AB AC ，O2 与 BC 相切于点 B ，与 AB 相交于点 E ，与O1 相交于点 D ，直线 AD 交O2 于点 F ，交CB 的延长线于点G 求证： G AFE ；ADF O2EO1GCB】连结 BD、CD ，【ADGCB ADC ABC ACG ，ADC ACG ， ACD G ，又 ACD ABD AFE ， G AFE 【中】如图， AB 为O 的直径， D 是 BC 的中点， DE AC 交 AC 的延长线于 E ，O 的切线 BF 交 AD 的延长线于点 F 求证： DE 是O 的切线

35、；若 DE 3 ， O 的半径为5 ，求 BF 的长21/41FEO1O2EFCDABO【】（1）连接OD EFCDBAHO D 为 BC 中点， EAD DAB ， OD OA ， ODA ， ODA EAD ， OD AE ， AE DE ， OD DE ， DE 为O 切线（2）连接 BD ，过 D 作 DH AB 于 F AD 平分EAB ， DE AE ， DH AB ， DE DH 3， AB 为O 直径 ADB 90由ADH DBH 得 DH 2 AH HB ，设 AH x ，则 HB 10 x ， x(10 x) 9 ，解得 x1 1 ， x2 9 ，由图可知： AH BH ，

36、 x1 1 舍去， x 9 ，由ADH AFB ，得 DHAH39，解得： BF 10 BF10，即FBAB331. 【中】已知：如图， C 为O 上一点， DA 交O 于 B ，连结 AC、BC ，且DCB CAB 求证：（1） DC 为O 的切线；（2） CD2 AD BD 【】（1）连结OC 并延长交O 于 E ，连结 BE 22/41COADBE可知CE 是O 的直径， CBE 90 ， E BCE 90 CAB E ，DCB CAB ， DCB E ， DCB BCE 90 CE 是直径， CD 是O 的切线（2） DCB CAB ，D 是公共角， BDC CDA ， CD BD ，

37、即CD2 AD BD ADDC，AB 是O 直径， OD弦 BC 于点 F ，且交32.O 于点 E ，若【中】AEC ODB 判断直线 BD 和O 的位置关系，并给出证明；当 AB 10，BC 8 时，求 BD 的长DCEFABO】（1）直线 BD 和 O 相切 AEC ODB ， AEC ABC ， ABC ODB OD BC ， DBC ODB 90 DBC ABC 90即 DBO 90直线 BD 和 O 相切（2）连接 AC D【CEFABOAB 是直径， ACB 90在 RtABC 中， AB 10，BC 8 ， AC AB2 BC2 6 直径 AB 10 ，23/41 OB 5 由

38、（1）， BD 和 O 相切， OBD 90 ACB OBD 90 由（1）得ABC ODB ， ABC ODB AC BC OBBD 6 ，解得 BD 20 85BD333. 【中】如图， P 是半圆O 的直径 BC 延长线上一点， PA 切半圆于点 A ， AH BC 于H ，若 PA 1， PB PC aa 2 ，则 PH APBOCH【】连结 AO ，PB PC PC BC PC 2PC CO 2PO ， PO a ，2 PA 是半圆的切线， AO PA ，又 AH BC ， PA2 O ，PA212 PH a a PO2【中】已知，如图 M ，N 为 O 中劣弧 AB 的三等分点，

39、E ，F 为弦 AB 的三等分点，连接 ME 并延长，交直线 NF 于点 P ，连接 AP ，BP 交 O 于C ，D 两点，求证：AOB 3APB P34.DCOEFABNM】连接CN ，AN ， ON ，OM ， AM，连接 MN 并延长，交 PA 的延长线于Q 【24/41PDCOEFABQNM M ，N 三等分 AB ， AM BN ，故 MN AB ，由 AE EF ，可证得QM MN ，由 AM MN 得 AM MN ， MA MQ MN ， QAN 为直角， CAN 90 ，故CN 为 O 直径，点O 在CN 上 AON 2MON MON ACN ，故OM AP ，同理可证： O

40、N PB于是可证得： MON APB ， AOB 3MON ， AOB 3APB 35.【中】如图，已知 AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连结 BC、AC ，过点C 作直线CD AB 于点 D ，点 E 是 AB 上一点，直线CE 交O 于点 F ，连结 BF ，与直线CD 交于点G 求证： BC2 BG BF CEDABOGF【】解法一：连结 AF AB 是直径， ACB AFB 90 ， CD AB ， BC2 BD AB ， BDG 90 BDG BFA ， BD BG ，BFBA BG BF BD BA ， BC2 BG BF CEDABOGF25/41解法二：延长CG 交O

41、于 H ，CEDBAOGFH CG BD ，且 BD 是直径， BC BH ， F C ，又CBF CBG ， CBG FBC ， CB BG ，即 BC2 BG BF FBBC【中】如图，已知：在O 中，直径 AB 4 ，点 E 是OA 上任意一点，过 E 作弦CD AB ，点 F 是 BC 上一点，连接 AF 交CE 于 H ，连接 AC、CF、BD、OD 求证： ACH AFC ；猜想： AH AF 与 AE AB 的数量关系，并说明你的猜想；探究：当点 E 位于何处时， SAEC : SBOD 1: 4 ？并加以说明A36.CDHEOFB【】 AB 是直径，且 AB CD ， AC A

42、D ， AFC ACD ， CAH FAC ， ACH AFC AH AF AE AB解法一：由 ACH 连结 BC ，AAFC： AC2 AH AF ，CDHEOFB C 在O 上， ACB 90 ，又CD AB ， AC2 AE AB ， AH AF AE AB 解法二：连结 FB26/41ACDHEOFB F 在O 上， AFB 90 ，又EAH FAB ， AEH AFB ， AE AH，即 AH AF AE AB AFAB S 1 AE CE ， S 1 BO DE ，2AECBOD2AE 1 ， 1: 4 ， S: SAECBOD12SBO4BO DEBOD AB 4 ， OB 1

43、 AB 2 ，2 AE 1 OB 1 ，42当 AE 1 时， S 1: 4 : SAECBOD237. 【中】如图， AB ， AC ， AD 是圆中的三条弦，点 E 在 AD 上，且AB AC AE 请你说明以下各式成立的理由：（1） CAD 2DBE ；（2）AD2 AB2 BD DC ABCED】（1）如图，连接 BC ， AB AC AE ，A【1B 2G C3465ED 5 2 ， 2 3 6 又4 5 6 2 3 ， 4 3 而1 4 3 ， 1 24 即CAD 2DBE 27/41（2）设 BC 与 AD 的交点为G ， 2 5 ， BAG DAB ， BAG DAB ， AB

44、2 AG AD AD2 AB2 AD2 AG ADG AD DG A又 5 ADC ， DBG 1 ， BDG ADC DB DG ， AD DG BD DC ADDC AD2 AB2 BD DC 38. 【中】圆内接四边形 ABCD ， AC BD ， AC 交 BD 于 E ， EF 求证： AF BF C于G ，交 AB 于GBDEFA【】证法一：如图， CDB GCE 90 ， CEG GCE 90 ， CDB CEG 又EAF CDB ， AEF CEG ， EAF AEF ， AF EF ，同理 BF EF AF BF 证法二：如图，过 F 作 FH AE 于 H CGBDEHFA

45、 GDE HAF ， GEC HEF ， RtGEC RtHAF ，RtGEC RtHEF AHHFHEHF，DGGEGEGC DG GC AH两式相除得：HEGE2而GE 是RtDEC 斜边上的高， GE2 DG GC AH 1 ，即 AH HE HE又 BE AE ， FH AE ， FH BE AF BF 证法三：如图，过 A 作 AH AE 交 EF 的延长线于 H ，连接 BH 28/41CBDHA RtAEH RtGEC ， EHAE ，ECGE EH AE EC ，GE又 BE ED AE EC ， ED AE EC ， EH BE BE HEB DEG ， BEH GED ，E

46、DGE EBH EGD 90 ， AHBE 是矩形 AF BF 39.【中】圆内接矩形CEDF ，过 D 作圆的切线 AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于 A 、3BF BCB ，求证：AECAC3FOEDBA【】如图，连接CD CFOEADB DF AC ， BF BC DFAC显然RtBAC 与RtDCF 相似，DFBCCFAC又 DE BC ， DE BC ，AEAC3BF DF DE BCDF CF AEAC3BFBC3而CF DE ，故AEAC329/41GEF【中】已知：如图， D 是Rt ABC 中直角边 BC 上的一点，以 BD 为直径的圆交斜边AB 于点 E ，连结 E

47、C 交此圆于点 F ， BF 交 AC 于点G 求证： GF CA CF EA A40.EGFBCDO】连结 FD ，则AEC BDF ，A【EGFBCDO BD 是直径， DBF FDB 90 ， ACB 90 ， CBG BGC 90 ， CGF FDB AEC ， CFG CAE ， CF GF，CAEA即GF CA CF EA 另：该题还可以连结 DE ，由BDE A ， CFG BFE BDE 推导出CFG A ，从而得到相似三角形，也很方便【中】如图， AB ，CD 是O 的两条弦，它们相交于点 P ，连结 AD、BD ，已知AD BD 4 ， PC 6 ，求CD 的长C41.OP

48、ABD】连结 AC AD BD ， AD BD ， ACD ABD BAD ，【D，即 APD CAD ， PD CD 16 ，D CD ，CDAD又 PC CD PD 6 ， PD CD 6 ， CD2 6CD 16 0 ，解得CD 8 （舍负）42.【中】 AB 是半圆的直径， C 点在圆上，过点 A 、 B 分别作过C 点的切线的垂线 AD 、BE ， D 、 E 为垂足，求证： DE2 4AD BE DCEFAOB30/41【】证法一：如图，设 AD 交圆于 F ，连接 BF ，则AFB 90 DCEFAOB AD DE ， BE DE ， BEDF 为矩形 DE BF ， BE FD

49、 BF 2 AB2 AF 2 AB2 (AD BE)2 AB2 AD2 BE2 2AD BE ， DE2 AB2 AD2 BE2 2AD BE 连接CO ，显然CO 为梯形 ADEB 的中位线， CO 1 ( AD BE) ，2 AB 2CO AD BE ，有 AB2 AD2 BE2 2AD BE 将式代入式得： DE2 4AD BE 证法二：如图，连接 AC 、OC 、 BC ，则ACB 90 DCEFAOB ACD BCE 90 EBC BCE 90 ， ACD EBC ， RtACD RtCBE AD CE ，DCBE则 DC CE AD BE 显然CO 为梯形 ABED 的中位线 DC

50、 CE 1 DE ，2 DC CE 1 DE24 DE2 4AD BE 证法三：如图，设 AD 交圆于 F ，完成另一半圆，设 EB 之延长线交圆于G ，连接 BF 、 AG ，则四边形 AFBG 、 FDEB 均为矩形DCEFAOBG FD BE ， AF BG ， AD GE DCE 为圆之切线，31/41 DC2 AD DF AD BE ，CE2 GE BE AD BE DC CE 1 DE ， DE2 4AD BE 243.【中】已知 A、D 是一段圆弧上的两点，且在直线 l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为 B、C ， E 是 BC 上一动点，连结 AD、AE、DE ，且AE

51、D 90 如图，如果 AB 6 ，BC 16 ，且 BE : CE 1: 3 ，求 AD 的长；如图，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB、BC、CD 之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当 A、D 分别在直线l 两侧且 AB CD ，而其余 条件不变时，线段 AB、BC、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证 明DDAAllCBECBE图(1)图(2)AE】 ABE ECD ， AB BE【ECCDDE BC 16 ，BE : CE 1: 3 ， BE 4 ，CE 12 ，ABBEAE 1ECCDDE2在 Rt ABE 中， AE DE 2AE 4 13

52、 ，AB2 BE2 2 13 ，在Rt AED 中， AED 90 ， AD AE2 DE2 2 65 （i）猜想 AB CD BC E 是 AD 的圆心， AE DE ， AED 90 ， AEB CED 90 ， CD BC ， CDE CED 90 ， AEB CDE ， AB BC ， ABE ECD ， AB CE ，BE CD ， AB CD CE BE BC （ii） BC AB CD44.【中】如图，圆内接四边形 ABCD ，延长 AB 和 DC 相交于点 P ，连接 BD 、 AC 相交AP AB于Q ，连接 PQ 并延长交 AD 于 R ，求证： AR DRDP DCABR

53、QODCP【】 PAC PDB ， ABQ DCQ32/41 ABQ DCQ ，ABAQ，DCDQAP ABAP AQ SAPQ，DP DCDP DQSDPQR ， DN PR ，AM DNR ， DN PR ，作SAPQ则SDPQ AM DN ， AMR DNR ， AMARDNDR SAPQAP ABARARAP AB，即DP DRDP DCDRDPQANBR MQODCP45.【中】如图，半径为2 5 的O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P 点求证： PA PB PC PD ；设 BC 的中点为 F ，连结 FP 并延长交 AD 于 E ，求证： EF AD ；若 AB 8，

54、CD 6 ，求OP 的长CFPABEOD】 DAP BCP ，APD CPB ，【 APD CPB ， AP PD ，CPPB PA PB PC PD AB CD ， BPD BPC 90 ， F 是 BC 中点， PF 1 BC BF ，2 BPF PBF ， ADC PBC ， BPF DPE BPF 90 ， DPE 90 ， DEP 90 ，即 EF AD 过O 点作OM AB ，ON CD ，垂足分别为 M、N33/41CFPABMEOND由垂径定理得 AM 4 ，CN 3 ， OM 2 ，ON 11 ，易证得四边形OMPN 是矩形， OP OM 2 ON 2 15 46. 【中】如

55、图， AB 是O 的直径，且 AB 10 ，弦 MN 的长为8 ，若弦 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交，记点 A ，B 到 MN 的距离分别为h1 ，h2 ，则 h1 h2等于（）MFh 2ABOh 1NEA 5【B 6C 7D 8】解法一：设 AB、MN 相交于 P ，过O 点作OH MN 于 H ，连结 NO MFh 2HPABOh 1NE由垂径定理 NH 1 MN 4 ，NO 1 AB 5 ， OH 3 ，22 AE MN ，BF MN ，OH MN ， AE OH BF ，h1 h2 AP BPAE AP ，BF BPh1 APh2 BP，即，OHOPOHOP3OP3OP

56、3OPO OP 2OPO OP 2OP AO AO AP BPAP BP当 P 点在O 点左侧时， AP BP ，当 P 点在O 点右侧时， AP BP ， h1 h2解法二： 6 假设法当 N 点运动到与 A 点重合时， AE h1 0 ， BF h2 BM ，AB2 MN 2 6 ， h1 h2 6 此时ABM 是直角三角形， BM 当 MN 与 AB 垂直时， AE h1 AP ，BF h2 BP ， MN 8 ，由垂径定理知 MP NP 4 ， OP 3 ， AP 5 3 2 ，BP 5 3 8 ， h1 h2】B 6 【34/41【中】如图， AM 是O 的直径，过O 上一点 B 作

57、 BN AM ，垂足为 N ，其延长线交O 于点C ，弦CD 交 AM 于点 E 如果CD AB ，求证： EN NM ；如果弦CD 交 AB 于点 F ，且CD AB ，求证： CE2 EF ED A47.DFOEBCNM【】连结 MC ， AM BC ， ANC 90 ，则ECN CEN 90 ， CD AB ， AFE 90 ，则A AEF 90 ，又AEF CEN ， A ECN ， A BCM ， ECN BCM ， CEN CMN ， EN NM 解法一：连结 BE 并延长交O 于G ，连结 BD ADGFOEBCNM AM BC ， BE CE ，AB AC ， EBC ECB

58、， BD CG ， AD AG ， ABE ABD ， AB CD ， AB CD ， AD BC ， ABD BDC ， ABE BDC又BEF 是公共角， BEF DEB ，BEEF，即 BE2 EF ED ，DEEB CE2 EF ED 解法二：连结 BE、BD、BM AM 是直径， ABM 90 ，即ABE EBM 90 ，又 AD DBM ADM ，且 ADM 是半圆， ABD DCM 90 ， AB CD ， AB CD ， AD BC ， ABD BDC ， BDC DCM 90 AM BC ， BE CE ，BM CM ， EBC ECB ，MBC MCB ， EBC MBC

59、ECB MCB ，即EBM ECM ， BDC EBF ， BEF DEB ，BEEF，即 BE2 EF ED ，DEEB CE2 EF ED 35/4148. 【中】如图， Rt ABC 内接于O ， AC BC ， BAC 的平分线 AD 与O 交于点 D ，与 BC 交于点 E ，延长 BD 与 AC 的延长线交于点 F ，连结CD ， G 是CD 的中点，连结OG 判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；求证： AE BF ；若OG DE 32 2 ，求O 的面积FCGDEABO【】 O连结OC、ODFCG EDABO OC OD ， G 是CD 的中点， O ABC 是直角

60、三角形，且 AC BC ， ACB 90 CAD CBF ， ACE BCF ， AE BF 由可知COG 1 COD ， CGD，2 EBD 1 COD ， EBD COG ，2 BDE OGC 90 ， BDE OGC ，DEBD，即OG DE BD CG ，CGOG AD 是BAC 的平分线， CD BD ， BD CG 1 BD2 ，2 OG DE 32 2 ， 1 BD2 32 2 ， BD2 62 2 2设O 的半径为r ， AB 是O 的直径， AB 2r ， AC BC ，ACB 90 ， AC BC 2r ， BAD CAD ，ADB 90 ， ABF 是等腰三角形， AF