简单分形维数的探究

1、简单分形及维数的研究（河南大学，物理与电子学院，物理学，河南开封，475004）摘要：本文介绍了分形、维数的相关知识，并以简单分形做例子进行了演示，又求得了 Sierpinski三角分形及埃侬映射的维数。关键词：分形，维数，程序设计。一、分形分形（fractal）是指由各部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。对这一描述 加以引伸，它可以包括以下含义：分形可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；分形可以同时具 有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性。分形的创建历史：曼德勃罗在美国科学杂志上发表论文英国的海岸线有多长震惊学术界（1967 年

2、）。法兰西学院讲演报（1973年）。（3） “病态”“数学怪物”命名一一 形（Fractal）（1975年）。法文版分形对象：形、机遇和维数出版（1975年）。英文版分形：形、机遇和维数出版（1977年）。英文版大自然的几何学出版（1982年）。分形是由Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程而引入自然领域的。 原意是破碎的、不规则的物体。分形分为两类，规则分形，又称决定类的分形，它是按一定的 规则构造出的具有严格自相思的分形；另一类是无规则的分形，它是在生长现象中和许多物理 问题中产生的分形，其特点是不具备严格意义上的自相似，只是在统计意义上是自相似的。本 文研究的是

3、规则分形。有以上可知，自相似性是分形最大的几何特征。下面我们就科赫曲线和Sierpinski对此进 行讨论。1、科赫曲线科赫曲线的生成方法：把一条曲线三等分，中间的一段用夹角为60的折线替代，得到第一个 生成元；把第一个生成元中的每一条直线都用生成元迭代，得到第二个生成元；经过无数次迭 代，即可得到科赫曲线。实现程序如下：s=0,1;t=0,0;n=8;for j=1:nx=;y=;for i=1:length(s)-1d1=s(i+1)-s(i);d2=t(i+1)-t (i);x1=s(i)+0,d1/3,(s(i+1)+s(i)/2-sqrt(3)/6*d2-s(i),2/3*d1,d1

4、;y1=t(i)+0,d2/3,(t(i+1)+t (i) )/2+sqrt(3)/6*d1-t(i),2/3*d2,d2;if i=1x=x,x1;y=y,y1;elsex=x,x1(2:5);y=y,y1(2:5);endends=x;t=y;plot(x,y,c)endaxis equaln取不同值时得到如下图像：n=1时的科赫曲线n=2时的科赫曲线n=3时的科赫曲线n=7时的科赫曲线由以上各图，我们很清晰的看到科赫曲线的自相似特征。2、Sierpinski 三角生成方法：从一个三角形进行迭代操作：将其4等分，去掉中心部分，无限制的进行此操 作即可得到。实现程序如下：clear;a=1;

5、b=0.5;c=1;k=8;A=zeros(2,3八(k+1);A(:,1:3)=0 a b;0 0 c;for n=1:k;B=1/2*A;A(:,1:3An)=B(:,1:3An);A(:,3An+1:2*3An)=B(:,1:3An)+1/2*a;0*ones(1,3An);A(:,2*3An+1:3A(n+1)=B(:,1:3An)+1/2*b;c*ones(1,3An);endfor i=1:3Ak;patch(A(1,3*i-2:3*i),A(2,3*i-2:3*i),b);end调整k的大小，即可得到如下三角分形图：K=3时分形图K=7时分形图上图我们可以知道，Sierpinsk

6、i三角分形的自相似性存在。根据上述论述，自相似性是规则分形的必备特征。二、维数无论其起源或构造方法如何，所有的分形都具有一个重要的特征：可通过一个特征数，即 分形维数测定其不平度，复杂性或卷积度。最早将维数从整数推广到非整数中去的是豪斯道夫(Hausdorff)和贝西科维奇 (Besicovitch)。豪斯道夫于1919年首先提出连续空间的概念，认为空间维数不是跃变的，而 是可以连续变化的，既可以是整数，也可以是分数。而贝西科维奇则证明对任何集合S存在一 个实数D，使得d维测度对dD为零，这个临界的D就称为S的豪斯道夫一贝西科维奇维数（或称分形维数），简称分维。分维是定量描写分形的重要参数，有

7、多种定义 和计算方法。一般地，把一个Df维几何物体的每维尺寸放大L倍，就得到一个原来的几何对象，令：K=LADf对此式两段取对数得：Df=log（K）/log（L）。上式中的Df即为豪斯道夫一贝西科维奇维数的定义。当然，我们缩小几何对象来定义分维。把一个Ds维的几何对象等分成N个小的几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的r倍，而N个小图形的总和应为：N*rADs=1Ds=log （n）/log （1/r）r称为局部与整体的相似比，Ds即称为相似维数。本文通过盒子维数法进行维数的计算。盒子维数计算相似比复杂图形时，采用小方块（或圆片）去覆盖（或填充）被测对象，统计覆盖所需的方 块数来计算其维数。

8、如此方法计算的维数称为容量维数，即盒子维数。现用长度为r尺子去测长度为L的线段，L与r之比为N。N值的大小与r长短有关，r越小N越大：N （r） 1/ r取对数得盒子维数：D=lg （N）/lg （1/r）（在r趋近0时）根据上述叙述可知，有Sierpinski三角分形生成过程可知，边长扩大2倍时，面积扩大3倍，所以维数 D=lg （3） /lg （2） =1.585。下面介绍一下用程序实现盒子维数的基本思路。我们取一个合适的边长做一个正方形，使 它包含所有点，然后不变减少正方形边长，最后我们查出有点的盒子数目即N，（如下图）由 于我们不可能取到r无限接近0，但根据上诉叙述，边长的对数和盒子数

9、目的对数是呈线性关系的，我们可以多求几组，作图求斜率，而斜率即为维数。r=1.01 N=4r=0.5005 N=12r=0.25025 N=36r=0.125125 N=126实现程序如下：clear;a=1;b=0.5;c=1;k=8;A=zeros(2,3八(k+1);A(:,1:3)=0 a b;0 0 c;for n=1:k;B=1/2*A;A(:,1:3An)=B(:,1:3An);A(:,3An+1:2*3An)=B(:,1:3An)+1/2*a;0*ones(1,3An);A(:,2*3An+1:3A(n+1)=B(:,1:3An)+1/2*b;c*ones(1,3An);end

10、for i=1:3Ak;patch(A(1,3*i-2:3*i),A(2,3*i-2:3*i),b);enda1=1:3A(n+1);b1=1:3A(n+1);for i=1:3A(k+1)a1(i)=A(1,i);b1(i)=A(2,i);endx1=1:20000;x=1:20000;y1=1:20000;y=1:20000;x(1)=0;y(1)=0;r=1;m=1;k1=2;for i=l:4r=r/2;m=l;for j=l:(kl-l)xl(m)=x(j);yl(m)=y(j);m=m+l;xl(m)=x(j)+r;yl(m)=y(j);m=m+l;xl(m)=x(j);yl(m)

11、=y(j)+r;m=m+l;xl(m)=x(j)+r;yl(m)=y(j)+r;m=m+l;endk2=l;nl=0;for il=l:(m-l)for jl=l:3A(k+l)if al(jl)=xl(il)if bl(jl)=yl(il)x(k2)=xl(il);y(k 牛 yl(il);k2=k2+l; nl=nl+l;break;endendendendendendkl=k2;end对k取不同值，可以得到不同变长下N的值，在此程序中用nl表示，经过尝试，时, 我们得到了比较准确的维数，下面是得到的结果。Irnllg(1/r)lg(nl)240.301030.602064130.6020

12、61.1139438400.903091.60206161211.204122.082785323641.505152.5611016410931.806183.0386212832802.107213.51587425698412.408243.993039512295142.709274.470028经过处理（表中有9组数据，图中有6个点，因为前几组数据不准确舍去），得到下图:我们埃侬映射是一个二维映射，是有天文学家埃侬首先计算出来的离散型映射，有两个控制参数，M和b。Xn+1=1中 Xn2+ynVn+1=bXn求维数的主体结构和上一个程序相同，在这里不再展示。只写出求埃侬映射的程序。卿=

13、1.42，b=0.3a=1:40000;b=1:40000;a(1)=063135448;b(1)=018940634;for i=1:40000a(i+1)=1-1.42*a(i)人2+b(i);b(i+1)=0.3*a(i);end我们经过改变盒子边长（这里初始边长设为15），可以求得一下数据。Irnllg(1/r)lg(nl)0.66672-0.176070.301031.333350.1249280.698972.6667160.425974f 1.204125.3333380.7269961.57978410.666794r 1.028031.97312821.33332271.32

14、90582.35602642.66675431.6300892.734885.333312811.9311193.107549170.666729952.2321493.476397341.333364812.5331793.811642如上方法进行处理，得到:所以，在我们取定的参数下：维数D=1.259。00.511.522.5如果改变一下参数：=1.41，b=0.3得到了如下的结果:|0.66672-0.176070.301031.333350.1249280.698972.6667160.4259741.204125.3333380.7269961.57978410.6667921.028031.96378821.33332201.3290582.34242342.66675231.6300892.71850285.333312231.9311193.087426170.666728142.2321493.449324341.333361052.5331793.785686通过处理:系列1线性（系列1自相似性是规则分形的必备特征，表现十分明显。可以看出，只要取得次数足够多，分形是无限的。维数是表征分形的一个重要参量。对于规则分形可以通过其几何特征得到维数。同时经过对比，我们了解数盒子是求盒子维数的一种有效方