回归分析的基本思想及其初步应用

1、3.1回归分析的基本思想及初步应用(1)哈尔滨市第三中学 郜新利（1）作散点图（用样本点是否呈直线 趋势来判断两个变量是否线性相关）想一想？求回归直线方程步骤：复习回顾（3）根据回归直线方程进行预报（2）求回归直线方程用什么方法求 ？最小二乘法. 利用最小二乘法可以得到 的计算公式为: 为样本中心点.例1. 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：编号12345678身高(cm)165165157170175165155170体重(kg)4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172c的女大学生的体重.探索新知是体重的精确

2、值吗？平均体重的估计值大多数身高为172c的女大学生体重在60.316kg附近！由最小二乘法得到： 由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，不共线,因此线性函数模型只能近似地刻画身高与体重之间的关系.回归模型的基本思想抽 样分 析样本模 拟实际 从散点图可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系： ,其中 和 为模型的未知参数， 是y与样本的回归直线 之间的误差,通常 为随机变量，称为随机误差.（注解： 是身高 所对应的真实体重值； 中， 与 分别是 与 的估计值，即 是 的估计值.）一般假定 的均值为0，方差这样，线性回归模型的

3、完整表达式为： 只能解释部分 的变化 ，因此 称为解释变量， 为预报变量. 越小，通过样本回归直线 预报真实值 的精度就越高. 随机误差 的主要来源（3）模型误差（2）观测误差（1）忽略了某些因素影响用线性回归模型近似真实模型所引起的误差影响变量 的因素不只变量 一个 测量工具造成的误差线性回归模型中， 是用 预报真实值 的误差，它是一个不可观测的量.想一想？如何来衡量预报的精度呢？又应该怎样研究随机误差？用方差 衡量随机误差的大小为了衡量预报的精度,需要估计 的值！解决问题的途径是通过样本的估计值来估计 .随机误差 ， 因为 是 的估计量，所以， 是 的估计量.对于样本点而言,相应它们的随机

4、误差为：其估计值为：称为相应于点 的残差.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为 的估计量，称为残差平方和，越小，预报精度越高. 计算下表中女大学生身高和体重的原始数据的相应的残差数据. 编号12345678身高(cm)165165157170175165155170体重(kg)4857505464614359残差 坐标轴纵轴为残差，横轴可以选为样本编号或身高数据等，这样做出的图形称为残差图. 错误数据若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；异常点对于远离横轴的点，要特别注意. 模型问题带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高 研究两个变量间关系时，首先根据散点图来粗略判断

5、它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差 来判断模型拟合的效果，这种分析工作称为残差分析. 通过残差分析，可以使回归方程达到更好的拟合效果.另外，还可以用相关指数 来刻画回归的拟合效果.相关指数 计算公式为： 越大，模型拟合效果越好. 越接近1，回归的效果越好；若用几种不同回归方程进行回归分析，选 择 大的模型.在含有一个解释变量 的线性模型中，R2=r2 . 残差平方和越小，模型拟合效越好.表明“女大学生的身高解释了 的体重变化”或者说“女大学生的体重差异有 是由身高引起的” .预报时应该注意的问题(1) 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体(2) 回归方程具有时间性(3) 回归方程有适用范围(4) 预报值不是精确值是平均值的估计值例如：（2）画出散点图 建立回归模型的基本步骤是否存在线性关系（1）确定解释变量和预报变量（3）确定回归方程类型 （4）求出回归方程 （5）分析残差图是否存在异常点小 结 实际问题 样本分析 回归模型抽样回归分析预报精度预报残差分析作业:90习题. 第题请多提宝贵意见，谢谢！邮箱：天 数24568销售量 3040605070现有如下两个模型：（1）（2）试比较哪一个拟合效果更好. 练习1. 某书店统计某种书近期的销售量，销售 天数 及当天销售量 （本）的部分数据如下：参照公式：合作探究天 数2456