Lecture3产品数字化造型技术

1、计算机辅助设计与制造Lecture 3 产品数字化造型技术1产品造型(modeling)的概念定义：研究如何以数学方法在计算机中表达物体的形状、属性及其相互关系，以及如何在计算机中模拟模型的特定状态。任务：是使计算机能够识别和处理对象，并为其他产品数字化开发模块提供原始信息。 分类： 60年代：线框造型技术 70年代：自由曲面造型和实体造型技术 80年代：参数化造型2实体模型3自由曲面的几何模型4实体模型表示实体模型的方法大致上可以分为两种：边界表示法 线框模型（Bounary Representation，B-Reps）体素构造法 实体模型（Constructive Solid Geomet

2、ry，CSG）5采用边界表示法的实体模型-线框模型6线框模型的优点（1）数据结构简单、模型所需数据量小、处理时间短、建模方便、操作容易。（2）线框模型包含了形体的三维数据，可以产生任意视图。7线框模型的缺点-1易产生多义性8线框模型的缺点-22. 拓扑关系缺乏有效性9线框模型的缺点-32. 线框模型的信息不完整10表面模型11表面模型的优点增加了面的信息。可以支持渲染、数控刀具轨迹生成等应用。曲面造型方法丰富。可以利用曲面的求交、拼合、重建等多样化手段来生成所需要的不规则曲面。12表面模型的缺点无法明确定义实体的存在侧。多义性问题仍然存在。无法计算和分析物体的物性（如表面积、体积等）13实体存

3、在侧的表示方法（1）定义表面的同时，给出实体存在侧的一个点P；（2）用一外向法矢量指明实体存在侧；（3）用有向棱线表示外向（通常为右手法则）法矢量的方向。14实体模型15几何元素的类型点：几何造型中最基本的元素边：两个或者多个相邻面之间的交界；具有方向性面：形体表面一个有限、非零的区域环：由有序、有向边组成的面的封闭边界；具有方向性体：由封闭表面围成的三维几何空间壳：由一组连续的面围成；分为外壳和内壳16几何信息和拓扑信息几何信息：用以表示几何元素的性质和度量关系，如位置、大小和方向等。形体是由几何信息和拓扑信息共同定义的。拓扑信息：用以表示几何元素之间的连接关系。17几何形体的层次结构点 （

4、vertex)边 （Edge)外壳 （Shell)环 （Loop)面 （face)体 （Body)18体素构造法19采用体素表示法的实体模型20体素的定义21平面形状的布尔运算 22立体形状的布尔运算 23边界表示法和体素构造法的比较 24自由曲线与自由曲面的几何建模构成汽车车体和人脸等的曲面用数学解析式来表达很困难。这种曲面称为自由曲面。同样，难以用数学解析式表达的曲线称为自由曲线。25问题的提出如何表达这条曲线？如何表现这条曲线？如何进行修改和编辑？26曲线的显式、隐式和参数表示显式表示y=f(x); e.g. y=mx+b缺点:给定一个X值，只能得到一个Y值，不能表示多值曲线(一个X对应

5、多个Y值).272. 隐式表示f(x,y)=0; 缺点: 与坐标轴相关；会出现斜率为无穷大的情况；不便于计算和编程序。 283. 参数表示在平面曲线的参数表示中，曲线上的每一点的坐标均要表示成一个参数化，例如用参数t表示，则曲线上每一点迪卡尔坐标的表达式:x=x(t)y=y(t)曲线上一点坐标的矢量表示是:P(t)= x(t) y(t) 29参数表示的优越性具有几何不变性，与坐标系的选取无关曲线的控制变量增加，有更大的自由度可以处理斜率无穷大的情形规格化的参数变量，自然具有边界便于将低维的曲线推广到高维30自由曲线的表示在CADCAMCAE系统中，要表达设计者在大脑中描绘出的三维空间自由曲线，

6、常采取将给定的曲线分成若干段，用比较简单的数学式子来表达各段曲线的方法。为此，先在计算机内设定x,y,z轴，用参数方程的形式来表示分段曲线。31若改变式中的t值，则点P（x，y，z）就会在空间移动，因而很清楚，上式表示的是空间曲线。曲线分段表达32主要的曲线表达方法内插法就是将函数P(t)以简单多项式 的形式给出，多项式的系数由分段节点上的连续条件来确定。近似法是在分段节点之外再指定若干个控制点，使函数P(t)不一定通过控制点，但要接近控制点，由此来确定函数P(t) 。33Ferguson曲线/三次Hermite曲线34将两个端点t0和t1得：对t求导数得：将t0和t1分别代入(33)式得：3

7、536Ferguson曲线方程三次Hermite曲线37缺点：1. 设计条件与曲线始末两点的切矢大小和方向有关，设计时不易控制；2. 如果定义高次Ferguson曲线需要用到曲线始末两点的高阶导数。 38贝塞尔曲线-近似法39404142 1. 当p-0时，曲线退化为直线段。 2. 当p03时p越大，曲线越逼近控制多边形； 3. 当p3时，曲线不再保凸，即曲线不再位于控制多边形围成的凸包内或闭环(自相交)，曲线持性变差；4344伯恩斯坦(Bernstein)基函数 45 1.位置：曲线首尾端点分别经过折线多边形的首末点，即P(0)Q0，P(1) Qn 2. 切矢：由B函数的导数性质，可以推出

8、所以，起点切矢P(0)n(Q1 - Q0)，P(1)n(Qn Qn-1)。 46对称性：由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的走向Q0-Q1Q2一Q3颠倒后， 曲线形状不变，但走向相反； 凸包性：Bezier曲线位于其控制顶点Q0到Qn组成的凸包中(这是由Bernstein基函数的正性与权性保证的)。保凸性：如果平面控制多边形是凸的(即多边形的任意两个顶点的连线都在多边形内或其边界上)，则Bezier曲线也是凸的；几何不变性：曲线的形状不随坐标系的变化而变化；7. 变差减少性：对平面Bezier曲线而言，平面内任意一直线与Bezier曲线的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点个数。

9、这说明曲线比控制多边形的波动小(更光顺)。47复杂Bezier曲线是通过多段简单Bezier曲线拼接而成的。两段曲线首末相连时，根据在连接点处的连续性条件不同，常分为几种几何连续(GC)情况：自由曲线的连续性48 GC0：零阶几何连续。 第一段曲线末点与第二段曲线起点重合。设两段曲线的起点和末点分别为p(0)，p(1)，q(0)，q(1)，则p(1)q(0)。对Bezier曲线而言，如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点重合，那么两段曲线是GC0连续的。49GC1：一阶几何连续。 如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点重合，并且后一段曲线的控制多边形的第一条

10、边与前一段曲线的控制多边形的最后一条边在一条直线上 。50GC2：二阶几何连续。 同时满足GC1的条件，而且后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点主法矢方向一致，曲率相同时为二阶连续。51UG曲线的连续性52Bezier曲线在自由曲线曲面设计上得到了广泛的应用，但也存在一些不足，主要是存在着以下几个问题：(1)很复杂的Bezier曲线不分段时，如果控制多边的顶点数为(N十1)，也就定义了曲线的次数为N一般控制多边的顶点数较多因而曲线的次数很高，数学计算很复杂；采用分段Bezier曲线时，如果要求拼接达到GC2连续，连续条件的计算相当繁琐。(2)权函数在开区间(0,1)内均不为零，

11、因此所定义的曲线在开区间的任何一点均要受所有顶点的影响，即改变其中任一个顶点的位置对整个曲线都有影响。因而，不便对曲线进行局部修改。(3)当曲线的次数N较大即控制多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱，即逼近曲线的程度减弱。 53B样条曲线54 二阶一次B样条曲线 将n1代入(310)式得 两个控制点定义一段B样条曲线，如果给定一系列控制点，则第i段B样条曲线方程为显然，此时曲线是直线段，就是特征多边形的边。移动控制顶点Q，只影响Qi-1Qi和QiQi+1二段。如图所示。55三阶二次B样条曲线将n2代入上(310)式得第i段曲线方程为56可以发现Pi段二次B样条曲线由Qi-1，Qi，Qi+1

12、三个控制点定义，Pi+1段曲线由Qi，Qi+1，Qi+2三个控制点定义(即往后顺移一个控制点)。图3-15所示为Q0，Q1，Q2，Q3四个控制点构成的二次B样条曲线。 57B样条曲线的递归定义58非均匀有理B样条(NURBS)曲线 Non-Unique Ratioanal B-Spline近年来随着CAGD的发展，NURBS技术有了较快的发展和较广泛的应用，其主要原因在于:1. 对标准的解析曲线(如圆锥曲线等)和自由曲线提供了统一的数学描述，便于工程数据库的管理相应用； 2. 保留了B样条曲线的节点插入、修改、分割以及修改控制点等强有力的技术，而且还具有修改权因子来方便地修改曲线形状的能力 3

13、. 具有几何变换不变性 4.非有理B样条曲线、有理及非有理Bezier曲线等均为NURBS曲线的表示待例。因此NURBS曲线具有更强的表达功能59NURBS曲线方程60自由曲面的表示 要用数学式近似表达自由曲面，可以将自由曲线的表示方法向曲面推广。对给定的曲面进行细分，用比较简单的数学方程式来近似表示各分割曲面。此时的分割曲面的各个单元称为曲面元。61自由曲面的方程62仿照参数曲线的定义，参数曲面可看成是一条变曲线按某参数v运动形成的轨迹，即参数曲面可表示为，这里两个u、v是描述曲面的参数，故这种曲面叫双参数曲面，一般表示为；63Coons曲面 6465Bezier曲面 6667特征造型和参数

14、化造型技术68CAD技术发展第一场CAD技术革命曲面造型技术（70年代初） 达索飞机制造公司 贝塞尔曲面 CATIA 价格昂贵，租用一套CATIA的年租金需1520万美元 软件商品化程度低，开发者本身就是CAD大用户，彼此之间技术保密 CV 由美国波音(Boeing)公司支持I-DEAS 由美国国家航空及宇航局(NASA)支持UG 由美国麦道(MD)公司开发CATIA 由法国达索(Dassault)公司开发 效益显著，许多车型的开发周期由原来的6年缩短到只需约3年。 69第二场CAD技术革命实体造型技术 起因：有了表面模型，CAM的问题可以基本解决。但由于表面模型技术只能表达形体的表面信息，难

15、以准确表达零件的其它特性，如质量、重心、惯性矩等，对CAE十分不利，最大的问题在于分析的前处理特别困难。 障碍：但是由于计算量大，很多公司并没有真正投入。而着重于表面模型的研发。 结果：CV最先在曲面算法上取得突破，取得了市场领导者的地位。70第三场CAD技术革命参数化技术 起因：80年代末 硬件成本 20+万美金-几万美金 一些中小企业对CAD软件有需求。 参数化技术特点：基于特征、全尺寸约束、全数据相关、 尺寸驱动设计修改。 障碍：主要市场是飞机和汽车用户，注重自由曲面功能。而参数化技术不能提供很好的工具。 结果：Pro/E进入了市场，参数化技术普及71第四场CAD技术革命变量化技术 代表

16、者：1993年 SDRC 起因：“一定要全约束吗？”“一定要以尺寸为设计的先决条件吗？”“欠约束能否将设计正确进行下去？” 历程： I-DEAS MS 1 用主模型技术统一数据表达，变量化构画草图；I-DEAS MS 2 变量化截面整形；I-DEAS MS 3 变量化方程；I-DEAS MS 4 变量化扫掠(曲面)；I-DEAS MS 5 变量化三维特征，VGX；I-DEAS MS 6 变量化装配，PMI等。72参数化技术的需求传统的CAD 技术都是用固定的尺寸值定义几何元素，每一个几何元素都有固定的位置。如果要修改设计内容，就必须删除原来的几何元素后重新绘制。在任何一个设计过程中，大量的修改

17、和反复是不可避免的。以传统的设计CAD 技术进行设计，会使设计者陷入大量的、繁杂的绘图的工作中。 AutoCAD采用了参数化技术吗？73特征的定义广义：产品开发过程中各种信息的载体，包括：零件几何信息、拓扑信息、形状公差、材料、装配、热处理和表面粗糙度。狭义：具有一定拓扑关系的一组实体体素构成的特定形体74特征的分类形状特征：描述几何形状，最重要，也是其他特征的载体装配特征：如简化表达，模型替换精度特征：如尺寸公差，形位公差和表面粗糙度材料特征：如材料的机械性能，物理性能性能分析特征：如有限元网格划分补充特征：如一些管理信息75传统造型系统传统的造型方法建立的几何模型具有确定的形状及大小。一旦

18、模型建立，零件的形状和尺寸的编辑、修改过程繁琐，难以满足产品修改，产品变异设计和系列化开发的要求。 这类系统一般称为静态造型系统或者几何驱动系统。76参数化造型参数化造型使用约束来定义和修改几何模型。约束反映了设计时要考虑的因素，包括尺寸约束和拓扑约束。参数化设计中的参数与约束之间具有一定关系，当输入一组新的参数数值，而保持各参数与约束关系时，就可以获得一个新的模型。 这种系统也成为动态造型系统或者参数驱动系统。77尺寸驱动 如果给轮廓加上尺寸，同时明确线段之间的约束，计算机就可以根据这些尺寸和约束控制轮廓的位置、形状和大小。 所谓尺寸驱动就是指当设计人员改变了轮廓尺寸数值的大小时，轮廓将随之

19、发生相应的变化。 78变量驱动 变量驱动将所有的设计要素如尺寸、约束条件、工程计算条件甚至名称都视为设计变量，同时允许用户定义这些变量之间的关系式(Relationships)以及程序逻辑，从而使设计的自动化程度大大提高。 79合理性检查 在传统的人工设计过程中，尺寸不足、多余和相互矛盾是很难避免的，然而在参数化设计系统中，计算机能够帮助设计人员正确地标注尺寸，过多和过少的尺寸都能被计算机发觉，计算机会在恰当的时候向设计人员提出忠告 80参数化造型系统的分类尺寸驱动系统也称为参数化造型系统，只考虑尺寸及拓扑约束。采用预定义的办法建立图形的几何约束集，并制定一组尺寸作为参数与几何约束集相联系。通

20、过改变尺寸来驱动图形。变量设计系统 除了考虑尺寸约束和拓扑约束外，还考虑了工程约束。81参数化设计方法变量几何法 它将图形中的各种约束转化为一组非线性方程组 ,然后用牛顿拉普森迭代等代数方法对方程组进行整体求解。几何推理法 它是基于几何构成 ,将几何约束化为一阶谓词 ,通过专家系统进行几何推理逐步确定出未知的几何元素。图形操作法 将几何约束直接在图形设计、绘制的交互过程中表示 ,每一步图形操作对应于一定的计算程序得到的几何元素 ,所有的计算都是局部的。 8283 将建立的约束方程组构造其结构矩阵B,并依据图论采用增广路径法求出未知数与约束方程所组成的二部图的一组最大匹配; 84有向图 G凝聚图

21、G依据约束方程集与变量集的最大匹配得到约束有向图G。将图中的各强连通分量分别标记为一个凝聚顶点,得到凝聚图G 85 对凝聚图G进行拓扑排序得到约束子集序列:1、2、6、5、8、3,4,7、9,10、11,12; 依据图2中得到的约束方程集与变量集的最大匹配,得图中的几何约束的全局求解方程组序列: (a)f1:x1 (b)f2:x2 (c)f3:x6 (d)f4:x5 (e)f8:x8 (f)f5,f6,f7:x3,x4,x7 (g)f9,f10:x9,x10 (h)f11,f12:x11,x12; 对(a)、(b)、(c)、(d)、(e)可以分别单独求解;对(f)、(g)、(h)联立为子方程组

22、,采用Newton-Raphson迭代等方法求解。86参数化设计的主要特点 基于特征全尺寸约束 尺寸驱动设计修改 全数据相关 87参数化设计的副作用 使用者必须遵循软件内在使用机制，如决不允许欠尺寸约束、不可以逆序求解等 当零件形状比较复杂时，参数化系统的尺寸表达过于复杂由于只有尺寸驱动这一种修改手段，变化难以控制88变量化设计 变量化设计（Variational Design）是指设计对象的修改需要更大的自由度，通过求解一组约束方程组来确定产品的尺寸和形状。约束方程驱动可以是结合关系，也可以是工程计算条件。约束结果的修改受约束方程驱动。 89变量化技术的特点 变量化技术将参数化技术中所需定义

23、的尺寸“参数”进一步区分为形状约束和尺寸约束，而不是像在参数化技术中那样只用尺寸来约束全部几何形状。 90变量化设计系统的指导思想 设计者可以采用先形状后尺寸的设计方式，允许采用不完全尺寸约束，只要给出必要的设计条件，就能保证设计的正确性及效率。 91变量化技术和参数化技术的异同参数化技术在设计全过程中，将形状和尺寸联合起来一并考虑，通过尺寸约束来实现对几何形状的控制；变量化技术将形状约束和尺寸约束分开处理。参数化技术在非全约束时，造型系统不许可执行后续操作；变量化技术由于可适应各种约束状况，操作者可以先决定所感兴趣的形状，然后再给一些必要的尺寸，尺寸是否注全并不影响后续操作。 参数化技术的工

24、程关系不直接参与约束管理，而是另由单独的处理器外置处理；在变量化技术中，工程关系可以作为约束直接与几何方程耦合，最后再通过约束解算器统一解算。92变量化技术和参数化技术的异同由于参数化技术苛求全约束，每一个方程式必须是显函数，即所使用的变量必须在前面的方程式内已经定义过并赋值于某尺寸参数，其几何方程的求解只能是顺序求解；变量化技术为适应各种约束条件，采用联立求解的数学手段，方程求解顺序无所谓。参数化技术解决的是特定情况（全约束）下的几何图形问题，表现形式是尺寸驱动几何形状修改；变量化技术解决的是任意约束情况下的产品设计问题，不仅可以做到尺寸驱动（Dimension-Driven），亦可以实现约束驱动（Constrain-Driven），即由工程关系来驱动几何形状的改变，这对产品结构优化是十分有意义的。 93其它技术差异特征的管理 参数化技术在整个造型过程中，将所构造的形体中用到的全部特征按先后