复合材料力学

1、 第九章复合材料力学材料力学的任务是研究均匀、各向同性材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。自20世纪40年代开始，现代复合材料得到了飞速发展，这种由两种或两种以上组分材料复合而成的多相材料，其物理、化学、力学等性能，满足了任何单一材料都难以满足的性能要求。然而，这种复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律已不同于像传统金属材料那样的规律，因此复合材料力学就是研究这种新型的材料在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计复合材料构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。本章介绍的复合材料力学是以纤维和塑料组成的纤

2、维增强复合材料为主要对象的，主要介绍连续纤维增强复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。各向异性体弹性力学基础传统的金属材料一般看作是各向同性体，通常在弹性范围内研究其变形和受力采用的是各向同性体弹性力学。然而纤维增强复合材料最常用的是层合板结构形式，即由纤维和基体组成一种铺层（或称单层），并以不同方向层合而成一种多向层合板（如果同一种铺层都处于同一方向称为单向层合板）。这种层合板成为复合材料结构件的基本单元，而铺层是层合板的基本单元。因此本章介绍复合材料的刚度与强度，是从介绍铺层的刚度与强度开始，然后介绍多向层合板的刚度和强度。铺层是由无纬布或交织布经预浸胶处理并按实际结构件的形状及构

3、成多向层合板所规定的方向进行铺设，然后加温（或常温）固化制成。所以铺层、层合板和复合材料结构件是一次完成的一般的铺层（无论是无纬布或交织布形成的）是正交各向异性的，即具有两个相互垂直的弹性对称面。因此复合材料不同于金属材料，它具有各向异性的弹性特性，为此首先要对各向异性体弹性力学作一简要介绍。各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学的主要差别，仅在于应力-应变关系的不同，而解决弹性力学问题还需涉及的平衡方程、几何方程、协调方程和边界条件等，则完全相同。这是由于在这里，假设铺层也是连续的、均匀的（不考虑铺层组分材料各自的性能差别及其相互作用，而将两相材料的影响反映在平均的表观性能上）、线弹性的和小

4、变形的。所以，本节只对各向异性体弹性力学的应力-应变关系作简单的介绍。踐9-1三维应力状怂的应力分it各向异性体的应力-应变关系一般情况一般情况下，均匀连续体中的任意一点所取出的单元体具有图9-1所示的三维应力状态。一点的应力状态由6个应力分量所确定，而同一点附近的变形状态由6个应变分童所确定。由于将铺层看作是均匀的、连续的，且在线弹性、小变形情况下，应力与应变可以取如下线性关系式，称为应变-应力关系式为G=呈|6+珀亠S+|宀，Me冷一恳“叭+$t时，r&川=I占*J壽r丄+&課匚，匕乩亿十，皿I-S2,ac卜亠J、=+耳订巧打r=Sg5j.轧兀十SuTj,-l应尹“+几“F“百：,：6+弘

5、儿J口竹乱心-STrr弘:“厂，=弘兀+算+5s；r,+乩心十吾応=亠2“(&-1)或改写成应力-应变关系式为 09) 式（9-1）和式（9-2）可分别简写成或分别简写成张量形式为匕一特-1.2乩卩-引并-CGJ：1,器3仁介心汀幻其中S称为柔量分量，C称为模量分量。TOC o 1-5 h zijij显然，模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵是互逆的，即C/-:S-1iFI（9-7）模量分量与柔量分量称为弹性系数。各向异性体的弹性系数共有36个。实际上，独立的弹性系数只有21个，因为模量或柔量存在对称性，即c=CS二Sijjiijji面给予简要的说明。9-8)根据线弹性假设，各向异性弹性体在

6、受到应力而引起应变时，所储存的单位体积的弹性应变能w为+叫勺卜巧勺+叭十+p5eB）这是用应变分量来表示的单位体积的弹性应变能，是的单值连续函数，则dw为w的全微分可表达为另一方面，单位体积上的应力-，石，石在应变，1261-，-有微小变化d-,d,d-时，则此单位26126体积的应变能增量dw为叭d哥十4-Pjdtj+a4dt4+忑題亠C9-11)将式（9-10）与式（9-11）比较，可得(9-12)=-d-11于是由式（9-2）得由式（9-13）对不同的应变再取一次导数，得般来说，因为函数对两个变量求导时，与求导的次序无关，即ataTfat,所以，同理也可证明，可见模量分量和柔量分量的矩阵

7、都是对称的，也就是说，独立的弹性系数实际只有21个。当铺层在任意坐标系卿：下时（如图9-2所示）其应力应变关系即为此情况。9.1.1.2有一弹性对称面情况当xoy面为弹性对称面时，将垂直于弹性对称面的方向称为材料主方向，或称为弹性主轴，此时z轴即为弹性主轴。在存在一个弹性主轴的情况下，利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-1）和式（9-2）中的下列系数为零因而得到有一弹性对称面情况的应力-应变关系式为6321或应变-应力关系式为式（9-16）和式（9-17）中，独立的弹性系数减少为13个。当铺层面为xoy坐标面坐标z轴为垂直于铺层面的坐标时，则xoy平面为弹性对称面，z轴为弹性

8、主轴时（如图9-3）,其应力-应变关系即为此情况。S9-3在有弹性对称面情况的铺层9113正交各向异性的情况正交各向异性系指有三个互相垂直的弹性对称面（可以证明，具有两个互相垂直的弹性对称面必存在另一个与之垂直的弹性对称面），也即有三个互相垂直的弹性主轴同样利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-16）和式（9-17）中的下列系数为零C越C翱=0（918m=SmS3?=出50（9-19）由于垂直于弹性对称面的方向为材料主方向，本节情况的坐标也正好设在三个材料主方向上，根据一般的习惯，材料主方向采用1,2,3,故改用坐标系1,2,3,弹性系数的上方也不加“-”，故得正交各向异性悄况

9、的应力应变关系式如下：2Q)或应变-应力关系式为TOC o 1-5 h z九sxt5ia0鈴uS*、0000050000（51）独立的弹性系数减少为-000Q式（9-20）和式（9-21）中，9个。当铺层的三个相互垂直的材料主方向以1,2,3为坐标时（如图9-4所示），其应力一应变关系即为此情况。图卜4在止交各向异性悟况的铺层9114横向各向同性的情况若2-3坐标面为各向同性面，即在这个平面的一切方向，弹性性能均相同，则称为横向各向同性的情况。在此情况下利用在2-3面各向同性时有关弹性系数之间的关系，可得如下关系5Ji!Q=44=QflG=CCt!Cjjj/j(9-22)i3Sn=S5&a5h

10、S理=2(5215)C&-23)所以横向各向同性情况的应力-应变关系式在式(9-20)的基础上变为CCuct3000CnC?J000qCu匚!7000000Ct；一匸為Q0r310000匸舸04Sit.Lo00007urC&-24）或在式（9-21）的基础上应变-应力关系式变为%000i000卜N斗*jr000000000Q00九0r,%.0Q000S叽Km（9-25）在式（9-24）和式（9-25）中，独立的弹性系数减少为5个。铺层可以由无纬布或交织布制成的，前面介绍的几种情况，无论是无纬布或交织布形成的铺层都适用然而横向各向同性情况，一般只适用于无纬铺层的情况，当无纬布铺层的纤维方向为1方

11、向时，其应力-应变关系即为此情况。9.1.1.5各向同性的情况若为各向同性的情况，在横向各向同性情况基础上可得如下关系ILLG*-(&r-Cfifl-(t.nC-j5/2(9-26)比i褊附尸几S”屍(SbSa)(9-27)所以各向同性情况的应力-应变关系式在式(9-24)的基础上变为500o-ffl】CnC】e*000=CjlCi000fa000(9-28)r,i0000(CLfCj2)/201%.-00Q00CiiCij)/2-.J-或在式(9-25)的基础上应变-应力关系式变为由连续纤维增强塑料制成的铺层很难成为各向同性的。即使在铺层面内可制成具有各向同性弹性性能的，但垂直于铺层方向的弹

12、性性能一般是不与之相同的。通常，随机分布的非连续纤维增强塑料有可能成为具有各向同性性能的。CVCbP|I|上丄A八工程弹性常数与模量分量、柔量分量之间的关系上一节讨论各向异性体应力应变关系时出现的是用模量分量和柔量分量来表达的弹性系数，工程上还常用工程弹性常数来表达。工程弹性常数是由简单试验(即单轴试验和纯剪试验)测得的，他们是简单试验应力应变关系的系数。所以它们在描述各向异性体材料刚度性能的物理意义上是比较清楚的。以正交各向异性情况为例，根据单轴试验和纯剪试验可以确定工程弹性常数与柔量分量之间有如下关系1石A1鬲丄m二_=P如=一黔旳|=一娈(9-30)吋=一證v=(31)如=_瓷師=_戸9

13、-32)G=石G卅三点(9-33)疋中弗J虽井别为叭2t3主方向上的拉压弾性模量/切一单轴症力崔，方向作用时（即哲以外的应力分试均为零引起F方向应变的泊松耦合系数或称泊松出h%GgG谊一分别为茁诲3K1-2平面的剪切i弹性模母口根据式（98）可以得到1.2,3)=2rt3rtjZ_2Gi2叫血或心=T1M7TTjFfI-JKTj9-泗弹性系数的转换方式利用式（9-39）和式（9-40）可以得到如下的弹性系数的转换公式C丁=（5-4DST=TlgHF丑（942）式中可与同分别对应于x，y，z坐标系下的模量矩阵和柔量矩阵；c与卜分别对应于x,y,z坐标系下的模量矩阵与柔量矩阵，门与门分别由式（9-

14、39）和式（9-40）给出，分别为应力转换矩阵与应变转换矩阵,门t与门t分别为它们各自的转换矩阵。b前已说明，各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学主要差别仅在于应力-应变关系的不同，所以较多地介绍了这方面的内容。至于完整了解各向异性体弹性力学，还要给出平衡方程、几何方程、应变协调方程和边界条件等。考虑到这涉及结构分析，故在第十章再作介绍。92复合材料的刚度本节介绍复合材料的刚度是指铺层的刚度和层合板的刚度。由于层合板的刚度是在已知铺层刚度的基础上分析的，因此先介绍铺层刚度后叙述层合板刚度。铺层的刚度在工程上，通常层合板的厚度与结构的其它尺寸相比较小，因此，在复合材料分析与设计中通常是将铺层假

15、役为平面应力状态，即认为只考虑。，o，工等面内应力分量。对于这种平xyxy面应力状态情况，9.1.1节的应力-应变关系将得到较大的简化。铺层的正轴刚度铺层材料主方向的刚度称为铺层的正轴刚度。铺层在正轴下平面应力状态即为=rI3=r,0（9-44）所以式（9-20）的应力-应变关系可简化为式中Qij称为正轴下的平面应力状态模量，其与式9-20）中的Cij有如下关系式而式（9-21）的应变-应力关系式，在平面应力状态下，其柔量分量不变，即类似于式（9-8），同样存在对称性，即 Qrj=QjiStf=S铺层在正轴下平面应力状态时单轴应力或纯剪应力所得应力-应变关系的系数即为铺层的正轴工程弹性常数。与

16、式（9-30）至式（9-33）类似推得E、=l临=町=亍巴=J-也三込=製0式（9-53）连同式（9-50）称为正交各向异性体材料在平面应力状态下的限制条件。综上所述，铺层在三维情况下的正轴刚度有三种表达形式，式（9-20）给出模量分量Cij（i,j=1,2,3,4,5,6），式（9-21）给出柔量分量Sij（i,j=1,2,3,4,5,6），以及式（9-30）至（9-33）给出工程弹性常数；而铺层在平面应力状态下的正轴刚度也有三种表达形式，式（9-45）给出的模量分量Qij（i，j=1,2,6），式（9-47）给出的柔量分量Sij（i，j=1,2,6），以及式（9-49）给出的工程弹性常数。

17、事实上，铺层的模量分量是Cij,而Qij是在平面应力状态下的模量分量，它们之间有关系式（9-46），故Qij也称为折算模量分量。一般铺层是正交各向异性的，它们有五个工程弹性常数，见式（9-49），由于有关系式（9-50），所以独立的工程弹性常数是4个，实际侧试时只要测4个即可。在工程实际中，还常遇到一种纵向和横向弹性性能相同的铺层，如由1：1经纬交织布形成的铺层就是如此，它们还存在如下关系式：Qu=Q吐=S晔0-54)ft=耳这种铺层称为正交对称铺层。这种材料的独立弹性常数只有3个。在工程实际中，还可遇到一种铺层面内任意方向弹性性能均相同的铺层，如由相同的三股纱彼此相隔60O编织而成的铺层就是

18、如此，它们又存在如下关系式：(9-55)2(1+旳)这种铺层称为准各向同性铺层。这种材料的独立弹性常数只有2个，如同金属材料。但垂直于铺层方向的弹性性能并不与铺层面内的弹性性能相同。铺层的偏轴刚度铺层的偏轴刚度为铺层非材料主方向的刚度。如图9-6所示，1，2为材料的主方向，x，y向称为偏轴向。两者的夹角称为铺层角，规定X轴到1轴，逆时针方向为正，顺时针方向为负。铺层的偏轴刚度是由偏轴下的应力-应变关系确定的。它是通过应力与应变的转换，将正轴下的应力-应变关系（或应变-应力关系）变为偏轴下的应力-应变关系（或应变-应力关系）得到的。图头6铺层的偏轴方向1、应力转换公式在如图9-6所示的情况下，式

19、（9-39）的应力转换公式就可化简为这是由偏轴应力求正轴应力的公式。复合材料中的转换通常主要是在正轴与偏轴之间的转换。如果由正轴应力求偏轴应力则需用如下公式：这里m，n同式（5-57）。 这里还需说明的是，上述约定应力的符号规则是，正面正向或负面负向均为正，否则为负。所谓面的正负是指该面外法线方向与坐标方向同向还是反向。所谓向的正负是指应力方向与坐标方向同向还是反向。图9-6示出的应力分量均为正。2、应变转换公式在如图9-6所示的情况下，式（9-40）的应变转换公式就可化简为式中m，n同式9-57）。同样，由正轴应变求偏轴应变的公式为所示的偏轴应力应变关系。这里也需说明的是，上述约定应变的特号

20、规则是，线应变伸长为正，缩短为负，剪应变是与两个坐标方向一致的直角变小为正，变大为负。3、铺层的偏轴应力-应变关系如果将式（9-58）中的正轴应力用式（9-45）代人，然后再将正轴应变用式（9-59）代入，即可得如式（9-61）该式还可简写成式中，q（i,j=l,2,6）称为偏轴模量分量。ij4、偏轴模量转换公式如果将式（9-61）中的系数矩阵作出乘法运算，并与式（9-62）中的系数矩阵对应起来，即可得如式9-63）所示的由正轴模量求偏轴模量的模量转换公*卅AfltVm42min1mVm*+w*4m咕*讨ff12耐计Gnk-*mnwin1manatrnn3wtbt)Lwirt*twmmr2kr

21、rtlnmni)_式中，m=cos0，(9-63)式。n二sin0与前面所述相同。这里Q=Q，ijji即偏轴模量仍具有对称性，所以式（9-63）中偏轴模量只需列出6个。图9-7与图9-8分别给出碳环氧材料T3005208的Q的分量随0的变化曲线。图中所有值都是关于对其最大值作正则化的。Ira施心-曲二昶-s；”?710M9-7T处533僞轴轉层的正赠化圉*TT3OO/520BtS诵层的正則优殆“卫”矗刘5、铺层的偏轴应变-应力关系如果将式（9-60）中的正轴应变用式（9-57）代入，然后再将正轴应力用式（9-56）代入，即可得式（9-64）所示的偏轴应变一应力关系。式（9-64）简写成式中，S

22、（i,j=1,2,6）称为偏轴柔量分量。ij6、偏轴柔量转换公式如果将式（9-64）中的系数矩阵作出乘法运算，并与式（9-65）中的系数矩阵对应起来，即可得如式（9-66）所示由正轴柔量求偏轴柔量的柔量转换公式。*2mawsmJnJnH*m*11曲护m*+n*Pl2BfWh14昇一gmFm*-n1)12mJn伽沪2(mnJ一i3h)揭帀nr3n_2mnl2manmn1)nraja一橄冲日_11式中，m二cos0，n二sin0也与前面所述相同。这里S，ijji即偏轴柔量仍具有对称性，所以式(9-66)中偏轴柔量只需列出6个。7、偏轴模量与偏轴柔量之间的关系与正轴时模量与柔量存在互逆关系一样P=Q

23、(9-67)根据矩阵的求逆规则，可得Wit=(QilQh-Si)/|Q|阳=(QmQmQsiQfli)/01(JJiiQn弘hQ皿屈G/IQIE託=cQiiOwQijQmVIQI1=+2llQiQj一為*一ChQL8、铺层的偏轴工程弹性常数铺层的偏轴工程弹性常数是铺层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。利用式(9-65给出的偏轴应变-应力关系，求偏轴向时单轴应力或纯剪应力下的应变-应力关系，即可求得偏轴工程弹性常数与偏轴柔量之间的关系式中向的拉压聲性模量.Gpa：%尹向拉压尊性樓金，GPafG斗一纵攢剪切弹性摸誥.GPat%工向気起y向的泊松耦合系数；町y向引起工向的泊松耦合系数卡

24、可芒向拉剪耦合系数Iy向拉剪耦合系数卡Z一記向剪拉耦合累JRi“，向剪拉耦合系数。由于柔量分量的对称性，SS,所以偏轴工程弹性常ijji数具有如下关系式*，兀久GrtVytftyG巧9、偏轴工程弹性常数的转换关系偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数之间不能得到象式（9-63）那样的模量转换公式和式（9-66）那样的柔量转换公式，但可以利用式（9-69）和柔量转换公式（9-66）以及正轴柔量与正轴工程弹性常数之间的关系式（9-49）得到如下由正轴工程弹性常数求偏轴工程弹性常数的转换关系：-omM+誓伽F+皿切-（書十Q右”ii?恥聊#Wn增+aV)怯十盒右卜in，先甲叫=E占jsinftos1si

25、nafco$一耳=匕7任+瓦(務一警卜讹丄血加弔+g$in輩(学”in峽008+-sin4費-卜讨址曲0+-(sin1+ccs)占鈿一J_tiGn鱼亠空1._L瓦十石耳鱼十型_2(9-71)订叫百专=町（養+sinftzas3ff式中，m=cos0，1_瓦siiiJfcd50冷亠醫佥）n=sin0。由于偏轴工程弹性常数由4个正轴工程弹性常数确定，具体材料不同，其4个常数般均会有所变化，因此必须针对具体材料画出其偏轴工程弹性常数随0的变化曲线，才能了解其偏轴工程弹性常数的变化规律。图9-9与图9-10分别给出碳环氧材料T300/5208的各偏轴工程弹性常数随0的变化曲线。图中的所有值对其最大值作

26、正则化的。弹性模量Ex在纤维方向是最大的，但随偏轴方向增大很快下降。这种T300/5208材料的纵向和横向模量的比值要大于12。剪切模量Gxy变化很小，并且在0=45处达到它的最大值。泊松比和拉剪耦合系数H变化很大。泊松比总是xy,x正的，而耳可正可负，随偏轴方向而定。对于T300 xy,x5208，泊松比从0.372的最大值至0.019的最小值 范围内变化。拉剪耦合系纵变化很大，最大值和最xy,x小值则分别为在12。处和2.14。00-7W0.500层合板的刚度本节介绍层合板刚度是建立在经典层合理论基础上，即假设层合板由连续、均匀、正交各向异性的铺层构成的一种连续性材料，并假设各铺层之间是完

27、全紧密粘接的，即忽略层间的影晌，变形符合直法线假设，且限于线弹性、小变形情况，各铺层按平面应力状态计算，并忽略。通常在复合材料设计中这样处x理是合适的。9.2.2.1层合板的应变根据直法线假设，层合板中面法线变形后仍然为直线并垂直于变形后的中面，而且中面法线的长度不Yxy变。在这假设下，离中面任意距离z的应变,x为中面应变与在x，y向的中面位移u，v有如下0o关系：而中面曲率与在z向的中面位移w有如下关系:*-=BV醫5）9222层合板的内力层合板的内力包括面内力和弯矩（包括扭矩），见图9-11（xoy面在层合板中面处）。它们的定义如下图9-11层合扳的厠内力和齊审留示方向均为） 层合板的内力

28、-应变关系式综合上述内力和应变即可给出层合板的内力应变关系式：式中，A,B和D中各分量由下式给出:电严;drG,；-l.2.6：%I：皿1hJ=ltb?（9-丁心Aij称为面内刚度系数，Bij称为耦合刚度系数，Dij称为弯曲刚度系数。Aij=Aji,Bij=Bji,Dij=Djio式（9-83）还可相反地表示成：式申一面内柔度矩晖，“r一也（D如的-民n耦合柔度矩阵.fl-aBCDt弯曲柔度矩阵*-面内刚童矩阵的逆鉅阵，即&=人-.若铺层的铺设顺序关于中面不是对称的，则B阵不恒等于零。弯曲和拉伸之间存在耦合作用。例如设非对称层合板受有面内力N，则得其曲率为忠=少z钢同样，仅受有弯矩M会得到中面

29、应变:特殊层合板为了讨论方便起见，以下假定构成层合板的所有铺层由同一复合材料制成，且有相同的厚度。1、对称层合板对称层合板从中面向上或向下观察各铺层方向，其铺设顺序是相同的，即关于中面是镜面对称的。此时Bij恒等于零，故不存在拉-弯之间的耦合作用，即有:门(9-82)W打T出9S31于对称层合板，面内行为也可写成如下形式：.e?-3UCS-34)弯曲行为可写成如下形式：亠WWi(985式中d-对称层合板的考曲柔度矩阵，d=D-1。如同定义铺层的工程弹性常数一样，利用单轴层合板应力或纯剪层合板应力可定义对称层合板的面内工程弹性常数。为此需先设y；-零n；-牛.V；,-牛这里带*的层合板面内力称为

30、正则化面内力，即为层合板应力，它们是应力的量纲。这样，就可得到类似于铺层工程弹性常数的对称层合板面内工程弹性常数（右上角冠以0以示与铺层的区别）与面内柔度系数之间的关系式：2、对称均衡层合板对称均衡层合板是_e铺层数和+e铺层数为相同的对称层合板。在这种情况A和A系数为零。因为Q和1626Q16Q关于e是奇函数（见图9-8），它的总和为零。所以,26拉伸和剪切之间无耦合作用。均衡层合板还可以包含任意量的00和900层。因为16分量和26分量对于这些铺层方向恒等于零。3、对称均衡斜交层合板对称均衡斜交层合板是仅由相同数量的_e铺层和+e铺层的对称均衡层合板。这类层合板能清楚地给出铺层方向对层合板

31、性能的影响。图9-12-图9-14给出了这类层合板工程弹性常数随铺层方向的变化。D.Qirs.oio.oT3OC75208的Ml紬葡民的E脚对静cm14rwWJf士外h订*1oio铀*心qnnnnrar519-nTaoommwwffl的旳时耕均厠弭克层含桩的或的H较0.W4、对称正交层合板对称正交层合板是指只含有00和900铺层的对称层合板。这种层合板除B矩阵为零外，在A和四矩阵中的所有16和26分量均为零，因此层合板无论在拉伸和弯曲时均为正交各向异性的，也即面内变形的拉伸与剪切之间无耦合作用，弯曲变形时弯曲与扭转之间无耦合作用。5、准各向同性层合板准各向同性层合板是指面内各个方向的刚度为相同

32、的对称层合板。这种层合板的弯曲刚度不是各向同性的。通常，由铺层体积含量相同的m个铺层组（对称层合板的m以层合板的一半计数），且m23时，将其按间隔为n/m的铺层方向铺设成的对称层合板即为准各向同性层合板。无论m为多少，同一种材料组成的准各向同性层合板，其面内刚度性能是相同的。6、一般n/4层合板各个铺层均按00,900，+450,-450方向的一种或几种铺设的对称层合板称为一般n/4层合板。一般n/4层合板是目前工程上主要应用的一类层合板。事实上，前面讨论过的许多层合板，如00,900，+450,-450的单向层合板，以及45的对称均衡层合板，45的对称均衡斜交层合板，对称正交层合板，按n/4

33、铺设的准各向同性层合板均属此类层合板。这类层合板的不同铺设情况，即各定向层包含不同体积含量所得的面内工程弹性常数的变化规律的例子，见图9-15图9-17。 J3Q40sfc1話JM81牡】sT300/*H嚴/4均術itf层合换瓷的变ft曲鎌;4V1表明作用应力为安全值，具体来说，R-1表明作用应力到铺层失效时尚可增加的应力倍数；R=1表明作用的应力正好达到极限值；Rl表明作用应力超过极限应力，所以没有实际意义，但设计计算中出现Rl仍然是有用的，它表明必须使作用应力下降，或加大有关结构尺寸。2、强度比方程如果应力分量使表达式（9-89）正好满足，则此应力分量为极限应力分量，为此利用式（9-90）

34、可使蔡-胡失效准则表达式（9-89）变为其对应的强度比方程（风屍趙应+F（j夙）FjSi）R-WO盟、此式是一元二次方程，由此可解得两个根：一个是正根，它是对应于给定应力分量的；另一个是负根按照强度比的定义，强度比是不应有负值的，而这里的负根，只是表明它的绝对值是对应于与给定应力分盘大小相同而符号相反的应力分量的强度比。由此再利用强度比的定义式（9-91）即可求得极限应力各分量，即该作用应力状态下按比例加载时的铺层强度，或确定极限载荷。层合板的强度层合板有三种不同的失效形式：分层、基体失效和纤维失效，而通常存在多种失效形式，所以确定层合板的强度要比各向同性材料（如金属）要复杂得多。通常估算复合

35、材料层合板强度有两种可能选择的方法一种方法是，将层合板看作一个单一材料，强度性能是通过层合板试验确定的。因为有许多可能的层合板用这种方法多数情况是不现实的，另一种方法是考虑构成层合板的各个铺层的性能，且确定层合板强度是建立在各个铺层基础上的。本节就是介绍这种方法在这种方法中，通常按平面应力状态计算的结构受载形式下发生的失效，主要是面内失效。因此主要是基体失效和纤维失效，而纤维失效往往对应于层合板的最终失效。层合板通常是由不同方向的铺层构成的，在外力作用下一般是逐层失效的。因此，层合板的强度指标一般果用两个：在外力作用下，层合板最先一层失效时的层合板正则化内力（即层合板应力）称为最先一层失效强度

36、，其对应的载荷称为最先一层失效载荷，而最终失效（即层合板各铺层全部失效）时层合板正则化内力称为极限强度，其对应的载荷称为极限载荷层合板最先一层的失效强度确定层合板最先一层失效强度必须首先作层合板的铺层应力分析，然后利用强度比方程计算层合板各个铺层的强度比，强度比最小的铺层最先失效，其对应的层合板正则化内力即为所求的最先一层失效强度因此首先要进行铺层的应变、应力分析。层合板的极限强度1、计算极限强度的增量法增量法是基于假定层合板失效过程的应力-应变关系是增量关系，按照这种增量关系计算极限强度的方法称为增量法。用增量法计算极限强度的框图如图9-19所示。2、计算极限强度的全量法假定层合板失效过程的

37、应力-应变关系为全量关系。按照这种全量关系什算极限强度的方法称为全量法。计算时要考虑各层失效的顺序，但一旦失效层刚度退化后，其强度直接按退化后的层合板计算，而无需考虑失效时的各层应力。所以全量法较为近似，但比增量法简便。用全量法计算极限强度的框图如图9-20所示。+；嗟合掘剧度累歡41；总呑（S.总芨？飪柱佛层应娈好It，45MSKOJmI,各捕总越声比；|换度出星小确层据比res-全量法卄捕舉限强度的松囹3、有限宽层合板测试拉伸强度的修正法层合板的湿热效应及其对强度的影响1、铺层的湿热变形2、铺层包含湿热应变的应力-应变关系3、层合板包含湿热应变的内力与应变关系4、层合板的湿热变形5、层合板

38、的残余应变和残余应力6、考虑残余应力的层合板强度计算复合材料失效准则本节复合材料失效准则主要是指铺层的失效准则，它是研究因外力作用（应力状态）和由材料本身固有性质所决定的因素来研究材料的破坏，并根据实验结果或一定的假设推演出的材料破坏所遵循的规律称为强度理论，能反映这一理论的数学表达式通常为强度准则或失效准则。铺层材料的失效准则仅仅作为“失效”的判据，它并不反映材料的破坏机理与破坏过程。失效准则的一般形式是FSe=K儒109】实际上式（9-109）是应力空间中点的轨迹，描绘的是应力空间的一个曲面，在曲面包围内的应力状态材料是安全的，在曲面上或曲面外的应力状态将使材料发生破坏。为了形象的描述失效

39、准则，通常将准则方程绘成应力空间的几何图形，并称为失效包络面。最大应力失效准则和最大应变失效准则最大应力失效准则最大应力失效准则可叙述为：当材料在复杂应力状态下进入破坏是由于其某个应力分量达到了材料相应的基本强度值。最大应力失效准则为jj.l-X,)S一币N石r加心亦c9-146)式中?L3-：-o.28-J-(S-(4)剪切弹性模最G23(5)式中珀s0弭X-D，百閔泊松比v12-K2.Cu14(3-15v)(6)泊松比v23仏一：肥如“1I訂J0式中内一：一09tmI02710剧1-欝)%*ffl外竹复含封期伤閘虜、強度与増命董聚示童图9712基体开裂剋M帕“野9基体开裂是指在面内载荷作用

40、下，层合板单向纤维间基体产生的平行于纤维方向的裂纹。基体开裂通常是多向层合板最先出现的破坏损伤。分层分层是指层间应力引起的层间分离形式的损伤，它是复合材料层合板特有的损伤形式。界面脱胶界面脱胶是指纤维与基休结合面（粘接面）的分离损伤形式。两者粘接的强弱将直接影响到疲劳损伤的扩展。纤维断裂由于纤维本身存在的缺陷损伤，形成应力集中而引起的纤维断裂。纤维断裂是轴向载荷作用下，复合材料破坏的主要损伤形式。疲劳特性复合材料层合板疲劳特性和金属材料一样，通常以交变应力与应劳寿命（破坏循环数）对应关系曲线（S-N曲线）的形式给出。有时，也用交变应变-疲劳寿命曲线（-N曲线）形式给出。第十章复合材料结构力学复

41、合材料结构力学是对由复合材料构成的具体构件，以基本力学性能为基础，考虑构件所c处的边界条件，计算其应力与应坪变的分布规律。这些内容称为复守合材料结构力学。任何一个结构都是由基本构件组合而成的，这些基本构件包括杆、梁、板、壳等结构元件，由这些元件可以妙千变万化的结构，如图10-1。复合材料结构也是这样。对复合材料的构件进行结构分析时，均假定其在载荷用下变形很小，且在弹性变形范围内，因此仍采用弹性力学的基本方法。10-1结构元件以及由其组成的结构10.1各向异性体弹性力学基本方程一般来讲，连续纤维增强复合材料是各向异性或正交各向异性的。分析起来要比各向同性材料复杂得多，这里仍沿用弹性力学的基本假设

42、考虑小变形情况，则基本方程分别由下面给出。1几何方程设u,v,w二为直角坐标系下的位移分量忙忙,Y,Y,Y为应变分量，则在小变形条件xyzyzzxxy勺+婆以及2釜二舟詹3y&下，它们之间的关系为由于这6个方程是直接由位移-应变关系导出的，因此它们不是独立的，这种方程称为连续性方程，也叫变形协调条件。2平衡方程如图10-2所示，取单元体dxdydz,设单位体积力为（P（fxff），其中fxff分别为x,y,z方向上的分量。当单元体处于平衡状态时忽略体积力有芬些勿耳一亦+孔-ar刍ar芯一血+窪=0dZ图10-2单元体的应力分量鬲(i,j=l,2,6)称为柔量分量。如果其求逆,、=Y式中，u,(

43、i,j=l，2，6)称为模量分量。对于一般的C12C13C】4C5、C21C22C23C?4C?5C?6JC31C3iC33C34C35C36JC41C42C43C44C45C46C51C52C53C54C55C56、61Cg?C$3C&4C$5C66)kJ这组方程称为平衡方程。3.物理方程若物体在无应力状态下应变为零或当应变为零时应力也为零，则在直角坐标系下，表示应变与应力的一般关系式为式中则得各向异性弹性体，独立的材料常数是21个，若弹性体中存在有3个互相垂直的对称面，这种材料称为正交各向异性材料，此时材料常数将减少到9个，若材料主方向改为1,2,3坐标，则应力-应变关系变为c13000乜

44、、c230005c33000%Y0c002300C0丫31000,P12,般解法4.弹性力学问题的分析弹性体在受力后的状态，要求解的是6个应力分量和6个应变分量及3个位移分量共15个未知数，为此就需要有15个方程联立求解。弹性体变形的几何关系、物理关系和平衡关系恰巧建立了15个方程，弹性力学的基本任务就是在一定的边界条件下求解包括15个方程的方程组。在处理问题的过程中，如果把应变-位移关系式代人应力-应变关系式,然后代入式平衡方程中，便可得到仅有位移分量u,v,w的偏微分方程，解出位移函数就能得到问题的全部解答。这种方法称为位移法。在解弹性力学问题时，根据求解方法和边界条件不同，可归纳以下三类

45、基本问题。第一类基本问题，在弹性体的全部表面上都给定了外力，要求确定弹性体内部及表面任意点上的应力和位移。这类问题的边界条件可写成如下形式，在S(物体边界)上Txcos(n,x)+ryjrcos(n,)+rcos(n,z)=Xnrxjrcos(n+acosCn,jr)+rz;ycos(n,)=XnrcosCw,)+ryzcos(n)+碍cos(n,z)=X*式中，n为外力合力所指的方向；X,Y,Z是外力nnn沿坐标轴的分量。第二类基本问题，在弹性体的全部表面上都给定位移，要求确定弹性体的内部及表面任意点上的应力和位移。这类问题的边界条件是，在S上U=U待p=-y*3=(*)表示已知量。第三类基

46、本问题，在弹性体的一部分表面外力，在其余的表面上给定了位移，要求确定弹及表面任意点上的应力和位移。这类问题边界法是在S上：v冃St十S*=。6叭=Xi,在S上：u10.2复合材料杆分析10.2.1一端固定受拉复合材料杆如图10-3所示的复合材料直杆，一端固定另一端作用轴向力P,分析此载荷作用的杆的变形。取固定端剖面形心为坐标原点，若杆截面积为A,则杆上的应力分量为当杆材料主轴与坐标轴不重合时,由广义虎克定律可得应变分量式中，比(i,j=l,2,6)是直杆材料的柔量分量,求解杆单向受拉变形,根据几何关系有63-S=ab-ay+a/-y皿35-5_s=-西為輕ar仏+=吋曲一旳弘心=陥血-创=+a

47、ca色玄图10-3一端固定一端受拉的复合材料杆可以求出：=+535z)(To一W2z+w3y+u0v=($23,+Suz)J0w3x十wtz4-v0w=&3W0N+5,+W2x+w0可根据边界条件确定。若原点x,y,z=0处的初始转角及位移均为零，即dvdu可得常数Sr3ydzs=0,学最后得直杆拉伸的位移自重作用下的复合材料直杆变形上端固定载荷仅为复合材料杆的自重,若杆材料密度为Y，则应力分量有7(.1z),tx=ay=ryx=r=rry按上节相似方法，积分几何方程组和用边界条件x,y,z=0，u=v=w=0和务HA。可得u=Y2*35Z+(S13H+36/()2*討+&23+2弘工(ZZ)

48、s=了*（g討+S23J2+&6今）+（$3+35工+*S33Z（2Z）由此可见，在这种情况下复合材料直杆在变形后已不再保持为平面，轴线0z变形为一条曲线，z=l,底面形心处（即x=0,y=0）的位移为/=SiSYl25=s3iyizW/=S3310.3复合材料梁10.3.1最简单的受载情况10.3.1.1受纯弯育载荷作用的复合材料梁一任意截面的复合材料梁，在一个截面形心惯性主轴方向仅受弯矩M的作用，如图10-4,则此梁诸应力分量为5了W=弓=ry9=rx=工巧=0其中I为梁横截面对y轴的惯性矩,当梁材料主轴与所选的几何坐标系不重合时,应变分量由物理方程确定10-4受纯弯载荷作用的复合材料梁为

49、解得受弯后复合材料梁的变形状态，通过几何方程有：式中，A,B,C为积分常数，可由梁边界条件确定。1.悬臂梁的情况如图10-5，在悬臂梁自由端作用有弯矩M,在固定端的边界条件是：当x=0,y=0,z=0.位移u=0,v=0,w=0，由此得A530竽0.J3=S33琴1、C=0，C?=乳3=0O图10-5受纯弯的悬臂梁于是，受纯弯载荷作用的复合材料悬臂梁其位移分量为可见在弯矩作用下，梁的横截面变为二次曲面。如果主轴与几何坐标轴一致时，弘=弘乜=0,梁弯曲时不使横截面变形仍为平面，梁纵轴（x=0,y=0）变形之后：“=oe（o,o,z）=寻弘仃）认=。仅有y向呈次曲线。自由端的最大挠度为九x=讥0,

50、0,Q)=务S332.简支梁的情况对于简支梁按图10-6选择坐标系，在支点处受弯矩载荷（实际上这相当于四点弯曲受载状态），边界条件是当x,y,z=0;x,y=0,z=l处，位移u=v=w=0梁中丿Ij八处，转角Y由此可得上种情况中各常数于是受纯弯载荷的复合材料简支梁的位移分量为M27M-27一一=UV10.3.1.2受纯剪作用的复合材料梁处于纯剪受力状态的梁，取典型受力单元如图10-7,此时单元体仅有剪应力=!0其余应力分量皆为零，于是有善=盼疇=恥。,嚳=恥。善+寫=盼磴+豊=恥邂+鲁=几6根据前面分析，最后得“=(&4工+2*4)r0P(y546x+$2)“vj=(&声十+$3存)5图10

51、-7受纯剪的复合材料梁10.3.2Lr-*图10-8复合材料梁的使用状态10.3.2.1叠层梁的杭弯刚度和应力取图10-8(a)的层合梁受力状态，载荷作用在对称面上，并令梁的变形满足直法线假设，且成柱面弯曲，考察梁在x0y平面内的变形，可以得到梁的应力式中，M可按迭层梁支撑情况求得X10.3.2.2叠层梁的层间剪应力除受纯弯载荷外，通常在横向载荷作用下的叠层梁将产生x0z面内的剪应力，由图10-9可见层间剪应力于是叠层梁层间剪应力为层间剪应力的典型分布情况见图10-10。图10-9叠层梁的层间剪应力图10-10层间剪应力分布情况10.3.3复合材料矩形截面梁分析103.3.1各向异性体平面应力

52、基本方程对于等厚均质的各向异性薄板，弹性对称面平千中面，上下板面无外力作用，仅在面内作用有与中面对称的外力，且体力也是关于中面对称的，因此板不产生弯曲和扭转，仅发生平面内变形，如图10-11。图10-11平面应力如果各向异性材料有基本方程：dF一eQx3dy+S&6)2几霭+S“券等正交异性材料，方程简化为s22豁+(25,4+5m)+Sn=0平面应力问题边界条件的提法是在边界上有jxcos(n,x)+zyCos(n,y)=Xnrjycos(n,x)+aycos(niy)=Ys10332复合材料矩形截面梁1自由端受集中载荷作用的悬臂梁图10-12是要研究的复合材料矩形截面梁，一端固定、另一自由

53、端上作用集中载荷，且在梁的中面上显然，这是一个平面应力题，可用应力函数求解。可推设应力函数为：F(x,y)=Axxy+A2yz+A3y3+Atxy3+A$y*考虑把满足基本方程和边界条件，分别得出应力分量为：位移分量为=彩一3Sn(2Z一xxy+S“(护一3)+(2甕_陥-3SMv=缶一25i2(Zx)y2f门Wb)_y+5(3A2一yl)y+S(3/-x)x2+1弋j21P图10-12受集中载荷的悬臂梁2受均布载荷的复合材料梁（1）正交异性简支梁图10-13为受均布载荷q作用的复合材料矩形截面简支梁。各应力分量为(5/-3A2)y&=器（厂y+20h渗T）y_(10-63)*巧=澤（b一川）

54、x应力分量沿梁高的分布如图10-13。图10-3受均布载荷的正交异性简支梁2）各向异性简支梁满足图10-14情形的各应力分量：图10-14各向异性简支梁（3）各向异性悬臂梁如图1-15受均布载荷的臂梁，仍为平面应力问题，应力函数可为F(.x,y)AiXi-A2Jc2y-A3Jc2y3-Aiy3+Aiy3+Atx+A-tiy2AxyzA9xyKAy-Aiy考虑基本方程和边界条件，可得应力分量:干-節-皿+韶豎-吐I（3A1_5j2）j_称弟a刃一3b）严缶2y2）yy审訥a亠勢希（一沏图10-15各向异性悬臂梁3受任意载荷作用的简支梁当梁受任意的横向载荷作用（图10-16），有时不一定是连续载荷，就不能再用多项式求解，此时可以试用三角级数求解。图10-16受任意载荷的简支梁设应力函数取如下形式：FGr,_y)=sinajr/(j)相应的应力分量是：d2Fay=乙此sinawCA.+sha原y+8炳cha.y+oxm=lsoCpshamy