全等三角形讲义0001

1、全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用 表示，读作“全等于”全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和DEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作 ABC DEF。 把两个全等的三角形重合到一起， 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做 对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。.下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三

2、角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A. B.C. D.如图，zAB乎 ACE则AB的对应边是, / BAD勺对应角是.已知：如图，AABM ACD,/ B=/ C,贝U/ AEB=,AE=.如图：AAB竽 DCB,A所口 DC是对应边，/ A和/ D是对应角，则其它对应边是,对应角是.已知：如图，AABaDEF,BC/ EF,/A=/ D,BC=EF则另外两组对应边是 ，另 外两组对应角是. TOC o 1-5 h z aABRd： SM”三铝可有六个案件:三绥而：角 之 7Ke /如果两个三角形满史上述六个条件印的一个或两个时有汇种情形，能否保证两个三角/全等？345满足一个条件

3、：只有一条边对应相等； 只有一个角对应相等；结论:满足两个条件：两角对应相等；两边对应相等；一边一角对应相等结论: 如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况?两边一角对应相等结论：两角一边对应相等结论：三边对应相等结论： 三个角对应相等结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.简写为“边边边”例1.已知：如图，DE=CE DF=CF求证： DE*ACEF例2.已知：如图，DA=CB DB=CA求证： DA唉ACB/A例3.已知：如图AB=CD,AD=BC求证：AD/ BC例4.已知：如图，点 A、C、B、D在同一条直线上，AC=BD,AM=CN,B

4、M=DN,求证：AAMBACND 例 6.已知 AB=CD BF=CE AE=CF 问 AB/ CD吗？例 6.已知：如图，AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,在 BE边上.求证：/ CAEh DAB课堂练习：.如图，AB=AD CB=CD/B=30 , / BAD=46 ,则/ ACD勺度数是（）A.120 B.125 C.127 D.104.如图，线段AD与BC交于点O,且AC=BD AD=BC则下面的结论中不正确的是（）A. ABN BADB/ CABW DBAC.OB=OCD.C=/ D.如图，AB=CD BF=DE E、F是AC上两点，且 AE=CF欲证/ B=/ D,可先运用等

5、式的性质证明AF=再用SS6证明 里得到结论.如图,ADLBC 垂足为 D, BD=CD证： AB乎AACD.已知：如图，AB=DC BD=AC AQ BD交于 O.求证： AO尻 DOC.如图，已知：AB=AC BE=CE E 为 AD上一点，求证：/ BED= CED.已知：如图，A、E F、B在一条直线上，AC=BD,AE=BFCF=DE 求证：AD/ BC 课后练习：.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：/AO罡一个任意角，在OA OB上分别取OM=ON移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M NM合，过角尺顶点P的射线O粳是/ AOB勺平分线。你知道这样做的理由吗？.已知：如

6、图：BE=CF AB=DE AC=DF 求证： AB(C DEE.如图，AB=AC BD=CD 求证：/ 1 = /2.已知 AC=BD AE=CF BE=DF 问 AE/ CF 吗?10.如图，AC=BDBC=AD 求证：AB。ABAD 能力提高：.如图,AC=DF BC=EF AD=BE / BAC=72 , / F=32 ,则/ ABC=.已知:如图，E 是 AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE：证:/ B=/ CAE.如图：AB=DC BE=CF AF=DE (1)求证： ABESDCF;(2)CF/ BE.如图,AD=BC,AB=DC证：/ A+/ D=180 .三

7、角形全等的条件二(SAS)定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等.简写成“边角边”A两边一角对应相等 结论：例 1.如图，AE=DB,BC=EF,BCEF,求证：/xAbC DEF C例 2.如图，AB= AD AC= AE /BAE= / DAC 求证： ABC ADE例3.已知：如图,AD是BCt的中线，且DF=DE求证:BE/CF.例4.如图，已知，等腰 RtAOAEJ, /AOB=90等腰RtzEOF中，/ EOF=90,连结AE BF.求证：（1） AE=BF （2） AE1BF.例 5.如图，在 ABE 中，AB= AE,AD= AC,/BA氏 / E

8、AC,BC DE 交于点 O.求证：（1） AABCAAED （2）OB=OE.课堂练习：.AABCHABC中，要使AABCABC,需满足条件（）A.AB=AB,AC=AC, / B=/ BB.AB=AB,BC=BC, / A=/ AC.AC=AC,BC=BC, /C=/CD.AC=AC,BC=BC, /C=/B.如图，在/ AOB勺两边上截取 AO=BOB A5口 BO上截取CO=D摊结A叵口 BC交于点P,则AAODBOCC!由是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS4题B.如图，在 4ABC 和 4DEF 中，已知 AB DE , BC EF ,根据（SAS 判定ABCDEF ,

9、还需的条件是（A. A D B. B eC. cfD.以上三个均可以.如图,AD=AE,AB=AC,B ECW 于F,则图中相等的角共有 Xt （除去/ DFEh BFC （）A.5B.4C.3D.2.如果两个三角形全等，则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等.如图，已知：ABMACD,/1=/ 2, ZB=Z C,不正确的等式是（）A.AB=ACB/ BAEN CADC.BE=DCD.AD=DE.下图中全等的三角形是（）A. I和n B. II和IV C. II和田D. I和田.如图，已知/ 1 = /2,要使 ABC A ADIE

10、还需条件（）A.AB=AD BC=DEB.BC=DEAC=AEC. B=/ D, / C=/ ED.AC=AE AB=AD.已知：AD/ BC AD=CB 求证： ADC2 ACB/A.如图，ABC , AB= AQ AD平分 / BAC 试说明 AB乎 AACD.如图，AD= BC,/ADC= / BCD求证：/ BAC= /ABD.如图，已知:AC=DF,AC/ FD,AE=D昧证：AB。 DEF.如图，在ABC中，AB AC, BAC 40。，分别以AB,AC为边作两个等腰直角 AABDfH ACE 使 BAD CAE 90。.（1）求 DBC 的度数；（2）求证：BD CE .如图：A

11、B=AC AD=AE AB! AC ADL AE.求证：（1） / B=/ C, （2） BD=CE.如图/BACh DAE /ABDh ACE BD=CE 求证：AB=AC课后练习：.下面各条件中，能使 AB8zDEF的条件的是（）A.AB=DE,/ A=/ D,BC=EFB.AB=BC,/ B=/ E,DE=EFC.AB=EF,/ A=/ D,AC=DFD.BC=EF,/ C=/ F,AC=DF.如图，AD,BCf交于点O, OA=ODOB=OC下列结论正确的是（）A. aaobadocB. aaboadocC. a c D. b d.如图，已知AB AC, AD AE, BAC DAE.

12、下列结论不正确的有（）.A. BAD CAE B. AABDACE C.AB=BCD.BD=CE.如图所示，ZABCW BDEIB是等边三角形，ABCDC.AEC.已知：如图，CE AB,DFAB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,U不正确的结论是（）A.Rt AAEC RtA BFDB/ C+/ B=90 C. / A=/ DD.AC/ BD.如果ABCffiADEF全等， DE林口AGHI全等，则4 ABCffiAGHI全等，如果AABCffizDEF不全等， DE可口zGHI全等，则 ABCfflAGHI全等.（填“一定”或“不一定”或“一定不”）.如图，已知 AB! BD于

13、B, EDI BD于 D, AB=CD BC=DE 贝U/ ACE=.已知如图，F在正方形ABCD勺边BC边上，E在AB的延长线上，FB= ER AF交CE 于G,则/ AGC勺度数是.如图， ABB不等边三角形，DE=BC以D, E为两个顶点作位置不同的三角形， 使所作的三角形与 ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个.如图，已知 ABC勺六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和 ABC全等的图 形是。.已知：如图,AC=AB,AE=AD / 1=/ 2,求证：/ 3=/ 4。.已知：如图,AB=AC,AE平分/ BAC求证：/ DBEW DCE.如图,已知:AD / BC,AD=BC 求

14、证:AB / CD.已知：如图，点B,E,C,F在同一直线上,AB/ DE,且AB=DE,BE=C豉证:AC/ DF.已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE/ CF.如图，在 ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE AE=CE AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。.如右图，已知DEL AC BF AQ垂足分别是E、F, AE=CF DC/ZAB,(1)试证明：DE=BF (2)连接DR BE,猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的 正确性.已知如图，B是CE的中点，AD=BC AB=DC DE交AB于F点。求证：(1)AD/ BC AF=BFA. 2n

15、 2第119.已知：如图,AC=AB,AE=AD / 1=/ 2,求证：/ 3=/ 4。能力提高：1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()B. 4n 4 C. 4n 4 D. 4n2.如图,AD，AB,CBLAB,DM=CM=aAD=h,CB=k,/AMD=75 , / BMC=45 ,则 AB的长为()A.aB.kC. SD.h23,已知：如图,AB=AC,AD=AE/ BACW DAE求证:BD=CE.如图已知： ABCffl BDEM等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC=AD.已知：如图，BE CF是ABC勺高，分别在射线 BE与CF上取点P与Q 使BP=ACCQ=A

16、B求证：(1) AQ=AP (2) APIAQ.如图，ABC等边三角形，点 M,N分别在BC,AC上，且BM=CNAM与BN交于Q 点。求/AQN勺度数。.已知C为AB上一点，ACNfi! BCM1:正三角形.(1)求证:AM=BN (2)求/AFN的度 数.如图，已知4ABC的边长为1的正三角形，zBDB顶角/BDC=120勺等腰三角形， 以D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB于M,交AC于N,连MN成4AMN 求证：zAMN勺周长等于2。.已知在abc中，B 2 C, AD平分 a交BC于D点，求证：AC=AB+BD.如图， ABB等腰直角三角形，其中 CA=CB四边形CDE和正方形

17、，连接AF、 BD.观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想;若将正方形CDE碟点C按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF勺一边落在 ABC的 内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题 (1)中猜想的结论 是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由 .五边形 ABCD呼，AB=AE BC+DE=CD/ABC廿 AED=180 ,求证：ADf 分/ CDE. 三角形全等的条件三、四(ASA,AAS两角一边对应相等定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等， 那么这两个三角形全等.简记为“角边角” 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对

18、边分别对应相等， 那么这两个三角形全等，简记为“角 角边 结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状(1)要不要4块都带去？(2)带哪一块呢？(3)带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢?例 1.如图，/ BDAW CEA AE=AD 求证:AB=AC例 2.如图，/ACB=90, AC=BC D为 AB上一点,AECQ BF，CQ 交 CD延长线于 F 点.求证：BF=CE.例3.如图在 ABC+, /ACB=90 , AC=BCAE是BC的中线，过点C作CF，AE于F,过B作BDLCB交CF的延长线于点 D。（1）求证：AE=CD （2）若BD=5cm,求AC的长。例 4.如图：在ABC,

19、 /ACB=90 , AC=BC D是 AB上一点，AE!GDT E, BFCD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BF例5.如图，已知在 ABC中，A渥角平分线，CF! AD交AB于F,垂足为 M C日AD交BA的延长线于E,求证：AC=AE=AF例6.如图， ABC+, / BAC=90, AB=AC BD是/ABC勺平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE课堂练习.已知：如图，AC=CD,/ B=/ E=90 ,AC CD,则不正确的结论是（）A. /A与/ D 互为余角 B. ZA=Z 2C.AAB（C ACEDD / 1=/ 2.在

20、AABC, AC=5中线AD=4则边AB的取值范围是（）A.1AB9B.3AB13C.5AB13D.9AB13.如图，点 D,E,F,B 在同一条直线上，AB/ CD AE/ CF,且 BF=DE 若 BD=1Q BF=2,贝U EF=.已知：如图，四边形ABC前,AB/ CD,AD BC 求证： ABD ACDB.如图，ABC DCB , ACB DCB ,试说明 ABC DCB.如图，/1 = /2, /B= /C.求证：AB= AC.如图：在 ABC中，AB=AC AD和BE者B是高，它们相交于点 H,且AH=2B速证：AE=BE.已知：如图，四边形ABCM,AD/ BC,F是AB的中点

21、,DF交CB延长线于E,CE=CD求证：/ADEh EDC.如图， ABC , D 是 AC上一点，BE/ AC BE=AQ AE分另fj交 BD BC于点 F、G图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论.若连结DE则DE与AB有什么关系？并说明理由.如图，在ABCf /C=2Z B,AD 是ABC勺角平分线，/ 1=/ B,求证 AB=AC+AD. 课后练习：.如图，/A=/ D,OA=ODZDOC=50，求/ DBC勺度数为()A.50 B.30 C.45 D.25.如图，AB/CD AD/BQ AG BD相交于点 O(1)由 AD/ BC 可得 =，由 AB/CD 可得 =，又由，于

22、是AABDACDB (2)由，可得 AD=C B由，可得 AOD2 A COB(3)图中全等三角形共有对。.如图在 ABC+ ,AD BC于 D,BEAC于 E,AD交 BE于 F,若 BF=AC那么/ ABC的大 小是.已知：如图，/1=/ 2,AB，BC,ADL DC,垂足分别为B、D.求证：AB=AD.如图，/1 = /2,/B= /D,求证：AB8AADC.如图，/C= /D,CE= DE 求证：/BA氏 /ABC.如图，四边形ABCD勺对角线AC与BD相交于O点，/ 1=/2, /3=/4.求证：(1) ABCADC； (2) BO=DO.如图，已知点B、C E在一条直线上，AB=C

23、D AC=BDDE/ AC试说明/ E=/ DBC.如图，AB AC, BD DC, AG BD交于点ACB DBC,图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？.已知：如图,AB/CD,/ 1=/ 2,O是AD的中点,EF、AD交于O.求证：O也是EF的 中点.如图，AD=BE,AC DF,BC/ EF,求证：ABa DEF.已知：如图，FB=CE,AB/ ED,AC/ FD,F、C在直线 BE上.求证：AB=DE,AC=DF.已知：在 ABC中，AD为BC边上的中线，CEL AQ BF AQ 求证：CE=BF.已知：如图ACL CD于C,BD CD于D,M是AB的中点，连结C幅延长

24、交BD于点F. 求证：AC=BF.已知：如图，E、D B、F在同一条直线上，AD/ZCB,/BAD= BCD,DE=BF5:证：AE / CF.已知：如图，AE=BF,AD/ BC,AD=BC.AB CD于 O点.求证：OE=OF 能力提高：.已知：如图，AD=DCADCM DEBW B=90 ,四边形ABCD勺面积为16,则DE的长为 （）A.5B.4C.3D.2.三角形ABCfr, AB=AC在AB上取一点D,在AC的延长线上取一点 E,使CE=BD 连结口或BC于G,求证：DG=GE.已知：如图，在 ABC中，AD是/BAC勺角平分线，E、F分别是AB AC上的点， 且/EDF吆 EAF

25、=180 。求证：DE= DE.在等边三角形 ABC, AE=CD AQ BE交于P点，BQL AD于Q 求证：BP=2PQ.如图，点M为正 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60 , 射线MNW/DB的卜角的平分线交于点N, Dg MNt怎样的数量关系？三角形全等的条件五定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.简记为H. L定理.（或斜边直角边）.例1.如图，有一个直角 ABC /C=90 , AC=10 BC=5 一条线段PQ=ABP.Q两点 分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=1才能使 ABCW PQA

26、 全等.例 2.已知：如图，AB=CD AE=DF 且 AEBC于 E, DF BC于 F.求证：/ B=/ C。例3.已知：如图，E,B,F,C 四点在同一直线上，/A=/ D=90 ,BE=FC,AB=DF求证： ZE=Z C例 4.如图，ABBC于 B, ADDC于 D,且 CB=CD 求证：/ ABD= ADB.例5.证明：在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。例6.已知：如图，AD为 ABC勺高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=ACFD=CD 求证：BE! AG例7.已知：RtAABC, / ACB直角，D是AB上一点，BD=BC过D作AB的垂线 交AC于E,求

27、证：CDL BE.课堂练习：.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B. 一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等.两个三角形有以下三对元素相等，则不能判定全等的是（）A.一边和两个角B.两边和它们的夹角C.三边D.两边和一对角.下列说法中，错误的是（）A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形.已知：如图,AD=BC,AE,C吩别垂直BD于E、F,AE=CF,则图中有对相等的角（除直角外）.（）A.3B.4C.5D.6.已知：如图，

28、AC是/BADF口/ BCD勺角平分线，则4 ABgAADCffl判定.（）A.AAAB.ASM AASC.SSSD.SAS.如图，RtzABC中，/ B=90 , / ACB=60 ,延长 BC到 D,使 CD=A（M AC BD=A. 1: 1B. 3: 1C. 4: 1D. 2: 3.如图，在下列给出的四组条件下，不一定能推导出 ABD2 EBC勺条彳是（）A.BE=BA,BD=BC, 1 = / 2B. / 3=/ 4, Z1 = Z 2,AB=EBC.AB=EB,/ 1=/ 2,AD=ECD.AB=EB，1=/ 2, / C=/ D.如图，已知AB! AC ACL CD垂足分别是A,

29、 C, AD=BC由此可判定全等的两个 三角形是和.已知：如图，AE,FC都垂直于BD,垂足为E、F,AD=BC,BE=DF求证：OA=OC.已知：如图，DN=EM 且 DNAB于 D, EMAC于 E, BM=CN求证：/ B=/ C.已知：如图，BC是ABCF 口 DCB勺公共边,AB=DC,AC=DB,AE DF分别垂直BC于 E,F.求证：AE=DF.已知：如图，AB=CD,D B到AC的距离DE=BF求证：AB/ CD.已知：如图，OC=OD,ADO阡 D,BC OA于 C.求证：EA=EB.如图，已知：/ ACBffi /ADEfB是直角，BC=BD E是AB上任一点，求证：CE=

30、DE.已知：如图，/ A=/ D=90 , AQ BD交于 O, AC=BD求证：OB=OC.如图，在等腰直角三角形 ABC4 / ACB=90直线l经过点C, AD1l,BE l,垂 足分别为D E.求证：AD=CE课后练习：.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A. 一条直角边和一个锐角分别相等 B.两条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等 D.斜边和一个锐角对应相等.在下列定理中假命题是（）一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形.如图，在RtAAB

31、C, /ACB=90 , CD CE分别是斜边 AB上的高与中线，CF是 /ACB勺平分线。则/ 1与/2的关系是（）A. /1/2D.不能确定.在直角三角形 ABC，若/C=90, D是BC边上的一点，且AD=2CD U/ADB的度数是（）A.30 B.60 C.120 D.150.如图，已知BDL AE于B, C是BD上一点，且 BC=B要使RtAABC RtADBI应 补充的条件是/ A=/ D或或或。.如图，在ABC, ADL BC于 D, AD与 BE相交于 H,且 BH=AC DH=DC那么/ ABC= 度。.如图，AD/BQ /A=9“ E 是 AB 上一点，/ 1 = /2,

32、AE=BC 求证：/ DEC=90.如图所示，已知 AD是/BAC勺平分线，DEL AB于E, DF AC于F,且BD= CD求 证：BE=CF.已知BD= CD BFAQ CE!AB.求证：D在/ BAC勺平分线上.如图，在 AB讶口ACM,给出以下四个论断： AB=ACAD=AEAM=ANAD DC AE1 BE以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：.已知在 RtzABC中，/ C= 90 , AC= BC AD为 / BAC勺平分线，DEL AB,垂足为C.求证： DBE的周长等于AB.如图，A

33、BC , /ACB=90 ,CE，AB于 E,AD=AC,A评分/ CA或 CE于 F.求证:FD / CB.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF过E、F分别作DE1AQ BF AC 若 AB=CD请回答下列问题：(1) B阡分EF; (2)若将DEC勺边EC沿AC方向移动变为图2 时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。能力提高：.已知：/AOB=90, 0娓/AOB勺平分线，将三角板的直角顶P在射线OMt滑动， 两直角边分别与OA OB交于C D. PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论.如图，已知在 ABC , /ACB=90 / CAB=30 ACDzABE都是等边4

34、,DE交 AB于 F,求证：DF=EF.已知BD CE是 ABC勺高，点P在BD的延长线上，BP=AC点Q在CE上，CQ=AB 判断线段AP和AQ的关系，并证明.如图，点 C 在线段 AB 上，DAL AB, EB AB, FC AR 且 DA=BC EB=AC FC=AB /AFB=51 ,求/ DFE的度数.角的平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线 上。.角平分线的画法：例1.已知O是 ABCS条角平分线的交点，ODL BC于D,若OD= 5, ABC的周长等于20,则ABC勺面积等于Saabc=例2.如图，AABD勺三边AB B

35、C CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将 AB汾为三个三角形，则Sabo： S bco ： S cao等于.例 3.如图：在 ABC中，/BAC=90 , / ABD=1 / ABC,BCL DF,垂足为 F,AF 交 BD于 E。求证：AE=EF.例4.如图：在ABC, / B, /C相邻的外角的平分线交于点 D。求证：点D在/A的平分线上。例5.如图所示，已知4ABC中，AD平分/ BAC E、F分另U在BD AD上.DE=CDEF=AC求 证：EF/ AB.例6.在 ABB, ABACA混 / BAC勺平分线.P是AD任意一点.求证：AB-ACPB-PC 例7.如图，/ A

36、+/ D=1800 BE平分/ABC CE平分/ BCD点E在AD上.(1)探讨线段AB CD BC之间的等量关系;(2)探讨线段BE与CE之间的位置关系.例8.如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于 F, AF=EF求证：AC=BE课堂练习：.如图所示，在 ABC中，P 为 BC上一点，PR! AB于 R, PS，AC于 S, AQ= PQ PR =P&则下列三个结论中正确的是()AS= AR PQ/ ARzBR国ACSP A.和B.和C.和D.全对.如图，AB=AC BE! AC于 E, CF AB于 F, BE CF交于点 D,则 AB国 AACF

37、 ABDACDE点D在/BAC的平分线上，以上结论正确的是()A.B.C.D.在4ABC和ABC中，AB=AB; BC=BC;AC=AC;/ A=/ A;/ B=/ B; /C=/C;则下列哪组条件不保证 AB8ABC.()A.B.C.D.如图，已知点P到BE、BD AC的距离恰好相等，则点P的位置：在/ B的平分 线上；在/ DAC勺平分线上；在/ EAC勺平分线上；恰是/ B, /DAC / EAC 三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个. /AOB勺平分线上一点M, M到OA的距离为1.5cm,则M到OB的距离为.如图，AB/ZCQ

38、O是/ BAC /ACD勺平分线白交点，O且AC于E,且Of2,则AB与CD间的距离等于.已知 ABC的周长是15, /ABCffl/ ACB的平分线交于点O,过点O作ODL BC与点D,且OD=2求 ABC的面积。.已知BD= CD BF，AQ CE!AR 求证：D在/ BAC勺平分线上.如图，在 ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF/ AD交CA的延长线于点F,交AB于点G若BG=CF求证：AD为/ BAC勺角平分线.已知AABC /B=/ C, D, E分别是AB及AC延长线上的一点，且 BD=C E连接DE交底BC于G,求证GD=GE.如图，A, B两点位于一个池塘的两端，

39、小丽想用绳子测量 A、B间距离，但是绳 不够长.你能帮她设计测量方案吗？如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案， 并说明其中的道理.课后练习：1.如图，在RtAABC, /ACB=90 , CD CE分别是斜边 AB上的高与中线，CF是/ACB勺平分线。则/ 1与/2的关系是（）A. / 1/ 2D.不能确定.尺规作图作/ AOB勺平分线方法如下：以 O为圆心，任意长为半径画弧交 OA OB于C D,再分别以点G D为圆心，以大于cd长为半径画弧，两弧交于点 P,作射线OP由作法得OCPODP的根据是（）A. SASB ASAC AAS D. SSS.如图，在 ABC中，AC=BC /ACB

40、=90 . AD平分/BAC BE! AD交AC的延长线于F, E为垂足.贝U结论：AD=BFCF=CDAC+CD=ABBE=CFBF=2BE其中正确结论的个数是（）A. 1B.2C. 3D. 4.如图在RtAABCfr, Z C=90 , BD是/ABC的平分线，交于点 D,若CD=n AB=rp则 ABD的面积是.已知：如图，/ B=Z DEF； AB=DE 要说明4AB竽DEF；（1）若以“ASA为依据，还缺条件.（2）若以“AAS为依据，还缺条件.（3）若以“ SAS为依据，还缺条件.如图，C为线段AE上一动点（不与点A, E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE A

41、D与BE交于点O, ADW BC交于点P, BE与C或于点Q连结PQ.以下五个结论：AD=BEPQZAE;AP=BQDE=DP/ AOB=60 .恒成立的 结论有（把你认为正确的序号都填上）。.如图，OIW分/ POQ MAL OP,MB_ OQ A、B 为垂足，AB交 OMF点 N.求证：/ OABM OBA.已知/ABC=* C, /1 = /2, BE!AE,求证：AC-AB=2BE.已知，如图，在四边形 ABCM, BO AB, AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAD廿 BCD=180 .如图：在ABC+, /A=60 , /B, /C的平分线BE, CF相交于点O。求证：OE

42、=OF.已知AM为/人8勺中线，/ AMB / AMC勺平分线分别交 AB于E、交AC于F.求证：BE+CFEF能力提高：.如图，zABC中，/C=90 , AC=BCAD是/ BAC的平分线，DEIAB于 E,若 AC=10cm则4DBE的周长等于（）A. 10cmB 8cmC 6cmD 9cm.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公 路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处 B.2处 C.3处 D.4处.如图，已知 AE平分/ BAC,BE AE于 E,ED/ AC,/BAE=3 那么/ BED=.已知在 RtAABCfr, / C= 90 , AC=

43、BC AD为 / BAC勺平分线，DE!AB,垂足为 C.求证： DBE勺周长等于AB.如图，在 ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD BE并分别延长至F、G, 使 BE=EG,CD=DF,接 FA,GA.求证：AF=AG.如图：在 ABC中，/ C=90 , AC=BC D是AC上一点，AE! BD交BD的延长线于E,且 AE=1BD, 2DFAB于 F。求证：CD=DF.如图，在四边形ABC前，AC平分/ BAD过C作CE!AB于E,并且aeab ad）, 2求/ ABC+ ADC勺度数。.如图：AD是ABM/BAC的平分线，过 AD的中点E作EFLAD交BC的延长线于 F,连结AF。求证：/ B=/ CAE.已知 ABC中，AB=AC BD为AB的延长线，且 BD=AB CE为 ABC勺AB边上的中 线.求证CD=2CE.如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长 BE交AC于F, AF与EF相等吗？为什么？全等三角形复习一、选择题:.如图，OA=