全等三角形的性质和判定

1、全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边， 重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易 找出对应边、对应角.如下图，ABCtADEF全等，记作AABCi DEF其中点 A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE, BC和EF, AC和DF 是对应边；/ A和/D, /8和/匚/C和/F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角

2、相等.要点四、全等三角形的判定（SSS SAS ASA AAS HL）全等三角形判定一（SSS SAS全等三角形判定1 “边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或 SS6）.要点诠释： 如图，如果 AB=AB, AC=AC, BC = BC,则 AB84 ABC.要点二、全等三角形判定2 “边角边”.全等三角形判定2 “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SA6）.要点诠释：如图，如果 AB = AB, /A= /A, AC = AC,则 ABC ABC.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角

3、形不一定全等.如图，4ABC与4ABD 中，AB= AB, AO AD / B= / B,但 ABC与 ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1 “边边边”1、已知：如图， RPCfr, RF RQ M为PQ的中点.求证：RMff分/ PRQ证明：: M为PQ的中点（已知），. P隹 QM在 ARPMIf 口 RQW,.RP阵 ARQM（ SSS ./ PR阵/ QRM（全等三角形对应角相等）.即 RMT分/ PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，A况BG AO BD.试证明：/ CA&/ DBC. 类型二

4、、全等三角形的判定2 “边角边”2、已知：如图，AB= AD AOAEE, /1 = /2.求证：BO DE 证明： .一/1 = /2. / 1 + / CA& Z2+Z CAD 即 / BAC= / DAE 在ABCS AADE 中 .ABC2 AADE （SAS BO DE （全等三角形对应边相等）O3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B D三点共线，AB= CB EB= DB /ABC= / EB氏90 ）,连接 AE CD 试确定 AE与 CD 的位置与数量关系，并证明你的结论.证明：延长AE交CDT F, : ABCS DBE是等腰直角三角形.AB= BC BD=

5、BE 在ABEffi ACBD 中 . .AB草 ACBD （SAS .AE= CD / 1 = / 2 又/ 1 + /3 = 90 , / 3=/4（对顶角相. /2+/4 = 90 ,即/AFC= 90 .AE! CD举一反三：【变式】已知：如图，PC AC PB AB, AP平分/ BAC且AB= AC点Q在PA求证：Q谖QB类型三、全等三角形判定的实际应用“ 4、“三月三，放风筝”.下图是小明制作的风筝，他根据 DE= DF, Ek FH, 不用度量，就知道/ DEHk /DFH请你用所学的知识证明.【答案与解析】证明：在 DEHffi DFH中，. .DE庠 ADFH（SSS） .

6、/ DEH= Z DFH一、选择题 TOC o 1-5 h z ABOABC中，若 AB= AB , BO BC, AO AC.则（）A. AAB（C ACBB.AAB（C ABCC. AABCCAB D.AABCCBA.如图，已知AB= CD AD= BC则下列结论中错误的是（）/ DC B. /B= /D C. /A= /C =BC.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等.如图，已知AB BD于B, EDL BD于D, AB= CD BO ER 以下结论不正确的 是（）AC=AC+AB

7、 =DB = CB二、填空题.如图，在 ABCffizEFD中，AD=FC, AB= FE,当添加条件时，就可得4AB登 AEFD （ SSS.如图，AO AD C及 DB /2=30 , / 3=26 ,则 / CBE=.已知，如图，AB= CD AO BD 则AB登, AADC三、解答题.已知：如图，四边形 ABCLfr,对角线 AG BD相交于O, / ADC= /BCD AD =BG求证：C氏DO.已知：如图，AB/ CD AB= CD 求证：AD/ BC 分析：要证AD/ BC只要证/ = / 又需证 公.证明：v AB / CD （）,在4和中，. A* A ()/= / ( ).

8、如图，已知 AB= DC AODB, BE= CE求证：AE= DE.全等三角形判定3 “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 ASA）.要点诠释：如图，如果/ A= / A, AB= AB, / B= / B,则 AB84 ABC.要点二、全等三角形判定4 “角角边”.全等三角形判定4 “角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 AAS).三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABCffi ADE中，如果 DE/ BC 那么/ ADP / B, / AE氏 / C, 又/A= /A,但ABCS ADE不全等.

9、这说明，三个角对应相等的两个三角形不 一定全等.要点三、判定方法的选择.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3 “角边角”1、已知：如图，E, F在 AC上,AD/ CB且 AD= CB, / D= / B.求证：A已CF.证明：v AD/ CBZ A= / C在 AAD* 4CBE 中.AD/ACBE (ASA .AF =CE , AF+ EF= C日 EF故得：ACF举一反三：【变式】如图，AB/ CD AF/ DE, BE= CF.求证

10、：AB= CD.类型二、全等三角形的判定4 “角角边”2、已知：如图，ABAE ADLAC / E= / B, DE= CB求证：AD= AC证明：v ABAE, ADLAC, /CA氏 /BA巳 900丁 / CADH / DA氏 / BA日 / DAB,即 / BAC= / EAD在 BACK EAD中. .BA登 EAD (AASAC =AD举一反三：【变式】如图，AD是4ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CR BE.求证：BE= CF.【答案】证明：:AD为4ABC的中线BD= CD. BnAD, CFLAD,BE氏 /CF氏 90 ,在BEDS ACFD 中.ABE

11、D ACFD (AA5BE= CF33、已知：如图，AC与BD交于O点，AB/ DC AB= DC(1)求证：AC与BD互相平分；(2)若过O点作直线l ,分别交AB DC于E、F两点，求证：O巳OF.证明：v AB/ DC / A = / C在ABOW acdo .ABO ACDO (AAS A氏CO , BO=DO在AEOffi CFOt .AEO ACFO (ASA OE= OF.一、选择题.能确定 AB登DEF勺条件是 ()AB= DE BO EF, / A= /EAB= DE BO EF, / C= /E/A= / E, AB= EF, / B= /D/A= / D, AB= DE

12、/ B= /E.如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和 ABC 全等的图形是 ()图4-3A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙.ADb ABC勺角平分线，作DEL AB于E, DF! AC于F,下列结论错误的是()A.DE= DFB.AE= AFC.BD= CDD./ ADE= / ADF. 如图，已知 M氏ND /MBAf / NDC下列条件不能判定 AB阵 CDN勺是( )A. / Mh /NB. AB= CDC. AMh CND. AM/ CN.如图，/ 1 = /2, /3=/4,下面结论中错误的是()A . AAD(CABCDB. AABIDABACC.

13、ABBCDOD. AAOD3 BOC二、填空题.如图，/1 = /2,要使AABEWAACE还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).在ABOABC中，/A= 440 , / B= 67 , /C = 69 , / B=44 ： 且A泰 BC,则这两个三角形 全等.(填“一定”或“不一定”).已知，如图，AB/ CD AF/ DEE, AF= DE 且 B2, BO 10,贝U EF=.如图，已知：/ 1 =/2 , /3 =/4 ,要证BD =CD ,需先证AAEB 白AEC ,根据是 ,再证ABDE公,根据 是.已知：如图，/ B= /DEF AB= DE 要说明 AABC D

14、EF(1)若以“ASA为依据，还缺条件 (2)若以“AAS为依据，还缺条件 (3)若以“ SAS为依据，还缺条件 三、解答题.阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CM交于点0,且OA= OB/A= /C.那么AODfCOE&等吗若全等，试写出证明过程；若不全等，请 说明理由.答： AODACOB证明：在 AODffiCOBK AAOD ACOB (ASA.问：这位同学的回答及证明过程正确吗为什么.已知如图，E、F在BD上，且AB= CD BF=CF,求证：ACt BD互相平分.点E、F在直线AODt,且AE.已知：如图，AB/ CD, OA = OD, BC过 O点，=DF.求证：EB/

15、 CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等， 或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了 .这里用到的是“AAS, ASA 或“SA6判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (可以简写成“斜边、直角边”或“ HL”).这个判定方法是直角三角形所独有 的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定HL已知：如图，AE5BD, CD!BD, AD= BC 求证：（1） AB= CD（2） AD/ BC.证明：（1） v

16、AB BD, CD! BD /AB乐 / CD氏 900在 RtAABD 和 RtACDBfr,RtAABt Rt ACDB （HLO. AB= CD （全等三角形对应边相等）（2）由 / AD氏 /CBDAD/ BC .【变式】已知：如图， A已AB, BCLAB, AAB, ED= AC 求证：EDL ACV 2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X” ，全 等的注明理由： TOC o 1-5 h z 一个锐角和这个角的对边对应相等；()一个锐角和斜边对应相等；()(3)两直角边对应相等；()一条直角边和斜边对应相等.()举一反三：【变式】下列说法中，正确的画；错误的画

17、“X”，并举出反例画出图形一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()3、已知：如图，AO BD ADL AC BCBD求证：AD= BC证明：连接DC. ADL AC BCL BD ./DAC= / CB氏 90在 RtAADCCf RtBCD中，,Rt AADC Rt ABCD （HD. AD= BC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC. BD相交于O, AO BD /C= / D= 90 求证：OC= OD.Cd、如图，将等腰直角三角形

18、ABC勺直角顶点置于直线l上，且过A, B两点 分别作直线l的垂线，垂足分别为D, E,请你在图中找出一对全等三角 形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题.下列说法正确的是 （）A. 一直角边对应相等的两个直角三角形全等B,斜边相等的两个直角三角形全等C,斜边相等的两个等腰直角三角形全等D. 一边长相等的两等腰直角三角形全等3.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.斜边相等B. 一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A.形状相同 B.周长相等C.面积相等 D.全等.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角 三角形（）A. 一定全等 B. 一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空题.如图，BE, CD是 ABC的高，且BD= EC,判定 BC CBE勺依据是“” .已知，如图，/ A