一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用

1、学习必备欢迎下载一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1掌握一元二次方程根的判别式的应用2掌握一元二次方程的根与系数的关系【主体知识归纳】b221一元二次方程的根的判别式：4ac叫做一元二次方程axbxc0（a0）的根的判别式通常用符号“”来表示2对于一元二次方程ax2bxc0（a0），当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根反过来也成立3.如果关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根是x，x，12那么x+x=-12ba，xx=12ca4.如果关于x的一元二次方程x2pxq0（a0）的两个根是x，x，12那么x+x=

2、-p，xx=q1212【基础知识讲解】1根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指b24ac，而不是指b24ac3根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数的符号4如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b24ac0，不要丢掉等号5.利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b24ac06判别式有以下应用：学习必备

3、欢迎下载(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x22x10；（2）y22y4；（3）（2k21）x22kx10；（4）9x2（p7）xp30（系数中有字母的情况）解：(1)（2）243（1）4120，原方

4、程有两个不相等的实数根(2)原方程就是y22y40（2）24144160，原方程无实数根(3)2k210，原方程为一元二次方程又（2k）24（2k21）14k240，原方程无实数根(4)（p7）249（p3）（p11）236，不论p取何实数，（p11）2均为非负数，(p11)2360，即0，原方程有两个不相等的实数根升级:如果关于x的方程x22xm9没有实数根，试判断关于y的方程y2my2m50的根的情况学习必备欢迎下载这是一类需要自己找出隐含条件的题解：x22xm90没有实数根，224(m9)4m400，1即m10又y2my2m50的判断式m4(2m5)m28m20222当m10时，m28m

5、200，即02方程y2my2m50有两个不相等的实数根类型2：1.已知关于x的一元二次方程(k1)x22kxk30k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?解：(2k)24（k1）（k3）8k12(1)当8k120，且k10，即k3且k1时，方程有两个不相等的2实数根；(2)当8k120，且k10，即k3时，方程有两个相等的实数根；2(3)当8k120，且k10，即k3时，方程没有实数根2说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零2已知a、b、c是ABC的三边，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=

6、0有两个相等的实数根，则此三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、斜三角形看到有两个相同的实数根立即判断应用根的判别式解：原方程可化为（a+c）x22bxa-c0，(2b)24（a+c）（a-c）0得到a2=b2+c2，因此此三角形为直角三角形。升级：已知关于x的方程x2+(2m+1)+m2+2=0有两个不相等的实数根，试判断直线y=(2m-3)x-4m+7能否通过点（-2，4），并说明理由这是与一次函数相结合的题目4解：一元二次方程有两个不相等的实数根(2m+1)2（m2+2）4m-60，3如果直线y=(2m-3)x-4m+7能通过点（-2，4）m=2k5，(或2k)学习必

7、备欢迎下载即m3。2982所以不通过。类型3:（1）求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(bx)24(ax)(cx)0必有实数根证明:原方程可化为3x2(4a4c2b)xb24ac0，(4a4c2b)24(3)(b24ac)16a216b216c216ab16bc16ac8(ab)2(ac)2(bc)2不论a、b、c为何值，都有(ab)20，(bc)20，(ca)208(ab)2(bc)2(ca)20方程必有实数根（2）已知方程x2+2x=k-1没有实数根。求证：方程x2+kx=1-2k有两个不相等的实数根。也是一类需要自己找出隐含条件的题解:第一个方程224(-k+1)0即k0第二个方程

8、k24(-1+2k)=k28k+4=（k-4）2-16在k0的情况下必大于0根与系数的关系类型1;如果x2是方程x2kxk50的一个根，求k的值，并求出方程另一个根。解:设另一个根为，据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组222kk50即有k25；37xx1，xx33学习必备欢迎下载3k1，解这个方程组，得1k3类型2求作以方程3x2x10的两根的负倒数为根的一个一元二次方程。解设方程3x2x10的两根为x，x，则1211212，。所求方程两根为11xx122311xxxx111xx112123()31x111xxx212所求方程为y2y30类型3设方程4x27x30的两根为x，x，不

9、解方程，求下列各式的值：12(1)(x3)(x3)12(2)x3x312(3)xx21x1x112(4)xx12其关键是将它们用x+x，xx表示出来，如何表示呢？常用的变形有：1212解(1)x2x2(xx)22xx；121212(2)(xx)2(xx)24xx；121212学习必备欢迎下载(3)xxxx121211xx12；xx7，xx4439()33()(4)(xa)(xa)xxa(xx)a2121212(5)x3x3(xx)(x2xxx2)12121122(xx)(xx)23xx121212(xx)33xx(xx)121212由根与系数的关系可得：31212(1)(x3)(x3)xx3(

10、xx)912121237443(2)x3x3(xx)33xx(xx)1212121273744459564(3)xxx(x1)x(x1)122211x1x1(x1)(x1)1212(xx)22xx(xx)121212xx(xx)11212()22()4737443714410132()24()(4)xx(xx)21212(xx)24xx12127344学习必备欢迎下载1497类型41.已知关于x的一元二次方程：x22(m2)xm240的两个实数根的平方和比这两根的积大84，求：实数m的值。这一块很容易和根的判别式结合在一起解设方程两根为x，x12xx2(m2)，xxm241212由题意可得：x

11、2x2xx84即：(xx)23xx84121212122(m2)23(m24)84m20，m4122(m2)24(m24)16m0m0m20(舍去)m42设关于x的方程x22mx2m40（1）证明：不论m为何实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）m为何实数时，两根之差的绝对值等于4。（1）证明：4m24(2m4)4m28m164(m22m4)4(m1)212(m1)20，4(m1)2120此方程有两个不相等的实数根。（2）设：方程的两根为x，x，则x+x=2m1212xx2m4，又|xx|(xx)24xx121212122(m1)234得(m1)21，解得m0，m2，故12学习必备欢迎

12、下载当m0或m2时，方程两根之差的绝对值等于4。升级：已知：关于x的方程：x23x2k10的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y12k的图象的两个分支在各自的象限内y随x的x增大而减小，求满足上述条件的k的整数值。与反比例的结合解关于x的方程x23x2k10有两个实数根。324(2k1)0，解得k138设方程两根x，x，xx3，xx2k1121212x2x2xx121k1382(xx)23xx0，k21212y反比例函数12kxy的图象的两个分支在各自象限内随x的增大而减小，k12k0，即k11328k的整数值为0，112类型5已知x，x是关于x的一元二次方程4x24(m1)x

13、m20的两非零12实数根，问x与x能否同号？若能同号，请求出相应的n的取值范围；若不能12同号，请说明理由。解：因为关于x的一元二次方程4x24(m1)xm20有两个非零实数根，则有4(m1)244m232m160，m1。2学习必备欢迎下载又x，x是方程4x24(m1)xm20的两个实数根，所以由一元二次方程12根与系数的关系，有：xx(m1)，xx1212假设x、x同号，则有两种可能：12(1)x0，x0(2)x0，x01212若x0，x0，则有1214m2。1即有14mxx02x1x20(m1)020解这个不等式，得m1且m0。即：当m12且m0时，原方程两根能同号。若x0，x0，则有12

14、1即有1xx02x1x20(m1)04m20解这个不等式，得：m1。而m12时方程才有实数根，所以此种情况不存在。综上所述：当m且m0时，原方程两根能同号。12根的判别式与根与系数关系的综合题1（2010年绵阳市）已知关于x的一元二次方程x2=2（1m）xm2的两实数根为x，x12（1）求m的取值范围；（2）设y=x+x，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值12解：（1）将原方程整理为x2+2（m1）x+m2=0原方程有两个实数根，eqoac(,=)2（m1）24m2=8m+40，得m学习必备欢迎下载（2）x，x为x2+2（m1）x+m2=0的两根，12y=x+x=2m+2，且m12因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值12(2001年湖北省荆门市)已知关于x的方程x2(k2)x2k0，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a1